1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题) 两部分 .第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1 ）已知 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是(3)(1)izm（A） （B） （C） （D）31,+3-【解析】A ， ， ，故选 A30m11m（2 ）
2、已知集合 ， ，则,2A|()20BxxZB（A） （B）11（C ） （D）023 023【解析】C，10ZBxx1Zx ， ，0 23AB故选 C（3 ）已知向量 ，且 ，则 m=(1,)(3,2)amb=()ab（A） （B） （C）6 （D）88【解析】D，42abm ， ()()12()0abm解得 ，8故选 D（4 ）圆 的圆心到直线 的距离为 1，则 a=28130xy10axy（A） （B） （C ） （D ）2343【解析】A圆 化为标准方程为： ，2810xy2214xy故圆心为 ， ，解得 ，4241ad3a故选 A（5 ）如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小
3、红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A）24 （B）18 （C）12 （D ）9【解析】B有 种走法， 有 种走法，由乘法原理知，共 种走法EF6FG36318故选 B（6 ）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20 （B）24 （C） 28 （D）32【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为 ，周长为 ，圆锥母线长为 ，圆柱高为 rclh由图得 ， ，由勾股定理得： ，2r4c 2234l，1Shl 682故选 C（7 ）若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 个单位长度，则平
4、移后图象的对称轴为12（A） （B）6kxZ6kZ（C ） （D）2121x【解析】B平移后图像表达式为 ，sin12yx令 ，得对称轴方程： ，2+12xk 6Zk故选 B（8 ）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的 ， ，依次输入的 a 为 2，2，5，则输出的2xn s（A）7 （B ）12 （C）17 （D）34【解析】C第一次运算： ，02s第二次运算： ，6第三次运算： ，2517s故选 C（9 ）若 ，则 =3cos45sin2（A） （B） （C） （D）72115725【解析】D ， ，3cos45 27sin2coscos
5、1425故选 D（10 ）从区间 随机抽取 2n 个数 , ， ， ， ， ，构成 n 个数对0,11x2nx1y2ny， ， ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟1,xy2,nxy的方法得到的圆周率 的近似值为（A） （B） （C ） （D）4nm24mn2n【解析】C由题意得： 在如图所示方格中，而平方和小于 1 的点均在12iixy如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知 ， ，故选 C41mn4（11 ）已知 ， 是双曲线 E： 的左，右焦点，点 M 在 E 上， 与 轴垂直，1F22xyab 1Fxsin ,则 E 的离心率为3M（A） （B ） （C） （D
6、 ）2223【解析】A离心率 ，由正弦定理得 12FeM1212sin31FMeF故选 A（12）已知函数 满足 ，若函数 与 图像的交点Rfx2fxf1xyyfx为 ， ， ， ，则 （ ）1y2ymy1miii（A）0 （B）m （C）2 m （D ）4m【解析】B由 得 关于 对称，2fxffx01而 也关于 对称，1y对于每一组对称点 ，0ix=2iiy ，故选 B11mmiiiii mxy第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答第2224 题为选考题，考生根据要求作答（13 ） 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ， ， ，4os
7、5Acs13Ca则 b【解析】 213 ， ，4cos5Acs13C， ，in2i，63siisincosin5BAC由正弦定理得： 解得 iibaB21b（14 ） ， 是两个平面，m，n 是两条线，有下列四个命题：如果 ， ， ，那么 n如果 ， ，那么 m如果 ， ，那么 a如果 ， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等mn【解析】（15 ）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5
8、”，则甲的卡片上的数字是 【解析】 (1,3)由题意得：丙不拿（2，3） ，若丙（1，2 ） ，则乙（2 ，3） ，甲（1，3）满足，若丙（1，3 ） ，则乙（2 ，3） ，甲（1，2）不满足，故甲（1，3 ） ，（16 ）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线， ykxbln2yxln1yxb【解析】 1ln2的切线为： （设切点横坐标为 ）lyx11lnyx1x的切线为：ln1222lxx1222lnl1xx解得 1x2 lnlb三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17 ） （本小题满分 12 分）为等差数列 的前 n 项和，且 ， 记 ，其中 表示不超过nSna1a72
