1、离散数学论文学习离散一学期了，下面谈谈对离散的感受。离散数学的特点是：1、知识点集中，概念和定理多：离散数学是建立在大量概念之上的逻辑推理学科，概念的理解是我们学习这门学科的核心。不管哪本离散数学教材，都会在每一章节列出若干定义和定理，接着就是这些定义定理的直接应用。掌握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键。要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的则是定理和性质。2、方法性强：离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高。通过对它的学习，能大大提高我们本身的逻辑推理能力、抽象思维能力和形式化思维能力，从而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解上的困难。离散数学
2、的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法（如直接证明法、反证法、归纳法、构造性证明法），同一个题也可能有几种方法。但是离散数学证明 题的方法性是很强的，如果知道一道题用什么方法讲明，则很容易可以证出来，否则就会事倍功半。因此在平时的学习中，要勤于思考，对于同一个问题，尽可能多探讨几种证明方法，从而学会熟练运用这些证明方法，同时要善于总结。下面对离散数学欧拉图与哈密顿图做一些总结：基本内容：1.1 欧拉图 1.2 哈密顿图 1.3 带权图与货郎担问题 1.1 欧拉图历史背景哥尼斯堡七桥问题欧拉图是一笔画出的边不重复的回路。定义1.1 通过图（无向图或有向图）中所有边一次且仅一次行遍图中所有顶点
3、的通路称为欧拉通路，通过图中所有边一次并且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图，具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。 说明欧拉通路是图中经过所有边的简单的生成通路(经过所有顶点的通路称为生成通路)。欧拉回路是经过所有边的简单的生成回路。举例：（1）欧拉图 （2）半欧拉图 （3）无欧拉通路 （4）欧拉图 （5）无欧拉通路 （6）无欧拉通路无向欧拉图的判定定理定理1.1 无向图 G是欧拉图当且仅当 G是连通图，且 G中没有奇度顶点。证明 ：若 G是平凡图，结论显然成立。下面设 G为非平凡图，设 G是 m条边的n阶无向图，并设 G的顶点集 V v1,v2,vn。必要
4、性：因为 G为欧拉图，所以 G中存在欧拉回路，设 C为 G中任意一条欧拉回路， vi,vj V， vi,vj都在 C上，因而 vi,vj连通，所以 G为连通图。又 vi V， vi在 C上每出现一次获得2度，若出现 k次就获得2 k度，即 d(vi)2 k，所以 G中无奇度顶点。充分性：由于 G为非平凡的连通图可知， G中边数 m1。对 m作归纳法。 (1)m1时，由 G的连通性及无奇度顶点可知，G只能是一个环，因而G为欧拉图。 (2)设 m k(k1)时结论成立，要证明 m k+1时，结论也成立。由 G的连通性及无奇度顶点可知，( G)2。无论 G是否为简单图，都可以用扩大路径法证明 G中必
5、含圈。设 C为 G中一个圈，删除 C上的全部边，得 G的生成子图 G ，设 G 有 s个连通分支 G 1,G 2,G s，每个连通分支至多有 k条边，且无奇度顶点，并且设 G i与 C的公共顶点为 v*ji， i1,2, s，由归纳假设可知， G 1,G 2,G s都是欧拉图，因而都存在欧拉回路 C i， i1,2, s。最后将 C还原（即将删除的边重新加上），并从 C上的某顶点 vr开始行遍，每遇到 v*ji，就行遍 G i中的欧拉回路 C i， i1,2, s，最后回到 vr，得回路 vrv*j1v*j1v*j2v*j2v*jsv*jsvr，此回路经过 G中每条边一次且仅一次并行遍 G中所
6、有顶点，因而它是 G中的欧拉回路（演示这条欧拉回路），故 G为欧拉图。定理1.2 无向图 G是半欧拉图当且仅当 G是连通的，且 G中恰有两个奇度顶点。证明： 必要性：设 G是 m条边的 n阶无向图，因为 G为半欧拉图，因而 G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)，设 vi0ej1vi1vim-1ejmvim为 G中一条欧拉通路， vi0 vim。v V(G)，若 v不在的端点出现，显然 d(v)为偶数，若 v在端点出现过，则 d(v)为奇数，因为只有两个端点且不同，因而 G中只有两个奇数顶点。另外， G的连通性是显然的。充分性：设 G的两个奇度顶点分别为 u0和 v0，对 G加新边（ u0,v0
