1、- 1 -七年级数学（下）期末复习 - 1 -前言 - 1 -第六章 实 数 - 2 -一、平方根与立方根 - 2 -1、平方根 - 2 -2、算术平方根 - 2 -3、立方根 - 2 -二、实数 - 2 -三、解题实用 - 2 -四、典题练习 - 2 -第七章 一元一次不等式与不等式组 - 3 -一、不等式及其性质 - 3 -四、一元一次不等式（组）解决实际问题 - 4 -五、解题技巧 - 5 -1、有解无解问题： - 5 -2、特征解问题： - 5 -六、典题练习 - 5 -第八章 整式乘除与因式分解 - 6 -一、幂的运算： - 6 -二、整式乘法： - 6 -三、完全平方公式与平法差公
2、式 - 7 -四、整式除法 - 7 -五、因式分解 - 7 -六、典题练习 - 8 -第九章 分 式 - 8 -一、分式及其性质 - 8 -二、分式运算 - 9 -三、分式方程 - 9 -四、分式应用 - 9 -五、分式解题中常用的数学思想和技巧 - 9 -六、典题练习 - 10 -第十章 相交线、平行线与平移 - 12 -一、相交线 - 12 -二、平行线 - 12 -三、平移 - 13 - 0 -七年级数学（下）期末复习前言数学是一门研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的学科；数学解题的关键就是知识和方法；知识是锁眼，方法是钥匙。缺少哪个都不能打开题目这把锁；那么我们的数学学习也要针对这
3、两点进行。1、掌握课本知识内容及内涵数学知识是数学解题的基石。只有掌握了课本知识的内容，理解知识的内涵，才能更好地运用它来解决问题。二、多看例题数学有的概念、定理较抽象，我们可以通过例题，将已有的概念具体化，使自己对知识的理解更加深刻，更加透彻！看例题时，还要注意以下几点：1、看一道例题，解决一类问题。不能只看皮毛，不看内涵。我们看例题，要注意总结并掌握其解题方法，建立起更宽的解题思路。不能看一道题就只会一道题，只记题目答案不记方法，这样看例题也就失去了它本来的意义。每看一道题目，就应理清解题思路，掌握解题方法，再遇到同类型的题目，我们就不在难了。既然有“授人以鱼，不如授人以渔” ，那么我们是
4、不是也可以说“要鱼不如要渔”呢！2、我们不仅要看例题还要会总结，总结题型、解题思路和方法。运用了哪些数学思想。最好把总结的写出来。以后复习时再看，就事半功倍了。 3、会模仿，也要创新。在看例题的解题时，首先想自己遇到这个题怎么做，然后看例题怎么解答的，之后我们还要思考还有没有其它方法和思路。我们最后看哪种方法更简便。 三、多做练习“多”讲的是题型多，不是题目数量多。不怕难题，就怕生题。题海战术不一定好，但是接触的题型多了，总结的解题方法多了。以后遇到相同类型的题目也就不怕了。四、心细，多思，善问，勤总结数学是严谨的，做题目时要细心，一个符号之差，题目的解就可能完全不一样了，遇到问题要多思考，培
5、养自己的数学思维，思考实在不会的，我们就要问，去弄懂。在数学学习过程中，我们要会总结，还要勤总结。多总结知识内容，总结解题方法，解题思想。一方面能够起到复习巩固的作用，另一方面能提高自己的自学能力。数学的四大思维体系：数形结合、函数思想、分类讨论、方程思想。- 1 -第六章 实 数一、平方根与立方根1、平方根（1）定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫做二次方根。（2）表示：非负数 a 的平方根记作 ，读作“正负根号 a”， （a 叫做被开方数）（3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0 的平方根为 0；负数的没有平方根。 （4）开平方：求平方根的运算
6、叫做开平方。、平方根是开平方的结果；、 开平方与平方互为逆运算。2、算术平方根（1）定义：正数 a 的正的平方根 叫做 a 的算术平方根， 0 的算术平方根是 0。（2）性质：（1）一个数 a 的算术平方根具有非负性； 即： 0 恒成立。a（2）正数的算术平方根只有 1 个，且为正数；0 的算术平方根是 0；负数的没有算术平方根。 3、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫做三次方根。（2）表示：a 的立方根记作 ，读作“三次根号 a”（ a 叫做被开方数，3 叫根指数）3a（3）性质：正数的立方根是 1 个正数；负数的立方根是 1 个负数；0
7、的立方根是 0。二、实数1、无理数：无限不循环的小数。 （一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数）2、实数：有理数和无理数统称为实数。3、实数分类：（1）按定义分（略） （2）按正负性分（略）4、实数与数轴上的点一一对应。5、实数的相反数、绝对值、倒数：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似）6、实数的运算：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。7、实数大小：（1）正数 0 负数； （2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值小的反而大。（3）数轴上不同的点表示的数
