1、 第 1 页 （共 21 页）2018 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全1 （2018 全国新课标理）记 nS为等差数列 na的前 项和.若 324S， 1a，则 5（ ）A 2 B 10 C D 12答案：B 解答：111111343() 967320adadada6203， 5(3)0.2.（2018 北京理）设 是等差数列，且 a1=3，a 2+a5=36，则 的通项公式为_n n【答案】 63na【解析】 1Q， 46d， d， 3613n3 （2017 全国新课标理）记 为等差数列 的前 项和若 ， ，则 的公nSa452a648Sna差为A1 B2 C4 D8【答案】C【解
2、析】设公差为 ， ，d51113427add，联立 解得 ，故选 C.611562Sa1,658a4秒杀解析：因为 ，即 ，则6634()()S346，即 ，解得 ，故选 C.4534()()852ad4.（2017 全国新课标理）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【答案】B5.（2017全国新课标理）等差数列 的首中华.资*源% 库 项为1，公差不为0若 ， ， 成等比数
3、列，则na2a36前 6项的和为（ ）na第 2 页 （共 21 页）A B C3 D824【答案】A【解析】 为等差数列，且 成等比数列，设公差为 .na26,ad则 ，即2361115da又 ，代入上式可得1 20又 ，则0d ，故选 A.6156242Sa6 （2017 全国新课标理）记 为等差数列 的前 项和若 ， ，则 的公nSna452a648Sna差为A1 B2 C4 D8【答案】C【解析】设公差为 ， ，d51113427add，联立 解得 ，故选 C.611562Sa1,658a4秒杀解析：因为 ，即 ，则6634()()S346，即 ，解得 ，故选 C.4534()()85
4、2ad7.（2015 福建文）若 ,ab 是函数 0,fxpq 的两个不同的零点，且 ,2ab 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的值等于_【答案】98.（2017全国新课标理）等差数列 的首中华.资*源% 库 项为1，公差不为0若 ， ， 成等比数列，则na2a36前 6项的和为（ ）naA B C3 D824【答案】A【解析】 为等差数列，且 成等比数列，设公差为 .n26,ad则 ，即236a1115da又 ，代入上式可得1 20又 ，则0d ，故选 A.615642S第 3 页 （共 21 页）9.（2016 全国理）已知等差数列 前 9 项的和为 2
5、7, ,则 （ ）na108a10（A）100 （B）99 （C） 98 （D）97【答案】C【解析】：由已知, 所以 故选 C.193627,8ad110,9198,adad考点：等差数列及其运算【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一10 （2016 四川理）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上
6、一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（ ）（参考数据：lg 1.120.05， lg 1.30.11，lg20.30）（ A）2018 年 （B）2019 年 （C）2020 年 （D）2021 年【答案】B【解析】试题分析：设第 年的研发投资资金为 ， ，则 ，由题意，需nna130130.2nna，解得 ，故从 2019年该公司全年的投入的研发资金超过 200万，选 B.130.20na5考点：等比数列的应用.11 （2018 全国新课标理）记 nS为数列 na的前 项和 .若 21nSa，则 6S_答案： 63解答：依题意， 12,naS作差得 12
7、na，所以 na为公比为 2的等比数列，又因为112aS，所以 ，所以，所以661()3S.12.(2017北京理)若等差数列 和等比数列 满足 a1=b1=1，a 4=b4=8，则 =_.nan2a【答案】1【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为 和 ， ，求得dq38dq，那么 .2,3qd213b13.(2017江苏) 等比数列 的各项均为实数,其前 项的和为 ,已知 ,则 = .nannS3674S,8a【答案】32【解析】当 时，显然不符合题意；1q第 4 页 （共 21 页）当 时， ，解得 ，则 .1q316()74aq142aq78123【考点】等比数列通项14.