9、8Slgnbaxx 的最大整数，如 ， 0.9lg9（）求 ， ， ；1b10（）求数列 的前 项和n【解析】设 的公差为 ， ，ad7428Sa ， ， 44131()ndn ， ， 1lgl0ba11lglba101010lgl2ba记 的前 项和为 ，则nnT021210lgllgaa当 时， ；0ln 29当 时， ；1g2a 10当 时， ；l3n 9当 时， lgna10 109293189T（18 ） （本小题满分 12 分）某险种的基本保费为 a（单位：元） ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4
10、5保 费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数 0 1 2 3 4 5概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 的概率；60%（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值【解析】 设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 ，A()1()(0.3.15)0.PA设续保人保费比基本保费高出 为事件 ，6%B()()051BPA解：设本年度所交保费为随机变量 XX.8a.25a175a2P03
11、.102010.5平均保费 .8525.1.75.2.EXaaa，02103073平均保费与基本保费比值为 1.2（19 ） （本小题满分 12 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O， ， ，点 E，F 分别在5AB6CAD，CD 上， ， EF 交 BD 于点 H.将 DEF 沿 EF 折到 的位置 .54AECF D10O（I）证明： 平面 ABCD；DH（II）求二面角 的正弦值.B【解析】证明： ，54AECF ，D 四边形 为菱形，ABCD ， ，EF ，DH ，6AC ；3O又 ， ，5BB ，4 ，1AEOHD ，3 ，222 DHO又 ，EFI 面 A
12、BC建立如图坐标系 Hxyz， ， ， ，50B130C3D130A， ， ，4AurAur 6Cur设面 法向量 ，ABD1nxyz， ，ur由 得 ，取 ，10n430xyz345xyz 1345nur同理可得面 的法向量 ，ADC2301nur ，12957cos1nru i（20 ） （本小题满分 12 分）已知椭圆 E: 的焦点在 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 的直线交 E 于213xytx (0)kA，M 两点，点 N 在 E 上，MANA.（I）当 ， 时，求 AMN 的面积；4tA（II）当 时，求 k 的取值范围.2【解析】 当 时，椭圆 E 的方程为 ，A 点坐标为
13、，4t2143xy20则直线 AM 的方程为 yk联立 并整理得，2143xyk222341610kxk解得 或 ，则2x286k222813434AMk因为 ，所以AMN2 221134kkk因为 ， ，0k所以 ，整理得 ，222114343kk2140kk无实根，所以 240所以 的面积为 AMN2211439A直线 AM 的方程为 ，ykxt联立 并整理得，213xtykt22330tkxtktt解得 或 ，xt2tkt所以22 2236113tttAMkkk所以263tNk因为 A所以 ，整理得， 222661133ttkk 236kt因为椭圆 E 的焦点在 x 轴，所以 ，即 ，整
14、理得t23k2310k解得 32k（21 ） （本小题满分 12 分）(I)讨论函数 的单调性，并证明当 时， (x)e2xf0x(2)e0;x(II)证明：当 时，函数 有最小值.设 的最小值为 ，0,1)a2e=xagg()ha求函数 的值域 .()h【解析】证明： 2exf224eexxf当 时，, 0f 在 上单调递增fx2 时，0e0=1xf 2x 24eexaag4x32exa01a，由(1)知，当 时， 的值域为 ，只有一解x2exfx1，使得 ，2eta0t，当 时 ， 单调减；当 时 ， 单调增(0,)xt(gx()x(,)xt(0gx()x22e1ee 2t tt tah记
15、 ，在 时， ， 单调递增tk0,t10tkkt 21e4hat，请考生在 22、23 、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22 ） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，在正方形 ABCD，E，G 分别在边 DA，DC 上（不与端点重合） ，且 DE=DG，过 D 点作DFCE，垂足为 F.(I) 证明：B，C，G，F 四点共圆；(II)若 ，E 为 DA 的中点，求四边形 BCGF 的面积.1A【解析】 （）证明： DFCE Rtt GBFDBC ，E G DFBC 90FGCDFC 180GFBB，C，G，F 四点共圆（）E 为
16、AD 中点， ，1AB ，2DE在 中， ，RtGFC 连接 ， ，BtRtBFG 12=2BCGBCFSS（23 ） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直线坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 265xy（I）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；（II）直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，l 与 C 交于 A、B 两点， ，求 lcosiny 10的斜率【解析】解：整理圆的方程得 ，210xy由 可知圆 的极坐标方程为 22cosinxyC21cos0记直线的斜率为 ，则直线的方程为 ，k0kxy由垂径定理及点到直线距离公式知： ，226151即 ，整理得 ，则 2369014k253k3k（24 ） （本小题满分 10 分） ，选修 45：不等式选讲已知函数 ，M 为不等式 的解集.12fxx2fx（I）求 M；（II）证明：当 a， 时， b1ab【解析】解：当 时， ，若 ；12x22fxx12x当 时， 恒成立；11f当 时， ，若 ， 12x2fx2fxx综上可得， |1M当 时，有 ，ab， ， 210ab即 ，221则 ，2则 ，221abb即 ，1ab证毕