8、，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。8、实数比较大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法三、解题实用 1、 .421.7322.3652、 aaa3a3、 b b0四、典题练习- 2 -1、 的平方根是 ； 的算术平方根是 ； 的立方根是 。623- 23-2、如果一个有理数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是 ；如果一个有理数的平方根与立方根相同，那么这个数是 。3、一个自然数的算术平方根是 x，则与他相邻的下一个自然数的算术平方根是 。4、下列各数中一定为正数的是 （填序号） x 121x31x5、当 x-1 时， ，-x, 和 的大小关系 。23x-6、比较下列各组数的大
9、小-31与 7541与 1253与 71-24与7、 的绝对值为 ，相反数为 ，倒数为 。28、已知 ，y 为 4 的平方根， ，求 x+y 的值。x0xy9、已知 ，求 x2+y 的平方根。0-310、如果一个非负数的平方根为 2a-1 和 a-5，则这个数是 。11、a 为 的整数部分， b 为 的小数部分，则 a+2b 的值为 。5512、若 ，试求 的值。 （提示：找出题中的隐含条件）a201-201201-第七章 一元一次不等式与不等式组一、不等式及其性质1、不等式：（1）定义：用“”(或“”)，“”(或“”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“”表示不等关系的式子也是不等式
10、.（2）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。（3）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。不等式的解集与不等式的解的区别：解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值。二者的关系是：解集包括解,所有的解组成了解集。（4）解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。2、不等式的基本性质性质 1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。即：如果 ，那么 .bacba性质 2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。- 3 -即：
11、如果 ，并且 ，那么 ； .ba0cbca性质 3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。即：如果 ，并且 ，那么 ； .c性质 4：如果 ，那么 .（对称性）baa性质 5：如果 , ,那么 .（传递性）c二、一元一次不等式1、定义： 含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式2.一元一次不等式的解法：根据是不等式的基本性质；一般步骤为：(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)系数化为1.解不等式应注意：去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；移项时不要忘记变号；去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项
12、都要变号；在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。3.不等式的解集在数轴上表示：（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左三、一元一次不等式组1、定义：有几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组2、 （一元一次）不等式组的解集：这几个不等式解集的公共部分，叫做这个（一元一次）不等式组的解集。3、解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。4、一元一次不等式组的解法1）分别求出不等式组中各个不等式的解集2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。由两个一元一次不等式组成的不等式组的
13、解集可归纳为下面四种情况：不等式组 ba解集 口诀记忆bx bx同大取大a a同小取小bx bx大小小大中间找a无解 大大小小则无解四、一元一次不等式（组）解决实际问题解题的步骤：审题，找出不等关系 设未知数 列出不等式（组）求出不等式的解集 找出符合题意的值 作答。- 4 -五、解题技巧1、有解无解问题：（1） （2） abxba有 解 ：无 解 ： axbba有 解 ：无 解 ：（3） abxba有 解 ：无 解 ：2、特征解问题：解题步骤：把原式中的要求的量（以下简记为 ) 当作已知数，去解原式得到原式的解m（含 ) 根据解的特征列出式子（关于 的式子 )解出 的值。m例：已知 的解集为