8、（ 2017 全国新课标理）等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 nanS3a410S1nkS。【答案】 21n【解析】试题分析：设等差数列的首项为 ，公差为 ，1ad由题意有： ，解得 ，12340ad1数列的前 n 项和 ,1 1222n nnSd裂项有： ，据此：kk。1 112.23nk nSn 15 （ 2017 全国新课标理）设等比数列 满足 ， ，则 _a12a13a4【答案】 8【解析】 为等比数列，设公比为 ，即 ，naq12312q显然 ， ，1q0得 ，即 ，代入 式可得 ， 32q 1a3418a16 （2016 北京理）已知 na为等差数列， nS为其前 项和，若 1
9、6a， 350，则 6=S_【答案】6【解析】试 题分析： n是等差数列， 35420a， 4， 41ad，2d， 61561(2)6Sad，故填：6考点：等差数列基本性质.【名师点睛】在等差数列五个基本量 1a， d， n， a， nS中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前 n项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用.17 （2016 江苏） 已知 是等差数列， 是其前 项和.若 ，则 的值是 .nn 2153,S=10a9a【答案】 20.第 5 页 （共 21 页）【解析】由 得 ，因此510S32a29(d)3,2
10、360.a考点：等差数列性质【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如及等差数列广义通项公式*1()(),(1,)2nmtnaaStnmtN、 、 ().nmad18.（2016 全国理）设等比数列 满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2 an的最大值为 n【答案】 64【解析】试题分析：设等比数列的公比为 ,由 得, ,解得 .所以q132405a21()05aq182aq,于是当 或 时, 取得最大值 .2()712()12 8nnnnaq 341n 64考点：
11、等比数列及其应用高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做. 19. （2016 上海文、理）无穷数列 由 k个不同的数组成， 为 的前 n项和.若对任意 ，nanSaNn，则 k的最大值为_.3,2nS【答案】4【解析】试题分析：当 时， 或 ；当 时，若 ，则 ，于是 ，若1n2a1322nS1n0na，则 ，于是 .从而存在 ，当 时， .其中数列 ：3nS1n0Nkk0ka满足条件，所以 .2,0,max4考点：数列的求和.【名师点睛】从研究 与 的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意 “数列 由 k个nS na不同
12、的数组成”的不同和“k 的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.20. （2016 浙江理）设数列a n的前 n 项和为 Sn.若 S2=4，a n+1=2Sn+1，nN *，则 a1= ，S 5= .【答案】 1 2【解析】试题分析： 121124, ,3a，再由 1 1,() (2)nnnnnaSaaa ，又 213a，所以5533(),.1考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前 项和第 6 页 （共 21 页）【易错点睛】由 12naS转化为 13na的过程中，一定要检验当 1n时是否满足 13na，否则很容易出现错误21.(2017北京理)若等差数列 和等比
13、数列 满足 a1=b1=1，a 4=b4=8，则 =_.nn2【答案】1【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为 和 ， ，求得dq38dq，那么 .2,3qd213ab22.(2017江苏) 等比数列 的各项均为实数,其前 项的和为 ,已知 ,则 = .n nnS3674S,8a【答案】32【解析】当 时，显然不符合题意；1q当 时， ，解得 ，则 .361()74aq142aq78123【考点】等比数列通项23.（ 2017 全国新课标理）等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 nanS3a410S1nkS。【答案】 21n【解析】试题分析：设等差数列的首项为 ，公差为 ，1ad
14、由题意有： ，解得 ，12340ad1数列的前 n 项和 ,1 1222n nnSd裂项有： ，据此：kk1 112.23nk nSn 。24 （ 2017 全国新课标理）设等比数列 满足 ， ，则 _a12a13a4【答案】 8【解析】 为等比数列，设公比为 naq，即 ，123123a显然 ， ，q10得 ，即 ，代入 式可得 ， q 1a334128a第 7 页 （共 21 页）25. （2016 北京文）已知 na是等差数列， nb是等差数列，且 32b， 9， 1ba， 4.（1）求 na的通项公式；（2）设 nbc，求数列 nc的前 n 项和.【答案】 （1） 21（ ， 2， 3
15、， ） ；（2） 231n（II）由（I）知， 21na， 13nb因此 ncb从而数列 的前 项和113213nnSn231n考点：等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式，考查运算能力.【名师点睛】1.数列的通项公式及前 n 项和公式都可以看作项数 n 的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前 n 项和 Sn可视为数列S n的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量 )、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想( 如：求通项公式)、分类讨论
