1、1上海高一数学知识点归纳第 1 章 集合与命题1.1 集合与元素（1）集合的概念常把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合.（2）集合中的元素集合中的各个对象叫做这个集合的元素,集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（3）集合与元素间的关系对象 与集合 的关系是 ，或者 ，两者必居其一.aMaaM（4）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法： | 具有的性质，其中 为集合的代表元素 .xx图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集
2、.不含有任何元素的集合叫做空集( ).（6）常用数集及其记法表示自然数集， 或 表示正整数集， 表示整数集， 表示有理数集， 表NNZQR示实数集.1.2 集合与集合名称 记号 意义 性质 示意图子集BA（或 )A 中的任一元素都属于 B(1)A A(2)(3)若 且 ，则BCA(4)若 且 ，则ABA(B)或B A真子集A B（或B A），且 B 中至少有一元素不属于 A(1) （A 为非空子集）(2)若 且 ，则BCB A集合相等A 中的任一元素都属于 B，B 中的任一元素都属于 A(1)A B(2)B AA(B)2重要结论：已知集合 有 个元素，则它有 个子集，它有 个真子集，它A(1)
3、n2n21n个非空子集，它有 非空真子集.21n21.3 集合的基本运算交集、并集、补集名称 记号 意义 性质 示意图交集 AB且|,xAB（1） A（2） （3） ABBA并集 AB或|,xAB（1） （2） （3） ABBA补集 ACU|,x且CUUA1.4 命题的形式及等价关系（1）命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.“若 ，则 ”形式的命题中pq的 称为命题的条件， 称为命题的结论.pq（2）逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若 ，则 ”，它的
4、逆命题为“若 ，则 ”.p（3）否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若 ，则 ”，则它的否命题为“若 ，则 ”.pqq（4）逆否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若 ，则 ”，则它的否命题为“若 ，则 ”。p1.5 充分条件与必要条件充分条件、必要条件、充要条件如果 ,那么 P 是 Q 的充分条件，Q 是 P 的必要条
5、件。3如果 ,那么 P 是 Q 的充要条件。也就是说，命题 P 与命题 Q 是等价命题。1.6 命题的运算命题的非运算命题的且运算命题的或运算1.7 抽屉原则与平均数原则第 2 章 不等式2.1 不等式的基本性质1.如果 .;,caba那 么2.如果 那 么3.如果 .,0:,0 bcacbacc 那 么如 果那 么4.如果 dba.d那 么5.如果 ,cc那 么6.如果 ，那么0.1ba7.如果 ，那么 .ba)(Nn8.如果 ,那么 1,n2.2 一元二次不等式的解法这个知识点很重要，可根据 与 0 的关系来求解，注意解的区间的表示，不等式组也是一样。解分式不等式的方法就是将它转化为解整式
6、不等式。求一元二次不等式 解集的步骤：2()axbc或 2,40)abac一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.区间的概念及表示法设 是两个实数，且 ，满足 的实数 的集合叫做闭区间，记做,ababxbx；满足 的实数 的集合叫做开区间，记做 ；满足 ，或xx(,)axb的实数 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 ， ；满足x ,的实数 的集合分别记做 ,abxx,)(,()4注意：对于集合 与区间 ，前者 可以大于或等于 ，而后者必须|xab(,)
7、ab， （前者可以不成立，为空集；而后者必须成立） ab2.3 其他不等式的解法（1）分式不等式的解法先移项通分标准化，则（ 时同理）()0()0()()fxfxggf“或 ”规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.（2）含绝对值不等式的解法不等式 解集|(0)xa|xa|或|,|(0)axbcc把 看成一个整体，化成 ，axb|xa型不等式来求解|(0)两个基本不等式：1.对任意实数 有 当且仅当 时等号成立。2.,ba和 ,22abb对任意正数 有 ，当且仅当 时等号成立。我们把,ba和 2分别叫做正数 的算术平均数和几何平均数。和2ba、（3）无理不等式的解法方法：将无理不等式转化为
8、有理不等式求解， 2()0()0)fxfxaa 2()()fxfx 2(0()0()ffxfgxgf或5 2()0()fxfxgfg()()()0xfxf（4）高次不等式的解法方法：穿根法分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切） ，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.2.4 基本不等式及其应用1. ,（当且仅当 时取 号）. 2ababR， ab“2. ,（当且仅当 时取到等号） .，用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） ，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.2.5 不等式的证明常用方法有：比较法（作差，作商法） 、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法
9、、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如 22131()();4aa将分子或分母放大（缩小） ，如2,(1)k2,(1)k,k*12(,1)1kNk第三章函数的基本性质3.1 函数的概念在某个变化过程中有两个变量 ，如果对于 在某个实数集合 D 内的每一个确定的yx,x值，按照某个对应法则 ， 都有唯一确定的实数值与它对应，那么 就是 的函数.f yx记作： 是自变量 D 是定义域 与 对应的 值叫做函数值xfy函数值的集合是值域63.2 函数关系的建立函数的三要素:定义域、值域和对应法则表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：
