1、2003 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 奎 屯王 新 敞新 疆 第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 10 页 奎 屯王 新 敞新 疆 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 奎 屯王 新 敞新 疆第卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）如果函数 的图象与 轴有两个交点，则点 平面上的2yaxbx(,)abO在区域（不包含边界）为（ ）（2）抛物线 的准线方程是 ，则 a 的值为 （ ）2axy2y（A） （B）
2、（C）8 （D）8811（3）已知 （ ）xtg,54cos),02(则（A） （B） （C） （D）4727724724（4）设函数 的取值范围是（ ）0021,1)(,)( xfxf 则若 （A） （1，1） （B） (,)（C） （，2）（ 0，+） （D ） （，1）（1，+）（5） 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足OAC、 、 P的轨迹一定通过 的(),BPP 则 ABC（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心（6）函数 的反函数为（ ）1ln,()xya 阿 a 阿 aa 阿 aa 阿 ba 阿a 阿a 阿a 阿O阿O阿O阿O阿(A) (B) (C) (D
3、)（A） （B）1,(0)xey1,(0)xey（C） （D ）,x ,x（7）棱长为 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为a（ ）（A） （B） （C） （D）334a36a312a（8）设 ，曲线 在点 处切线的倾斜角20,()fxbc()yfx0(,)Pfx的取值范围为 到曲线 对称轴距离的取值范围为 （ ）,P则（A） （B ） （C） （D）1,a10,2a,2ba0,2b（9）已知方程 的四个根组成一个首项为 的的等差数列，)(22nxmx 41则 （ ）|n（A）1 （B） （C） （D ）43183（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ ，0）
4、，直线 与其相交于71xyM、N 两点，MN 中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是 （ 2）（A） （B ） （C） （D）1432yx1342yx125yx152yx（11）已知长方形的四个顶点 A（0，0） ，B（2，0） ，C（2，1）和 D（0，1） ，一质点从 AB 的中点 沿与 AB 的夹角 的方向射到 BC 上的点 后，依次反射到0PPCD、DA 和 AB 上的点 、 和 （入射角等于反射角） ，设 的坐标为234P4（ ，0） ，若 ，则 tg 的取值范围是 4x14x（ ）（A） （ ，1） （B） （ ， ） （C ） （ ， ） （D） （ ， ）3521523（12）一
5、个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）（A） （B）4 （C） （D）362634512003 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）第卷（非选择题共 90 分）二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 奎 屯王 新 敞新 疆 把答案填在题中横线上 奎 屯王 新 敞新 疆（13） 的展开式中 系数是 92)1(x9x（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆 奎 屯王 新 敞新 疆 为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_
6、，_，_辆 奎 屯王 新 敞新 疆（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图） 奎 屯王 新 敞新 疆 现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种 奎 屯王 新 敞新 疆 （以数字作答）（16）对于四面体 ABCD，给出下列四个命题 奎 屯王 新 敞新 疆,ABCDBA若 则 若 则 ,若 则 ,BCDABCAD若 则其中真命题的序号是_.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤（17）（本小题满分 12 分）有三种产品，合格率分别为 0.90,0.
