1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学新课标 I 卷（河南、河北、山西、江西）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。第卷一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1） 设复数 z 满足 1+z=i，则|z|=（A）1 （B） 2 （C ） 3 （D）2【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的模.（2）sin20cos10-con160 sin10=（A） 32 （B ） 32 （C ） 12 （D ）【答案】D【解析】试题分析：原式=sin20cos10+cos2
2、0sin10=sin30= 12，故选 D.考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式（3）设命题 P： nN， 2 n，则 P 为（A） n N, （B） nN, 2 n（C） n N, 2 n （D） n N, =【答案】C【解析】试题分析： p: 2,nN，故选 C.考点：特称命题的否定（4）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312【答案】A【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 2330.
3、64.C=0.648，故选 A.考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式（5）已知 M（x 0， y0）是双曲线 C：21xy上的一点，F 1、F 2 是 C 上的两个焦点，若 1F20，则 y0 的取值范围是（A） （- 3， ） （B） （- 36， ）（C ） （ 2， ） （D） （ 2， ）【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程（6） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一) ，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为
4、 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（ ）A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛【答案】B考点：圆锥的体积公式（7）设 D 为 ABC 所在平面内一点 3BCD，则（ ）（A） 143AB (B) 14A （C ） (D) 3 【答案】A【解析】试题分析：由题知 11()33ADCABCAB=143B，故选 A.考点：平面向量运算(8) 函数 ()fx=cos)的部分图像如图所示，则 ()fx的单调递减区间为(A)（ ）,k (b)（ ）,k14,+34, 214,2+34 (C)（ ）,k
5、 (D)（ ）,k14,+34 214,2+34 【答案】D【解析】试题分析：由五点作图知，1+4253，解得 =， 4，所以()cos)4fx，令 2,4kxkZ，解得 12k x 324k，kZ，故单调减区间为（ 1， 3） ， ，故选 D.考点：三角函数图像与性质（9）执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8【答案】C【解析】试题分析：执行第 1 次，t=0.01,S=1,n=0,m= 12=0.5,S=S-m=0.5, 2m=0.25,n=1,S=0.5t=0.01, 是，循环，执行第 2 次，S=S-m=0.25, 2=0.1
6、25,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，执行第 3 次，S=S-m=0.125, =0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环，执行第 4 次，S=S-m=0.0625, m=0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，执行第 5 次，S=S-m=0.03125, 2=0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，执行第 6 次，S=S-m=0.015625, =0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01, 是，循环，执行第 7 次，S=S-m=0.0078125, m=0.00390625,n=7,S=0.
7、0078125t=0.01,否，输出n=7，故选 C.考点：程序框图（10 ） 25()xy的展开式中， 52xy的系数为（A）10 （B）20 （C）30 （D ）60【答案】C【解析】试题分析：在 25()xy的 5 个因式中，2 个取因式中 2x剩余的 3 个因式中 1 个取 x，其余因式取 y,故 5的系数为 13C=30，故选 C.考点：排列组合；二项式定理（11 ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20，则 r=（A）1（B ）2（C）4（D）8【答案】B考点：简单几何体的三视图；
8、球的表面积公式；圆柱的测面积公式12. 设函数 ()fx= 21)eax,其中 a 1，若存在唯一的整数 x0，使得0()fx0，则 a的取值范围是（ ）A.- ，1） B. - ， ） C. ， ） D. ，1）32 3234 3234 32【答案】D【解析】试题分析：设 ()gx= 21)e， yax，由题知存在唯一的整数 0x，使得0()gx在直线 ya的下方.因为 ()xe，所以当 2x时， ()gx0，当 12时， ()gx0，所以当 12时， maxg=1-e，当 0x时， ()=-1， ()30，直线 yax恒过（1,0 ）斜率且 a，故1ag，且 1ge，解得 32e 1，故选
