1、定积分第一节 定积分的概念与性质a b xyo?A曲边梯形由连续曲线实例 1 （求曲边梯形的面积）)( xfy )0)( xf 、x 轴与两条直线 ax 、bx 所围成 .一、问题的提出)( xfy a b xyoa b xyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形） （九个小矩形）曲边梯形如图所示，,1210 bxxxxxabann 个分点，内插入若干在区间a b xyo i ix1x 1ix 1nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为，个小区间分成把区间，上任取一点在每个小区间iii xx, 1iii xfA )(为高的小矩形面积为为
2、底，以 )(, 1 iii fxx inii xfA )(1曲边梯形面积的近似值为inii xfA )(lim1012, ( )m a x , , ( 0 0)nxx x x xx 当 分 割 无 限 加 细 记 小 区 间 的 最 大 长 度 或 者趋 近 于 零 或 者 时 ，曲边梯形面积为实例 2 （求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv 是时间间隔 ,21 TT上 t 的一个连续函数，且0)( tv ，求物体在这段时间内所经过的路程 . 思路 ：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分
3、过程求得路程的精确值（ 1）分割 212101 TtttttT nn 1 iii ttt iii tvs )(部分路程值 某时刻的速度（ 2）求和 iinitvs )(1（ 3）取极限 ,m ax 21 nttt inii tvs )(l i m10路程的精确值设函数 )( xf 在 , ba 上有界，记 12m a x , , , nx x x x ， 如果不论对 , ba在 , ba 中任意插入若干个分点 bxxxxxa nn 1210 把区间 , ba 分成 n 个小区间，各小区间的长度依次为1 iii xxx ， ),2,1( i ，在各小区间上任取一点 i （ ii x ），作乘积
4、ii xf )( ),2,1( i并作和 iinixfS )(1 ，二、定积分的定义定义怎样的分法， ba Idxxf )( iinixf )(l i m10被积函数被积表达式积分变量积分区间, ba也不论在小区间 , 1 ii xx 上点 i 怎样的取法， 只要当 0x 时， 和 S 总趋于确定的极限 I ，我们称这个极限 I 为函数 )( xf 在区间 , ba 上的 定积分 ，记为积分上限积分下限积分和注意：（ 1 ） 积分值仅与被积函数及积分区间有关， ba dxxf )( ba dttf )( ba duuf )(（ 2 ）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的 . （ 3 ）当函数
5、 )( xf 在区间 , ba 上的定积分存在时，而与积分变量的字母无关 .称 )( xf 在区间 , ba 上 可积 .当函数 )( xf 在区间 , ba 上连续时，定理 1定理 2 设函数 )( xf 在区间 , ba 上有界，称 )( xf 在区间 , ba 上可积 .且只有有限个 第 一 类 的间断点， 则 )( xf 在三、存在定理区间 , ba 上可积 .,0)( xf ba Adxxf )( 曲边梯形的面积,0)( xf ba Adxxf )( 曲边梯形的面积的负值1A2A3A4A4321)( AAAAdxxfba 四、定积分的几何意义几何意义：积取负号轴下方的面在轴上方的面积
6、取正号；在数和之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于xxbxaxxfx ,)( 例 1 利用定义计算定积分 .10 2dxx解 将 1,0 n 等分，分点为 nixi ， ( ni ,2,1 )小区间 , 1 ii xx 的长度 nx i 1 ， ( ni ,2,1 )取 ii x ， ( ni ,2,1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12inii xx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn0xn dxx10 2 iinix 210l i m nnn 121161lim .31五、定积分 的性质证 ba dxxgxf
7、)()(iiinixgf )()(l i m10iinixf )(lim10 iinixg )(l i m10 ba dxxf )( .)( ba dxxg ba dxxgxf )()( ba dxxf )( ba dxxg )( .（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质 1 baba dxxfkdxxkf )()( ( k 为常数 ).证 ba dxxkf )( iinixkf )(l i m10iinixfk )(l i m10 iinixfk )(lim10.)( ba dxxfk性质 2 ba dxxf )( bcca dxxfdxxf )()( .补充 ：不论 的相对位置如何