7、95 和 0.95，各抽取一件进行检验 奎 屯王 新 敞新 疆（）求恰有一件不合格的概率；（）求至少有两件不合格的概率 奎 屯王 新 敞新 疆 （精确到 0.001）（18） （本小题满分 12 分）已知函数 上的偶函数，其图象关于点()sin)(0,)fxR是对称，且在区间 上是单调函数 奎 屯王 新 敞新 疆 求 的值 奎 屯王 新 敞新 疆3(,0)4M,2和（19） （本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形， ，侧1CBA 90ACB棱 ，D、E 分别是 与 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心21A1G（）求 与平面 ABD 所成角的大小
8、（结果用反三角函数值表示）B1（）求点 到平面 AED 的距离AEGDCBAC1B1A1（20） （本小题满分 12 分）已知常数 奎 屯王 新 敞新 疆 经过原点 O 以 为方向向量的直线0,(,)(1,0acai向 量 ci与经过定点 为方向向量的直线相交于 P，其中 奎 屯王 新 敞新 疆 试问：是否存在()2Ai以 R两个定点 E、F，使得 为定值 奎 屯王 新 敞新 疆 若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，说明理PF由 奎 屯王 新 敞新 疆（21） （本小题满分 12 分）已知 为正整数 奎 屯王 新 敞新 疆0,an（）设 ，证明 ；()yx1()nyxa（）设 ，对任意 ，
9、证明 奎 屯王 新 敞新 疆nnnf 1()1()nnff（22） （本小题满分 14 分）设 ，如图，已知直线 及曲线 上的点 的横坐标为0a:lyax2:,Cyx1Q作直线平行于 轴，交直线1().(1)nCQ从 上 的 点作直线平行于 轴，交曲线 的横1nlP于 点 ， 再 从 点 y1.(,23n于 点 ）坐标构成数列 na（）试求 的关系，并求 的通项公式；1与 na（）当 时，证明1,2a121()3kkOcy lxQ1Q2Q3aa1 a23a3r2r1（）当 时，证明1a121()3nkka2003 年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基
10、本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分.1C 2B 3D 4D 5B 6B 7C 8B 9C 10D 11C 12A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分.13 146,30,10 15120 16三、解答题17本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分 12 分.解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为 A、B 和 C.（） ， 95.0)(,90.)(CPBAP .05)(,10.)(CPP因为事件 A，B，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为 176.095.105.90.2 )()()()()( BA答：恰
11、有一件不合格的概率为 0.176.解法一：至少有两件不合格的概率为 )()C()B()( PAPC012.5.109.510.25.90 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.)()( CPBACP由（）知，恰有一件不合格的概率为 0.176，所以至有两件不合格的概率为 .)76.812.076.1答：至少有两件不合的概率为 0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满 12 分分。解：由 ),(,)(xffxf得是 偶 函 数 .0cos,0,insico)(in所 以 得且都 成 立对 任 意所 以即 .23, ;2,0
12、)sin(),102, ;,)32si().,10,2(3,321,434coscos)in()3,2,0),43()(,)(.或综 合 得所 以 上 不 是 单 调 函 数在时当 上 是 减 函 数在时当 上 是 减 函 数在时当 得又得取 得对 称的 图 象 关 于 点由 所 以 解 得依 题 设 xfkfkkfx xffMf 19本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分 12 分.解法一：（）解：连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即 EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角.设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC ，.
13、32arcsin16sin.,2.3.,1, ,122所 成 的 角 是与 平 面于 是 中在 直 角 三 角 形的 重 心是连 结 为 矩 形平 面又的 中 点分 别 是 ABDEGEBCFFDABDECEAB（）连结 A1D，有 EADEV11, FBFE又, 设 A1 到平面 AED 的距离为 h，B1平 面则 ShAED .261,242111 EDASSEB又 .3.361的 距 离 为到 平 面即h解法二：（）连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即A 1BG 是 A1B 与平 ABD 所成的角.如图所示建立坐标系，坐标原点为 O，设 CA=2a，则 A(2a,0,
14、0),B(0,2a,0),D(0,0,1) .37arcos.21/4|cos).3,(),2( .1.032103).,(),0(1111所 成 角 是与 平 面 解 得ABDGaBDEBDCEGA（）由（）有 A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1).,0)1(20,1 AEDAED平 面又平 面 20.（）当 时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F；2a（）当 时，方程表示椭圆，焦点0 )2,1()2,1( aa和（）当 方程也表示椭圆，焦点 为合乎题意的,2时a ,0,0FE和两个定点.（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运
15、用所数学知识解决问题的能力，满分 12分.证明：（）因为 ，nkCax0)(knxa)(所以 10)(nnkynk0 .)()(111nknax（）对函数 求导数:nnnaxf)(nnnnnn aaaxxfxfx)()1(), .(.0,),(11 时当因 此 的 增 函 数是 关 于时当 时当所 以 )(1(1 nnn af ).()()1fnn即对任意 ,1fa22本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分 14 分.（）解： ).1,(),1(),( 421221 nnnnn aQaPaQ ,1na 221 32232)() nnaa， 11112 221 )(nnnn a .)(12nan（）证明：由 a=1 知 ,21n,1a.6,432当 .6,132kk时 nk nknk1 111 .32)(6)()(（）证明：由（）知，当 a=1 时， ,12n因此 nk iiinkk aankk1 211212121 )()()(= 2131213)()(niia.3215