7、），得 G G( u0,v0)，则 G 是连通且无奇度顶点的图，由定理1.1可知， G 为欧拉图，因而存在欧拉回路 C ，而 C C -(u0,v0)为 G中一条欧拉通路，所以 G为半欧拉图。 定理1.3 有向图 D是欧拉图当且仅当 D是强连通的且每个顶点的入度都等于出度。定理1.4 有向图 D是半欧拉图当且仅当 D是单向连通的，且 D中恰有两个奇度顶点，其中一个的入度比出度大1，另一个的出度比入度大1，而其余顶点的入度都等于出度。定理1.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当 G是连通的且为若干个边不重的圈的并。例1.1 设 G是非平凡的且非环的欧拉图，证明：(1)( G)2。(2)对于 G中任意两
8、个不同顶点 u,v，都存在简单回路 C含 u和 v。证明 (1)由定理1.5可知， e E(G)，存在圈 C， e在 C中，因而 p(G-e) p(G)，故 e不是桥。由 e的任意性( G)2，即 G是2边-连通图。(2)u,v V(G)， u v，由 G的连通性可知， u,v之间必存在路径 1，设 G G-E( 1)，则在 G 中 u与 v还必连通，否则， u与 v必处于 G 的不同的连通分支中，这说明在 1上存在 G中的桥，这与(1)矛盾。于是在 G 中存在 u到 v的路径 2，显然 1与 2边不重，这说明 u,v处于 1 2形成的简单回路上。Fleury算法，能不走桥就不走桥 (1) 任
9、取 v0 V(G)，令 P0 v0。(2) 设 Pi v0e1v1e2eivi已经行遍，按下面方法来从E(G)-e1,e2,ei中选取 ei+1： (a) ei+1与 vi相关联；(b) 除非无别的边可供行遍，否则 ei+1不应该为 Gi G-e1,e2,ei中的桥。(3)当(2)不能再进行时，算法停止。 说明可以证明，当算法停止时所得简单回路 Pm v0e1v1e2emvm(vm v0)为 G中一条欧拉回路。1.2 哈密顿图历史背景：哈密顿周游世界问题与哈密顿图定义15.2 经过图（有向图或无向图）中所有顶点一次且仅一次的通路称为哈密顿通路。经过图中所有顶点一次且仅一次的回路称为哈密顿回路。
10、具有哈密顿回路的图称为哈密顿图，具有哈密顿通路但不具有哈密顿回路的图称为半哈密顿图。平凡图是哈密顿图。说明 哈密顿通路是图中生成的初级通路，哈密顿回路是生成的初级回路。判断一个图是否为哈密顿图，就是判断能否将图中所有顶点都放置在一个初级回路(圈)上，但这不是一件易事。与判断一个图是否为欧拉图不一样，到目前为止，人们还没有找到哈密顿图简单的充分必要条件。定理1.6 设无向图 G是哈密顿图，对于任意 V1V，且 V1，均有 p(G-V1)| V1| 其中， p(G-V1)为 G-V1的连通分支数。 证明 :设 C为 G中任意一条哈密顿回路，易知，当 V1中顶点在 C上均不相邻时，p(C-V1)达到
11、最大值| V1|，而当 V1中顶点在 C上有彼此相邻的情况时，均有 p(C-V1)| V1|，所以有 p(C-V1)| V1|。而 C是 G的生成子图，所以，有 p(G-V1) p(C-V1)| V1|。说明本定理的条件是哈密顿图的必要条件，但不是充分条件。可以验证彼得松图满足定理中的条件，但不是哈密顿图。若一个图不满足定理中的条件，它一定不是哈密顿图。推论: 设无向图 G是半哈密顿图，对于任意的 V1V且 V1，均有 p(G-V1)| V1|+1 证明 :设 P是 G中起于 u终于 v的哈密顿通路，令 G G( u,v)(在 G的顶点 u,v之间加新边)，易知 G 为哈密顿图，由定理1.6可
12、知， p(G -V1)| V1|。因此， p(G-V1) p(G -V1-(u,v) p(G -V1)+1 | V1|+1 总结：哈密顿通路是经过图中所有顶点的一条初级通路。哈密顿回路是经过图中所有顶点的初级回路。 对于二部图还能得出下面结论： 一般情况下，设二部图 G，| V1| V2|，且| V1|2，| V2|2，由定理1.6及其推论可以得出下面结论：(1) 若 G是哈密顿图，则| V1| V2|。(2) 若 G是半哈密顿图，则| V2| V1|+1。(3) 若| V2| V1|+2，则G不是哈密顿图，也不是半哈密顿图。定理1.7 设 G是 n阶无向简单图，若对于 G中任意不相邻的顶点