10、就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系3.3 函数的运算函数的和： xgfxh3.4 函数的性质（1）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质 定义 图象 判定方法如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)=f(x),那么函数 f(x)叫做奇函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利
11、用图象（图象关于 y 轴对称）若函数 为奇函数，且在 处有定义，则 ()fx0x(0)f（2）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质 定义 图象 判定方法函数的单调性如果对于属于定义域 I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x 2,当x1f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数y=f(X)yxo x x2f(x ) f(x )1（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数（3）函数的最值一般地，设函数
12、的定义域为 ，如果存在实数 满足：()yfxIM（1）对于任意的 ，都有 ；I（2）存在 ，使得 那么，我们称 是函数 的最大值，记作0x0()fxM()fxma()f一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：()yfxIm（1）对于任意的 ，都有 ；Im（2） （2）存在 ，使得 那么，我们称 是函数 的最小值，记0x0()fx()fx作 max()f（4）函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫)(Dxfy0)(xfx做函数 的零点。)(Dxfy2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数)(xfy)(xf的图象与 轴交点的横坐标。即：)(xfy
13、方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数0)(xfy有零点)(xfy3、函数零点的求法：求函数 的零点：)(f8（代数法）求方程 的实数根； 1 0)(xf（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来， 2 )(xfy并利用函数的第 4 章 幂函数、指数函数和对数函数4.1 幂函数的性质（1）幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数yxx（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、y三象限(图象关于原点对称
14、)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 (0,(1,)9单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数如果00,)，则幂函数的图象在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与0(,)x轴y奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数4.2 指数函数的图像与性质函数名称 指数函数定义 函数 且 叫做指数函数(0xya1)101a图象定义域 R值域 (0,)过定点 图象过定点 ，即当 时， ,1x1y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数R在 上是减函数R函数值的变化情况1(0)()xxa(0)1()xxa
15、变化对 图象的a影响在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图象越低 （趋势）aa4.3 对数概念及其运算（1）对数的定义若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中(0,1)xaNa且 xaNlogaxN01xyx(,)O101xx(,)Oy10叫做底数， 叫做真数aN负数和零没有对数对数式与指数式的互化： log(0,1)xaxNaN（2）几个重要的对数恒等式， ， log10al1alba（3）常用对数与自然对数常用对数： ，即 ；自然对数： ，即 （其中 ） lN10loglnNloge2.718（4）对数的运算性质 如果 ，那么,0,aM加法： 减法：lll()alllog
16、aaaMN数乘： ognanRlogaN 换底公式：ll(0,)baMblog(,1lbN且4.4 反函数的概念（1）反函数的概念设函数 的定义域为 ，值域为 ，从式子 中解出 ，得式子()yfxAC()yfx如果对于 在 中的任何一个值，通过式子 ， 在 中都有唯一()xCA确定的值和它对应，那么式子 表示 是 的函数，函数 叫做函数()xyx()xy的反函数，记作 ，习惯上改写成 ()yfx1f 1yf（2）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式 中反解出 ；()yfx1()fy将 改写成 ，并注明反函数的定义域1xf1()f反函数的性质:原函数 与反函数 的图象关于直