14、 ，求 的值。12ax1xa解：解不等式 把 当作已知数，去解原式a得 得到原式的解（含 ) a则 根据解的特征列出式子-解得 解出 的值a六、典题练习1、若关于 的不等式 有解，则 的取值范围是？若无解呢？x1x2m2、已知关于 ， 的方程组 的解满足 ，求 的取值范围。ymyx20xym3、适当选择 a 的取值范围，使 1.7xa 的整数解：（1）x 只有一个整数解； （2）x 一个整数解也没有。4、解不等式（组）（1） （2） （3）32,5x.273,456x.1)3(21,x（4）562x3 （5） .)0(8yy5、若 m、n 为有理数，解关于 x 的不等式( m 21) xn6、
15、已知关于 x， y 的方程组 的解满足 x y，求 p 的取值范围。134,py7、已知关于 的不等式组 的整数解共有 3 个，求 的取值范围。0x52b b8、已知 A2x 23x 2，B 2x24x5，试比较 A 与 B 的大小。9、已知 a 是自然数，关于 x 的不等式组 的解集是 x2，求 a 的值。02,4a10、某种商品进价为 150 元，出售时标价为 225 元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润不低于 10，那么商店最多降价多少元出售商品?- 5 -11、某零件制造车间有 20 名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件 6 个或乙种零件5 个，且每制造一个甲种零件可
16、获利 150 元，每制造一个乙种零件可获利 260 元。在这20 名工人中，车间每天安排 x 名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件。（1）若此车间每天所获利润为 y(元)，用 x 的代数式表示 y。（2）若要使每天所获利润不低于 24000 元，至少要派多少名工人去制造乙种零件?12、某学校计划组织 385 名师生租车旅游，现知道出租公司有 42 座和 60 座客车，42 座客车的租金为每辆 320 元，60 座客车的租金为每辆 460 元。（1）若学校单独租用这两种客车各需多少钱?（2）若学校同时租用这两种客车 8 辆(可以坐不满) ，而且比单独租用一种车辆节省租金，请选择最节省的租车方
17、案。第八章 整式乘除与因式分解一、幂的运算：1、同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 nma2、同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 3、幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 mna4、积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。 b注：（1）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 1； 0a（2）任何一个不等于零的数的-p（p 为正整数）指数幂，等于这个数的 p 指数幂的倒数。 pa（3）科学记数法： 或 na10cn-10c105、科学计数法： 绝对值小于 1 的数可记成 的形式，其中 ，n 是正整数，n 等于-10a原数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的
18、一个零） 。二、整式乘法：1、单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。2、单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。3、多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。三、完全平方公式与平法差公式1、完全平方公式： 22aba22abab- 6 -语言表示：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的两倍。2、平法差公式： （两个数的平方之差等于这两个
19、数的和与这两个数的差之积。bab-a2）四、整式除法1、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。2、多项式除以单项式的除法法则：单项式与多项式相除，先把多项式的每一项除以这个单项式再把所得的商相加。五、因式分解1、定义：把一个多项式化为几个因式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。2、分解因式的基本方法：（1）提公因式法 （2）公式法：运用完全平方公式和平法差公式（3）对于二次三项式的因式分解的方法：1）配方法，2）十字相乘法：公式 bxabxa2例：将 因式分解。 34x方法一：配方法
20、：原式= = = 34-2x1-2x3x方法二：十字相乘法： = （4）分组分解法3、分解因式的技巧：(1) 因式分解时，有公因式要先提公因式，然后考虑其他方法；(2）因式分解时，有时项数较多时，看看分组分解法是否更简洁(3)变形技巧：符号变形：、 xy-、当 n 为 奇数 时， nnxy-、当 n 为 偶数 时增项变形： 例： 224244 -1-1x xxx拆项变形：例 1-23233 x六、典题练习1、计算题- 7 -(1) （2) (3) (4) (5) 52-b-ax3232-amma25325103(6) 34xyxy2、快速计算：（1） （2） （3）9710210293、 ，