16、思想(如：等比数列求和， 1q或 )等.第 8 页 （共 21 页）26. （2016 全国文）已知 是公差为 3 的等差数列,数列 满足 ,nanb121=3nnbab， ，.（I）求 的通项公式；（II ）求 的前 n 项和.nab【答案】 （I） （II）311.23n（II）由（I）和 ,得 ,因此 是首项为 1,公比为 的等比数列.记 的前1nnab13nbn13nb项和为 ,则nS11()3.2nnn27.（2016 全国文）等差数列 中， .na3457,6a（）求 的通项公式；na（） 设 ，求数列 的前 10 项和，其中 表示不超过 的最大整数，如0.9=0,2.6=2.bn
17、bxx【答案】 （） ；（）24.235n试题解析：()设数列 的公差为 d，由题意有 ，解得 ，na11254,3ad12,5ad所以 的通项公式为 .na235n（）由()知 ，nb第 9 页 （共 21 页）当 1,2,3 时， ；n231,15nb当 4,5 时， ；,2n当 6,7,8 时， ；n234,5nb当 9,10 时， ，,n所以数列 的前 10项和为 .nb13242考点：等差数列的性质 ，数列的求和.【名师点睛】求解本题会出现以下错误：对“ 表示不超过 的最大整数”理解出错；xx28. （2016 全国理） 为等差数列 的前 项和，且 记 ，其中 表示nSna17=28
18、.aS， =lgnbax不超过 的最大整数，如 x0.9=lg1，（）求 ；11b， ，（）求数列 的前 1 000项和n【答案】 （） ， ， ；（）1893.0b102【解析】试题分析：（）先用等差数列的求和公式求公差 ，从而求得通项 ，再根据已知条件 表示不超dnax过 的最大整数，求 ；（）对 分类讨论，再用分段函数表示 ，再求数列 的前 1 x110b， ， nbnb000项和试题解析：（）设 的公差为 ，据已知有 ，解得nad7218d1.d所以 的通项公式为na.1110lg0,lg,lg2.bb考点：等差数列的的性质，前 项和公式，对数的运算.n第 10 页 （共 21 页）【
19、名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧” ；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新” ；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新” ，应特别关注创新题型的切入点和生长点.29.（2016 全国文）已知各项都为正数的数列 满足 ， .na1211()20nnaa（I）求 ；23,a（II）求 的通项公式.n【答案】 （） ；（） 41,23a12na【解析】试题分析：（）将 代入递推公式求得 ，将 的值代入递推公式可求得 ；（）将已知的递1 2 3a推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列 为等比数列，由此可求得数列 的通项公式nan试题解析：（）由题意得 . .5分
20、41,32a考点：1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明 （常数） ；（2）中项法，1naq即证明 根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列212nna来求解30（2016 全国理）已知数列 的前 n 项和 ，其中 anaS10（I）证明 是等比数列，并求其通项公式； na（II）若 ，求 3215S【答案】 （） ；（） 1)(nna1第 11 页 （共 21 页）由 ， 得 ，所以 .01a0na1na因此 是首项为 ，公比为 的等比数列，于是 n11)(1nna（）由（）得 ，由 得 ，即 ，
21、nnS)(3215S32)(5532解得 考点：1、数列通项 与前 项和为 关系；2、等比数列的定义与通项及前 项和为 nan nnS【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明 （常数） ；（2）中项法，1naq即证明 根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列212nna来求解31.（2016 山东文）已知数列 的前 n 项和 ， 是等差数列，且 .a238nSnb1nnab（I）求数列 的通项公式； nb（II）令 .求数列 的前 n 项和 . 1()2naccT【答案】 （） ;（ ）3b23n试题解析：（）由题意当 时， ，当 时， ；所
22、以2n561nSan 11Sa第 12 页 （共 21 页）；设数列的公差为 ，由 ，即 ，解之得 ，所以56nad321badb32713,41db。13b（）由（）知 ，又 ，即11)()3(6nnnc nnccT32122423 nT，所以 ，以上两式两边相减得)(25nn。221432 3)1(43 nnnn所以 nnT考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.32.（2016 山东理）已知数列 的前 n 项和 Sn=3n2+8n， 是等差数列，且 nanb1.nnab（）求数列 的通项公式；nb（）令 求数列 的前 n 项和 Tn.1().2na
23、cnc【答案】 （） ；（） .3b23【解析】试题分析：（）根据 及等差数列的通项公式求解；（）根据（）知数列 的通项1nnSa nc公式，再用错位相减法求其前 n项和.试题解析：（）由题意知当 时， ，2561nSan当 时， ，所以 .设数列 的公差为 ，1n1Sa56nnbd由 ，即 ，可解得 ，32bdb3271 3,41所以 .1n（）由（）知 ，11(6)()23nnnc又 ，nnT21得 ，34132()n，452n 两式作差，得第 13 页 （共 21 页）234122()nnnT224(1)3(nn所以 nnT考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.