8、 , 上式总成立 .cba ,例 若 ,cba ca dxxf )( cbba dxxfdxxf )()(ba dxxf )( cbca dxxfdxxf )()(.)()( bcca dxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）则假设 bca 性质 3dxba 1 dxba ab .则 0)( dxxfba . )( ba 证 ,0)( xf ,0)( if ),2,1( ni ,0 ix ,0)(1 iinixf,m ax 21 nxxx iinixf )(lim10 .0)( ba dxxf性质 4性质 5如果在区间 , ba 上 0)( xf ，例 1 比较积分值 dxe x 20
9、 和 dxx 20 的大小 .解 令 ,)( xexf x 0,2x,0)( xf ,0)(0 2 dxxe xdxe x 02 ,02 dxx于是 dxe x 20 .20 dxx可以直接作出答案性质 5的推论：证 ),()( xgxf ,0)()( xfx,0)()( dxxfxgba,0)()( baba dxxfdxxg于是 dxxfba )( dxxgba )( .则 dxxfba )( dxxgba )( . )( ba 如果在区间 , ba 上 )()( xgxf ，（ 1）dxxfba )( dxxfba )( .)( ba 证 ,)()()( xfxfxf ,)()()( d
10、xxfdxxfdxxf bababa 即 dxxfba )( dxxfba )( .说明： 可积性是显然的 .| )( xf | 在区间 , ba 上的性质 5的推论：（ 2）设 M 及 m 分别是函数证 ,)( Mxfm ,)( bababa M d xdxxfdxm).()()( abMdxxfabm ba （此性质可用于估计积分值的大致范围）则 )()()( abMdxxfabm ba .)( xf 在区间 , ba 上的最大值及最小值，性质 6曲边梯形的面积 夹在两个矩形之间解 ,s i n)( x xxf 22c o s s i n c o s ( t a n )( ) 0x x x
11、 x x xfxxx 2,4 x)( xf 在 2,4 上单调下降 ,故 4x 为极大点， 2x 为极小点 , 例 2 不计算定积分 估计 的大小 dxxx24sin24242 2 2( ) , ( ) ,42,2 4 42 s in 2 2,441 s in 2.22M f m fbaxdxxxdxx 如果函数 )( xf 在闭区间 , ba 上连续，证Mdxxfabm ba )(1)()()( abMdxxfabm ba 由闭区间上连续函数的介值定理知则在积分区间 , ba 上至少存在一个点 ，使 dxxfba )( )( abf . )( ba 性质 7（ Th5.1 定积分第一中值定理
12、）积分中值公式在区间 , ba 上至少存在一个点 ， 使 ,)(1)( ba dxxfabfdxxfba )( )( abf .)( ba 在区间 , ba 上至少存在一个点 ，即积分中值公式的几何解释：xyo a b)(f 使得以区间 , ba 为以曲线 )( xfy 底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为 )( f的一个矩形的面积。如果函数 )( xf , g( x ) 在闭区间 , ba 上连续，且 g( x ) 在闭区间 a,b 上可积且不变号 , 则在积分区间 , ba 上至少存在一个点 ， 使 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ,bbaaf x g x d x f
13、g x d xgx当 时 即 为 Th5.1Th5.2(推广的积分第一中值定理）设函数 )( xf 在区间 , ba 上连续，并且设 x为 , ba 上的一点， xa dxxf )(考察定积分 xa dttf )(记 .)()( xa dttfx 积分上限函数如果上限 x 在区间 , ba 上任意变动，则对于每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以它在 , ba 上定义了一个函数，六、积分上限函数及其导数a b xyo定理 如果 )( xf 在 , ba 上连续，则积分上限的函数 dttfxxa )()( 在 , ba 上具有导数，且它的导数是 )()()( xfdttfdxdxxa )( bxa xx 证 dttfxx xxa )()()()( xxx dttfdttf xaxxa )()()(xx.)()( xa dttfx