9、 D.考点：导数的综合应用第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）若函数 f(x)=xln（x + 2a）为偶函数，则 a= 【答案】1考点：函数的奇偶性（14）一个圆经过椭圆2164xy的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准方程为 。【答案】 235()xy【解析】试题分析：设圆心为（ a，0） ，则半径为 4|a，则 22(|)|a，解得32a，故圆的方程为 235()xy.考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程（15）若
10、x,y 满足约束条件104xy，则 yx的最大值为 .【答案】3【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点 A（1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为 3.考点：线性规划解法（16）在平面四边形 ABCD 中，A=B=C=75，BC=2，则 AB 的取值范围是 【答案】 （ 62， +）【解析】试题分析：如图所示，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E 点时，AB 最长，在BCE 中，B=C=75，E=30，BC=2 ，由正弦定理可得siniBCE，即 oo2sin30i75BE，解得
11、= 6+2，平移 AD ，当 D 与C 重合时，AB 最短，此时与 AB 交于 F，在BCF 中，B=BFC=75，FCB=30，由正弦定理知， sisinC，即 oo2sin30i75BF，解得 BF= 62，所以 AB 的取值范围为（ 62， +）.考点：正余弦定理；数形结合思想三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）nS为数列 na的前 n 项和.已知 na0， 2na=43nS.（）求 的通项公式：（）设 ,求数列 的前 n 项和= 1+1 【答案】 （） 2n（） 164【解析】试题分析：（）先用数列第 n 项与前 n 项和的关系求出数列
12、 na的递推公式，可以判断数列 na是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列 的通项公式；（）根据（）数列 nb的通项公式，再用拆项消去法求其前 n 项和. 试题解析：（）当 1时， 211143+aSa，因为 0，所以1a=3，当 2n时， 221nna= 1nn= n，即1()()()，因为 0a，所以 1a=2，所以数列 na是首项为 3，公差为 2 的等差数列，所以 =21；（）由（）知， nb= 11()(2)323n，所以数列 n前 n 项和为 1b =1()()()235723n= 164n.考点：数列前 n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法（18
13、）如图， ，四边形 ABCD 为菱形，ABC=120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE=2DF，AEEC。（1）证明：平面 AEC平面 AFC（2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值【答案】 （）见解析（） 3 22EGF，EGFG，ACFG=G，EG平面 AFC，EG 面 AEC，平面 AFC平面 AEC. 6 分（）如图，以 G 为坐标原点，分别以 ,GBC的方向为 x轴，y 轴正方向，|B为单位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz，由（）可得 A（0， 3，0） ，E(1,0, 2)，F（1,0， 2） ，C（0， 3，0） ，
14、 E=（1， ， 2） ，C=（-1，- 3， ）.10 分故 3cos,|AEFC.所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为 3. 12 分考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近8 年的年宣传费 x1 和年销售量 y1（i=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。 xyw21()niix21()niiw1()niiixy1()niiiwy46.6 56.3 6.8 289.8 1.6
15、1469 108.8表中 w1 = x1, ， = 81ni（）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（）的结果回答下列问题：（i） 年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii） 年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据 1(,)uv, 2， (,)nuv,其回归线 vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：A12()=n
16、iiiiiuv， A=vu【答案】 （） ycdx适合作为年销售 y关于年宣传费用 x的回归方程类型（） 10.68（）46.24 y关于 x的回归方程为 10.68yx.6 分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识（20） （本小题满分 12 分）在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y=24x与直线 ykxa( 0)交与 M,N 两点，（）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；（）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPM=OPN？说明理由。【答案】 （） 0axy或 0axy（）存在【解析】试题分析：（）先求出 M,N 的坐