24、“错位相减法”.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.32.（2016 浙江文）设数列 na的前 项和为 nS.已知 2=4， 1na=2S+1， *N.（I）求通项公式 n；（II）求数列 2的前 项和.【答案】 （I） 1*3,naN；（II） 2*,1352,nTnN.第 14 页 （共 21 页）考
25、点：等差、等比数列的基础知识.【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列 nab的求和，其中 na是等差数列，nb是等比数列；（2）裂项法：形如数列 1fng或 1fg的求和，其中 f，g是关于 的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分33.(2017北京文)已知等差数列 和等比数列 满足 a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5nan（）求 的通项公式； （）求和： na351n【答案】（） ；（） .21312第 15 页 （共 21 页）34（2017 全国新课标文）记 Sn为等比数列 的前 n 项和，已知 S2=2，S 3=6a（1）求
26、 的通项公式；na（2）求 Sn，并判断 Sn+1，S n，S n+2 是否成等差数列 【解析】（1）设 的公比为 由题设可得 解得 ， q12(),6.qaq12a故 的通项公式为 na(2)nna（2）由（1）可得 11()3nSq由于 ，22142()33nnn nS 故 ， ， 成等差数列1S2n35（2017 全国新课标文）已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，nannbnT. 12,aba（1）若 ，求 的通项公式； （2）若 ，求 .35nb31T3S第 16 页 （共 21 页）36（ 2017 全国新课标文）设数列 满足 .na123(1)2naa（1）求
27、的通项公式； （2）求数列 的前 项和.nan【答 案】 （1） ；（2）1n1【解析】试题分析：（1）先由题意得 时， ，再作差得)1(2)32(312 nana，验证 时也满足（ 2）由于 ，所以利用裂2na )1( n项相消法求和.37.（ 2017 山东文）已知a n是各项均为正数的等比数列,且 . 121236,aa(I)求数列a n通项公式；(II)bn为各项非零的等差数列,其前 n 项和 Sn,已知 ,求数列 的前 n 项和 .211nnbnbT【答案】(I ) ；(II) 2n25nnT试题解析：(I )设数列 的公比为 ，由题意知, .aq2211()6,aqaq第 17 页
28、 （共 21 页）又 ，0na解得 ， 所以 .1,2q2na两式相减得 2111322nnnT所以 .5n38.(2017 天津文）已知 na为等差数列，前 n 项和为 *()nSN， nb是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0， 234141,2,bSb.（）求 n和 b的通项公式； （）求数列 2na的前 n 项和 *()N.【答案】 （） a. n.（） (3)16nT.试题解析：（）解：设等差数列 na的公差为 d，等比数列 nb的公比为 q.由已知 231b，得21()bq，而 12b，所以 260q.又因为 q，解得 2.所以， n.由 34a，可得 38d .由 14Sb，可
29、得 156a ，联立，解得 1,ad，由此可得 n.所以， 的通项公式为 na， n的通项公式为 n.第 18 页 （共 21 页）39.（ 2017 天津理）已知 na为等差数列，前 n 项和为 ()nSN， nb是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0， 231b, 3412， 4Sb.（）求 na和 的通项公式；（）求数列 1n的前 n 项和 ()N.【答案】 （1） . b.（2） 13283nnT.【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程求出等差数列首项 1a和公差 d及等比数列的公比 q，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求