21、，求 的值。 4m6nn-m4、如果 成立，那么 , 。2xn5、在括号内填上指数和底数（1） （2） 8232396、化简求值：已知 ，求 的值。-x1-3-1-xxx7、已知 ，再求 的值。45y2y38、已知 ， ，求代数式的值：（1） （2）3ba- 2ab2b-a9、因式分解：1） 2） 3）652xyx-410、比较 的大小。9与11、不解不等式组 ，求 的值。6213-nm32-3-7mn第九章 分 式一、分式及其性质1、分式（1）定义：一般的，如果 a，b 表示两个整式，并且 b 中含有字母，那么式子 叫做分式；其中 a 叫ba做分式的分子，b 叫做分式的分母。 （2）有理式：
22、整式和分式统称为有理式。（3）分式值=0 分子=0，且分母0 （分式有意义，则分母0）（4）最简分式：分子和分母没有公因式的分式。2、分式的性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变即： （a，b，m 都是整式，且 ）ba 0m分式的性质是分式化简和运算的依据。3、约分：把一个式子的分子分母的公因式约去叫做约分。注：约分的结果应为最简分式或整式。4、约分的方法：1）若分子、分母均为单项式：先找分子、分母系数的最大公约数， 再找相同字母最低次幂；- 8 -2）若分子、分母有多项式：先把多项式因式分解，再找分子、分母的公因式。二、分式运算1、分式的乘除1）分式乘法法则：
23、两分式相乘，用分子的积做分子，分母的积做分母；即： bdac2）分式除法法则：两分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；即： bcaddcba3）分式乘方法则：分式的乘方就是分子分母分别乘方。即： ，nbannab12、分式的加减1）同分母分式加减：分母不变分子相加减；即： cba02）异分母分式加减：先通分，变为同分母的分式相加减，即： bdcadcba0三、分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2、解法：1）基本思路：分式方程 整式方程 转 化2）转化方法：方程两边都乘以各个分式最简公分母，约去分母。3）一般步骤：分式方程 整式方程 解整式方程 检验 通 过
24、转 化 方 法 注： 检验的是必不可缺的关键步骤，检验的目的是看是否有增根存在。四、分式应用列分式方程解决实际问题的一般步骤：审题 设未知数，找等量关系 列方程检验（是否有增根，是否符合题意） 得出答案五、分式解题中常用的数学思想和技巧1、已知 ，求 的值。 （整体思想、构造法）5yxyx23-2、已知 ，求 的值。 （整体思想、构造法）34225-3、已知 ，求 的值。1abc caba14、已知 ， ， ，求 （先求 的值，然同第 1 题做法）691c5bcba1- 9 -5、已知 ，求 的值。 （提示： ）412x21xxx126、已知 ，求 的值。 （提示：参数法）cbaacbcab7
25、、已知 ，求 的值。 （倒数求值法）1-2x124x8、已知 ，求 的值。 （提示：由 得 ）054015-2x5x9、已知 ， ，求 的值。6-34zyx07-2zyx22-35zyx（提示：消元代入法，把其中一个未知数看成常数，用它表示其它的未知数）10、计算：1） （提示：用字母代替数）2-03-20132） （提示：局部通分）421-xx3） (提示：假分式可先变形 ）-53- 12x六、典题练习1、如果分式 的值为 0，那么 x 的值是 。 2、在比例式 9:5=4:3x 中，2|5xx=_ 。3、计算: =_ 。1x4、当分式 的值相等时，x 须满足 。23与5、把分式 中的 x，
26、y 都扩大 2 倍，则分式的值 。 （填扩大或缩小的倍数）26、下列分式中，最简分式有 个。32222 1,axymnab7、分式方程 的解是 。 8、若 2x+y=0，则 的值为 。21439xx22xy9、当 为何值时，分式 有意义？ 10、当 为何值时，分式 的值为零？12 21x11、已知分式 :当 x= 时，分式没有意义；当 x= _时，分式的值为 0；当 x=2 时，x- 10 -分式的值为_。 12、当 a=_时，关于 x 的方程 = 的解是 x=1。23ax5413、一辆汽车往返于相距 a km 的甲、乙两地，去时每小时行 m km，返回时每小时行 n km，则往返一次所用的时
27、间是_。14、某班 a 名同学参加植树活动，其中男生 b 名(ba)若只由男生完成，每人需植树 15 棵；若只由女生完成，则每人需植树 棵。15、当 时，分式 的值与分式 的值互为倒数。16x5)1(x16、若方程 有增根，则增根是 。87x17、若 ，则 的值是 。 18、已知 ，求 的值。32bab 0132a142a19、已知 x+ =3，则 x2+ = _ 。 20、已知 =3，则分式 = 1 yxyx23。 21、化简求值（1） （1+ ）（1 ） ，其中 x= ； （2） ，其中 x= 。xx113(2)xx1222、解方程:（1） =2； （2） 。052 2311x23、已知方