17、线 对称()yf1()yfxyx函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域x 1()f若 在原函数 的图象上，则 在反函数 的图象上(,)Pab()yfx,Pba1()yfx11一般地，函数 要有反函数则它必须为单调函数()yfx4.5 对数函数的图像与性质函数名称 对数函数定义 函数 且 叫做对数函数log(0ayx1)101a图象定义域 (0,)值域 R过定点 图象过定点 ，即当 时， (1,)1x0y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数(0,)在 上是减函数(,)函数值的变化情况log1()l0aaxlog01()laax变化对 图象的a影响 在第一象限内， 越大图象越靠低；在
18、第四象限内， 越大图象越靠高4.6 简单的指数方程指数方程：我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程.1.注意定义域2.熟练使用指数对数运算公式3.熟练运用函数性质，留意换元法4.7 简单的对数方程对数方程：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程.01 xyO(,)xlogayx01 xyO(,)xla12第 5 章 三角比5.1 任意角及其度量（1）角的分类1、 正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：不作任何旋转形成的角2、角 的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称x为第几象限角第一象限角的集合为 3603609,kkk第二象
19、限角的集合为 918第三象限角的集合为 18270,kkk第四象限角的集合为 3602736如果角 的终边落在坐标轴上，则也可以称为轴线角.终边在 轴上的角的集合为x18,k终边在 轴上的角的集合为y09k终边在坐标轴上的角的集合为 ,3、与角 终边相同的角的集合为36kk（2）角的弧度制1、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度12、半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是 rllr3、弧度制与角度制的换算公式： ， ， 236018057.35.2 任意角的三角比1、三角比定义设角是一个任意角，将角置于平面直角坐标系中，角的顶点与原点 O 重合，的始边与 x 轴的正
20、半轴重合，在的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）,有点 P 到原点的距离为： 022yxyr_sinco42-2-4r yx xyQOP(x,y)13Pvx y A OMT _tancose_c2、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正3、单位圆：圆心在坐标原点，半径为 1 的圆（解决任意角，三角比问题的利器）.4、三角函数线： ， ， sincostan说明：三角函数线是有向线段（向量） ，既有长度，又有方向,方向的正负与对应 的三角比值保持一致. （1）正弦线：无论 是第几象限角，过 的终边与单位圆的交点 P 作 x 轴的垂线，
21、交 x轴于 M，有向线段 MP 的符号与点 P 的纵坐标 y 的符号一致，长度等于y所以有 =MP我们把有向线段 叫做角 的正弦线，正弦线是角 的正弦值的几何形siny式（2）余弦线：有向线段 叫做 的余弦线.O（3）正切线：过 A（1，0）点作单位圆的切线（x 轴的垂线） ，设 的终边或其反向延长线与这条切线交于 T 点，那么有向线段 叫做角 的正切线.AT5.2 任意角的三角比145.3 同角三角比的关系和诱导公式同角三角函数的基本关系式；221sincos1222incos,1sinsintaco.（3） 倒数关系：ita,ta tat1， ， 1sin2sinkco2cosktn2tn
22、kk， ， aa， ， 3sisicsstt， ， 4nocoanan5sics2si2， 6inoin5.4 两角和与差的余弦，正弦与正切 ； ；coscssincoscossin ； ；iniocinic （ ） ；tata1nttata1tan （ttnattntnt5.5 二倍角的正弦、余弦和正切公式 si2icos 222 )cos(incosinn1 2cossi1升幂公式 sic,s2c12降幂公式 ， 2os21oin 半 角 公 式 sinco1csico12tann;cos: 152tant15.6 正弦定理，余弦定理和解斜三角形1、正弦定理：在 中， 、 、 分别为角 、
23、 、 的对边， ，则有CAabcAC( 为 的外接圆的半径)2sinsinabcR2、正弦定理的变形公式： ， ， ；sin2sinR2sinc ， ， ； ；iic:ab3、三角形面积公式： 11sisisi2CSbCA 4、余弦定理：在 中，有 ，推论：2coaA2cobac第 6 章 三角函数6.1 及 6.2 正弦函数与余弦函数，正切， （余切）的图像与性质sinyxcosyxtanyxy=cotx图象y=cotx 322 2-2 oyx定义域 RR,2xk,2xk值域 1,1,RR最值当 2xk当 时，2xk既无最大值也无最小值既无最大值也无最小值2tan1 cos;t2 si: 2
24、万 能 公 式 函 数性质16时，k；当max1y2k时，min1y；当max1y2k时，min1y周期性 22奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数单调性在 ,2k上是增函数；在 32,2k上是减函数在,2kk上是增函数；在 ,上是减函数k在 ,2k上是增函数对称性对称中心,0k对称轴 2xk对称中心 ,02kk对称轴 x对称中心 ,02k无对称轴对称中心 ,02k无对称轴6.3 函数 的性质sin0,yA振幅： ；周期： ；频率： ；相位： ；初相：12fx函数 ，当 时，取得最小值为 ；当 时，取得最大sinyx1xminy2值为 ，则 ， ， maxmain12yAmaxi2y21xx176.4 反三角函数6.5 最简单的三角方程方程 方程的解集axsin1Zkakx,rcsin2|,1|xcos kkxarcos|1aZ,2|tn|arctnxkkcoxa|o,名称 函数式 定义域 值域 奇偶性 单调性反正弦函数 xyarcsin增1,2,奇函数 增函数反余弦函数 o减,0xxarcos)arcos(非奇非偶 减函数反正切函数 arctnyxR 增 2,奇函数 增函数反余切函数 otR 减 ,0cot()cotarxarx非奇非偶 减函数