17、标，再利用导数求出 M,N.（）先作出判定，再利用设而不求思想即将 ykxa代入曲线 C 的方程整理成关于 x的一元二次方程，设出 M,N 的坐标和 P 点坐标，利用设而不求思想，将直线 PM，PN 的斜率之和用 a表示出来，利用直线 PM，PN 的斜率为 0,即可求出 ,ab关系，从而找出适合条件的 P 点坐标.试题解析：（）由题设可得 (2,)a， (2,)N，或 (2,)M，(2,)Na. 1yx，故24y在 x= a处的到数值为 a，C 在 (2,)a处的切线方程为 (2)yaxa，即 0xya.故 4在 =- 处的到数值为- ，C 在 (2,)a处的切线方程为(2)yaxa，即 0x
18、ya.故所求切线方程为 或 0xya. 5 分（）存在符合题意的点，证明如下：设 P（0，b）为复合题意得点， 1(,)M， 2(,)N，直线 PM，PN 的斜率分别为 12,k.将 yxa代入 C 得方程整理得 240xka. 12124,k. 1212ybx= 1212()kxbx= ()kba.当 a时，有 =0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故OPM=OPN，所以 (0,)Pa符合题意. 12 分考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力（21） （本小题满分 12 分）已知函数 f（x）= 31,()ln4axgx.()当 a 为何值时，x
19、 轴为曲线 yf 的切线；（）用 min , 表示 m,n 中的最小值，设函数 ()min(),(0)hxfxg ，讨论 h（x）零点的个数.【答案】 （） 3-4a；（）当 34a或 5时， ()由一个零点；当 34a或54a时， ()hx有两个零点；当 5时， hx有三个零点.【解析】试题分析：（）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a值；（）根据对数函数的图像与性质将 x分为 1,01x研究 ()hx的零点个数，若零点不容易求解，则对 a再分类讨论.试题解析：（）设曲线 ()yf与 轴相切于点 0(,)，则 0()f， 0()f，即30214xa，解得 013,
20、24x.因此，当 时， 轴是曲线 ()yfx的切线. 5 分（）当 (1,)x时， ()ln0g，从而 ()min(),()0hfxgx， )h在（1，+）无零点.当 x=1 时，若 54a，则 5(1)4fa， (1)i(),1()f,故=1 是 ()的零点；若 ，则 0，1min,()0hfgf,故 x=1 不是 ()h的零点.当 (0,)x时， lnx，所以只需考虑 fx在（0,1）的零点个数.()若 3a或 ，则 2()3fxa在（0,1）无零点，故 ()fx在（0,1）单调，而 1()4f， 5()4fa，所以当 时， ()fx在（0，1）有一个零点；当 a0时， x在（0，1）无零
21、点.()若 3a，则 ()fx在（0， 3a）单调递减，在（ 3，1）单调递增，故当 x= 时， ()f取的最小值，最小值为 ()f= 24a. 若 ()3af0，即 4 a0， ()fx在（0,1）无零点. 若 ()f=0，即 3，则 ()f在（0,1）有唯一零点； 若 ()3af0，即 4a，由于 1(0)4f， 5()4fa，所以当534a时， ()fx在（0,1）有两个零点；当 534a时， ()fx在（0,1）有一个零点.10 分综上，当 或 54时， ()h由一个零点；当 或 时， ()h有两个零点；当 534a时， x有三个零点. 12 分考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的
22、理解；分段函数的零点；分类整合思想请考生在（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。（22） （本题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，AB 是 AO 的直径， AC 是 AO 的切线，BC 交 AO 于 E（I） 若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是 O 的切线；（）若 3CE，求ACB 的大小. 【答案】 （）见解析（）60考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理（23） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在
23、直角坐标系 xOy中，直线 1C: x= 2，圆 2： 2211xy,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I） 求 1C， 2的极坐标方程；（II） 若直线 3的极坐标方程为 4R，设 2C与 3的交点为 M, N ,求2MNA的面积 【答案】 （） cos, 2cosin40（） 12【解析】试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 1C， 2的极坐标方程；（）将将 =4代入 2cos4in0即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出 2CMNA的面积.试题解析：（）因为 cs,ixy， 1C的极坐标方程为 o， 2的极坐标方程为 2cos4in0.5 分（）将
24、 =4代入 2cs4in0，得 23，解得1= 2， 2= ，|MN|= 1 2= ，因为 C的半径为 1，则 2CMNA的面积 o1si45= 2.考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系（24） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 =|x+1|-2|x-a|，a0.()（）当 a=1 时，求不等式 f(x)1 的解集；（）若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围【答案】 （） 2|3（） （2，+）【解析】试题分析：（）利用零点分析法将不等式 f(x)1 化为一元一次不等式组来解；（）将 ()fx化为分段函数，求出 ()f与 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于 a的不等式，即可解出 a的取值范围.考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法