28、程 ，是否存在 的值使得方程无解？若存在，求出满12xxmm足条件的 的值；若不存在，请说明理由。24、若 ，且 ，求 、 、 的值。53zy4zyxyz25、小亮在购物中心用 12.5 元买了若干盒饼干，但他在一分利超市发现，同样的饼干，这里要比购物中心每盒便宜 0.5 元因此当他第二次买饼干时，便到一分利超市去买，如果用去 14 元，买的饼干盒数比第一次买的盒数多 ，问他第一次在购物中心买了几盒饼干？ 25第十章 相交线、平行线与平移一、相交线1、对顶角：两条直线相交，有公共顶点且两边互为反向延长线的角叫对顶角。对顶角性质：对顶角相等2、垂直：（1）定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有
29、一个角是直角，就说明两条直线 相互垂直。记作；垂直的两条直线其中一条直线叫做另一条直线的 垂线；CDAB它们的交点叫做垂足；连接直线外一点与垂足形成的线段叫做垂线段。注：1）垂直是相交的一种特殊的情况；- 11 -2）两条线段垂直，垂足可能在线段上，也可能在延长线上。（2）性质：在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离。在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。4、垂线的画法： 略二、平行线1、定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。记作 ABCD。在同一平面内，两条直线的关系不是相交就是平行，没
30、有其他。2、相关概念：同位角，内错角，同旁内角。3、性质：基本性质：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线。其他性质： 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线位置关系 角的关系 性 质 两直线平行，同旁内角互补。4、平行判定： 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 角的关系 两直线位置关系 判 定 同旁内角互补，两直线平行。5、平行线的画法： 略三、平移1、定义：在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这个图形的变换叫做平移。2、性质：1）一个图形和它经过平移后所得到的图形中，两组对应点连接的线段平行（或在同一直线上）且相等；2）平移只改变图形的位
31、置，不改变图形的大小和形状。2、确定平移的要素： 1）方向； 2）距离。四、典题练习1、如图所示，下列判断正确的是( ) A、图中1 和2 是一组对顶角 B、图中1 和2 是一组对顶角C、图中1 和2 是一对邻补角 D、图中1 和2 互为邻补角2、下列说法中正确的是（ ）A、有且只有一条直线垂直于已知直线；B、直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；C、互相垂直的两条直线一定相交；D、直线 外一点 A 与直线 上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是 3cm，则点ccA 到直线 的距离是 3cm。3、如图，下列说法错误的是（ ）1 212 1 2 1 2第 3 题图- 12 -A
32、B 1 EF 2 CP DNMBAA.A 与C 是同旁内角 B.1 与3 是同位角C.2 与3 是内错角 D.3 与B 是同旁内角4、在如图所示的四个汽车标志图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图案是( )A B C D5、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（ ）A第一次右拐 50，第二次左拐 130 B第一次左拐 50，第二次右拐 50C第一次左拐 50，第二次左拐 130 D第一次右拐 50，第二次右拐 505、6、如图，已知1=60，如果 CDBE ，那么B 的度数为 。7、如图，直线 a、b 都与直线 c 相交，给出下列条件：12；
33、36；47180；58180.其中能判断 ab 的条件是 。 （填序号）8、如图，当剪刀口AOB 增大 21时，COD 增大 。9、吸管吸易拉罐的饮料时，如图， ，则 。0210、 如图，由三角形 ABC 平移得到的三角形共有 个。11、如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则 _ 。112、 已知：如图， 。试说明 。BAPD1802， E13、如图所示，一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶,M,N 分别是 位于公路 AB 两侧的村庄，设汽车行驶到 P 点位置时，离村庄 M 最近，行驶到 Q 点位置时，离村庄 N 最近，请你在 AB 上分别画出P，Q 两点的位置。14、如图所示，已知 ABCD，分别探索下列四个图形中P 与A、C 之间的关系，请你从所得的四个关系中任选一个加以说明。PDCBAPDCBA PDCBAPDCBA(1) (2) (3) (4)CBAODC BA第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图第 7 题图第 6 题图第 11 题图- 13 -15、如图所示，一个四边形纸片 ， ，把纸片按如图所示折叠，使点 落在ABCD90 B边上的 点， 是折痕。ADBE（1）试判断 与 的位置关系；（2）如果 ，求 的度130C