30、计算要准确.（II）解：设数列 21nab的前 项和为 nT，由 26na， 4n，有 21(3)4nab，故 3458()T ， 1nnn ，上述两式相减，得 23 1()nnT 第 19 页 （共 21 页）1112(4)(3)438.nn得 nnT.所以，数列 21nab的前 项和为 132843n.40.（2018 北京文）设 是等差数列，且 ， na1l2a35ln2a（1）求 的通项公式； （2）求 n eenL1【答案】（1） ；（2） l1n【解析】（1）设等差数列 的公差为 ， ， ，ad235laQ1235ln2ad又 ， ， ln2ald1ln（2）由（1）知 ， ，2n
31、aln2eennaQ是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，ena，21 llnln221e=2na nLLL21=a41 （2018 天津文）设a n是等差数列，其前 n 项和为 Sn（nN *） ；b n是等比数列，公比大于 0，其前n 项和为 Tn（nN *） 已知 b1=1，b 3=b2+2，b 4=a3+a5，b 5=a4+2a6（）求 Sn和 Tn；（）若 Sn+（T 1+T2+Tn） =an+4bn，求正整数 n 的值5 【答案】 （1） ， 21；（2）4【解析】 （1）设等比数列 nb的公比为 q，由 b， 32b，可得 20q因为 0q，可得 2，故 1所以， 1nT设等差
32、数列 na的公差为 d由 435a，可得 14ad由 546a，可得 136d，从而 1， ，故 n，所以， 2nS（2）由（1） ，有 13 1122221nnT =，由24nnSab可得 1nn，整理得 30，解得 1（舍） ，或 4所以 的值为 442 （2018 天津理）设 是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 ， 是等差数列. 已n ()nSNnb知 ， ， ， .1a32435ab462ab（I）求 和 的通项公式；（II）设数列 的前 n 项和为 ，求 ；S()nTNnT【答案】 （1） 1na， b；（2） 12；证明见解析【解析】 （1）设等比数列 的公比为 q 由 a
33、， 3a，可得 20q因为 q，可得 ，故 n，第 20 页 （共 21 页）设等差数列 nb的公差为 d，由 435ab，可得 134bd，由 5462a，可得 136，从而 ， ，故 n，所以数列 的通项公式为 12n，数列 n的通项公式为 （2）由（1） ，有 nS，故 11122nnkk nT ，43（2018 全国新课标文）已知数列 满足 ， ，设 na112nnaanb（1）求 ；123b， ，（2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；n（3）求 的通项公式a7.答案：（1） 23,4b（2）见解答（3） 1na解答：依题意， 21a， 32()1a， 1ab， 2a，34b.（
34、1） 1()nnaa， 12nn，即 1nb，所以 nb为等比数列.（2） 12bq， n.44 （2018 全国新课标文、理） 记 S为等差数列 na的前 项和，已知 17a， 315S（1）求 na的通项公式；（2）求 S，并求 n的最小值【答案】 （1） 29n；（2）28n，最小值为 16【解析】 （1）设 的公差为 d，由题意得 135ad，由 7a得 d所以 na的通项公式为 9n（2）由（1）得 228(4)6nS，当 4n时， 取得最小值，最小值为 45 （2018 全国新课标文、理）等比数列 na中， 1534a， （1）求 na的通项公式；（2）记 S为 的前 项和若 63mS，求 答案：（1） 或 ；（2） .解答：（1）设数列 的公比为 ，12n1()na nq ， .2534qaq 或 .1n1()n（2）由（1）知， 或 ，2nS1(2)1(2)3nnnS第 21 页 （共 21 页） 或 （舍） ， .2163mS1(2)63mmS6
