1、第五讲 复合函数与隐函数 的微分法,内容提要1.多元复合函数的求导法则；2.隐函数的求导法则；教学要求1.熟练掌握各种情形下的多元复合函数偏导数的求法；2.理解和掌握抽象复合函数的高阶偏导数。,先复习一元函数复合函数求导法则,一、多元复合函数求导法则,这个复合过程，,下面先对二元函数的复合函数进行讨论,可以形象的用一条链来描述：,定理1,且,下述复合过程可以形象的用一条链来描述：,多元复合函数的求导法则简言之即：,“分道相加，连线相乘”,解,说明：,简单表示为,1.,解,2.,复合过程,两者的区别,为了区别将其改为,可以形象的用一条链来描述：,例3,解,定理1可推广到中间变量和自变量多于两个的
2、情形,3.,复合过程,形象的用一条链来描述：,例2.,解:,例4,解,复合过程,形象的用一条链来描述：,解,复合过程,形象的用一条链来描述：,解,例 7,解,为简便起见 , 引入记号,例8 设,f 具有二阶连续偏导数,求,解: 令,则,练 习 题,练习题答案,二、隐函数求导法,证明,若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :,则还有,例1,解,令,则,提示：,证明,由对称性,解,解,解,令,则,例4. 设,解法1 利用隐函数求导,再对 x 求导,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,三、多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,可见无论 u , v 是自变量还是中间变量
3、,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.,例1 .,例 1.,利用全微分形式不变性解,解:,所以,的全微分,隐函数的求导法 则,小 结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,二、方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由 F、G 的偏导数组成的行列式,称为F、G 的雅可比 行列式.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即,定理3.,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,的单值连续函数,且有偏导数公式 :, 在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,导数；,(P85),有隐函数组,则,两边对 x 求导得,设方程组,在点P 的某邻域内,解的公式,故得,系数行列式,同样可得,例4. 设,解:,方程组两边对 x 求导，并移项得,求,练习: 求,答案:,由题设,故有,