13、vi,vj，均有 d(vi)+d(vj) n-1 (1.1)则 G中存在哈密顿通路。 证明 :首先证明 G是连通图。否则 G至少有两个连通分支，设 G1,G2是阶数为 n1,n2的两个连通分支，设 v1 V(G1)， v2 V(G2)，因为 G是简单图，所以 dG(v1)+dG(v2) dG1(v1)+dG2(v2) n1-1+n2-1 n-2这与(1.1)矛盾，所以 G必为连通图。 下面证 G中存在哈密顿通路。设 v1v2vl为 G中用“扩大路径法”得到的“极大路径”，即 的始点 v1与终点 vl不与 外的顶点相邻。显然有 l n。 (1)若 l n，则 为 G中哈密顿通路。(2)若 l n
14、，这说明 不是哈密顿通路，即 G中还存在着 外的顶点。但可以证明 G中存在经过 上所有顶点的圈。(a) 若 v1与 vl相邻，即( v1,vl) E(G)，则 ( v1,vl)为满足要求的圈。(b)若 v1与 vl不相邻，设 v1与 上的 vi1 v2,vi2,vik相邻( k2) (否则 d(v1)+d(vl)1+ l-2=l-1，其中 V v1,v2,v8，vi,vj V，且 i j，若 vi与 vj有共同语言，就在 vi,vj之间连无向边( vi,vj)，由此组成边集合 E，则 G为8阶无向简单图，vi V， d(vi)为与 vi有共同语言的人数。由已知条件可知， vi,vj V且 i
15、j，均有 d(vi)+d(vj)8。由定理1.7的推论可知， G中存在哈密顿回路，设 C vi1vi2vi8为 G中一条哈密顿回路，按这条回路的顺序安排座次即可。定理1.9 若 D为 n(n2)阶竞赛图，则 D中具有哈密顿通路。 证明 对 n作归纳法。n2时， D的基图为 K2，结论成立。设 n k时结论成立。现在设 n k+1。设 V(D) v1,v2,vk,vk+1。令 D1 D-vk+1，易知 D1为 k阶竞赛图，由归纳假设可知， D1存在哈密顿通路，设 1 v 1v 2v k为其中一条。下面证明 vk+1可扩到 1中去。若存在 v r(1 r k)，有 E(D)， i1,2, r -1
16、，而 E(D)则 v 1v 2v r-1vk+1v rv k为 D中哈密顿通路。否则 i1,2, k，均有 E(D)，则 为 D中哈密顿通路。1.3 带权图与货郎担问题定义1.3 给定图 G(G为无向图或有向图)，设 W： E R(R为实数集)，对 G中任意的边 e( vi,vj)(G为有向图时， e)，设 W(e) wij，称实数 wij为边 e上的权，并将 wij标注在边 e上，称 G为带权图，此时常将带权图 G记作。设有 n个城市，城市之间均有道路，道路的长度均大于或等于0，可能是（对应关联的城市之间无交通线）。一个旅行商从某个城市出发，要经过每个城市一次且仅一次，最后回到出发的城市，问
17、他如何走才能使他走的路线最短？这就是著名的旅行商问题或货郎担问题。这个问题可化归为如下的图论问题。设 G，为一个 n阶完全带权图 Kn，各边的权非负，且有的边的权可能为。求G中一条最短的哈密顿回路，这就是货郎担问题的数学模型。此问题中不同哈密顿回路的含义：将图中生成圈看成一个哈密顿回路，即不考虑始点(终点)的区别以及顺时针行遍与逆时针行遍的区别。 例1.7 下图为4阶完全带权图 K4。求出它的不同的哈密顿回路，并指出最短的哈密顿回路。解: 由于货郎担问题中不同哈密顿回路的含义可知，求哈密顿回路从任何顶点出发都可以。下面先求出从a点出发，考虑顺时针与逆时针顺序的不同的哈密顿回路。C1 abcda
18、 C2 abdca C3 acbdaC4 acdba C5 adbca C6 adcban阶完全带权图中共存在( n-1)!/2种不同的哈密顿回路，经过比较，可找出最短哈密顿回路。n4时， 有3种不同哈密顿回路。n5时， 有12种，n6时， 有60种，n7时， 有360种，n10时，有59!=1 814 400种，。由此可见货郎担问题的计算量是相当大的。对于货郎担问题，人们一方面还在寻找好的算法，另一方面也在寻找各种近似算法。 中国邮递员问题一名邮递员带着要分发的邮件从邮局出发，经过要分发的每个街道，送完邮件后又返回邮局。如果他必须至少一次走过他管辖范围内的每一条街道，如何选择投递路线，使邮递员走尽可能少的路程。这个问题是由我国数学家管梅谷先生（山东师范大学数学系教授）在1960年首次提出的，因此在国际上称之为中国邮递员问题。用图论的述语，在一个连通的赋权图 G(V,E)中，要寻找一条回路，使该回路包含 G中的每条边至少一次，且该回路的权数最小。也就是说要从包含G的每条边的回路中找一条权数最小的回路。
