高等数学(C)模拟试卷[1].doc

1、1高等数学（C）模拟试卷1 2201lim()sinxyxy2三元函数 的定义域为 2222arcsin()41uxyzz。3若 ，则 dz ；22ln()zxy4积分区域 则 ；:19,DDdxyA7设 ，则 2sixyzeyz_8 ，其中21Dd 2:1xy9交换积分次序 21,_xfy10级数 是 （收敛或发散）3185n11级数 是 （收敛或发散） 17!n_12函数 的偏导数 在区域 内连续是 在区域 内可微的(,)zfxy,zxyD(,)zfxyD条件。 （填“充分” ，或“必要”或“充要” ） 。13幂级数 的收敛域是 。1lnx14 的定义域是 ；()arcos2yzy15设

2、，则 ；2,43fxx(1,)(,limhfyfy16设 ，则 ；lnzy(1,2)d217设 ，则改变积分次序后 I ；21(,)yyIdfx18若级数 收敛，则 p 满足 ；21pn19若 ，则级数 的敛散性是 ；limnb11()nnb20 。2,1,lli3xyxy21设区域 D： ，则二重积分 。42Ddxy22交换积分次序 。210,xdfy23若级数 收敛于 S，则级数 收敛于 。1nu14nu24 。yx,23z， 则 d25、微分方程 的通解是 。01下列级数中，条件收敛的是（ ） ，发散的是（ ）A. B. C. D.12()3n1()n1()5n341()nn2 的收敛域

3、为（ ）1)(nnxA. B. C. D.0,0,20,20,23已知函数 ，则 分别为（ ）2(,)fxyyx()(),fyfxA. B. C. D. 1,2,12,y4 （ ）1()!nA. B. C. D.2e2e21e2e35设 当 （ ）时，22:,Dxya22DaxydAA.1 B. C. D.334316 （ ）10(,)xdfydA. B. 10(,)xdyfdC. D.10(,)yfx7设 在 处全改变量， ，若函数z0,y000(,)(,)zfxyfxy在点 处可微，则在 处（ ）,fxy()0(,)yA. B.zd 00(,)(,)xyzffxC. D.00(,)(,)x

4、yffxd 22doy8三重积分 ，其中 是由曲面 与平面 所围成的2IzvA2zxy1z区域，则 I 又化为（ ）A. B.21300rdz21300drzC. D.1r r9 球面内部，则 I（ ）2222(),:1IxyzdvxyzAA. 的体积 B.dv 21400sinddC. D.21400sind21400i10在函数 的泰勒级数中， 项的系数为（ ）()fx8xA B. C. D.18!(8)0f()0!f (8)0fx11函数 在点 处具有偏导数是它在该点具有全微分的（ ）,zfxy0,（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充要条件 （D）无关条件 12表达式 为某一函数的全

5、微分的充要条件是 （ ）,PdQy4（A） （B） （C） （D） PQxyPQyxPQxyPQyx13在区域 上的 值为 （ ）2:0DR2Dd（A） （B） （C） （D ） 243R014 的收敛域为 （ ）1nnx（A） （B） （C） （D） 2,02,02,02,015累次积分 可以写成 （ ）cos0(,sin)dfd（A） (B) 21,)yxy 210(,)xyfy(c) (D) 0(f216如果函数 在区域 D 内有二阶偏导数，则 （ ）,)xy（A） 在 D 内可微 （B） 的一阶偏导数连续（C） （D） 以上三个结论均不成则2ffxy17设 连续， 其中 是由 所围(,

6、)f(,)(,)fxyfuvdD20,1yx区域，则 等于（ ）,xy（A） （B） 2xy（C） （D） 18xy118二元函数 在 处满足关系（ ） ；(,)zfy0,xA可微（全微分存在） 可导（两偏导数存在） 连续B可微 可导 连续C可微 可导，或可微 连续，但可导不一定连续D可导 连续，但可导不一定可微。19设 ，则 （ ）22:,0xyzazdxyAA B. C. D. 4a484163a520设级数 收敛，则下列级数中必收敛的是（ ）1nuA B. C. D. 1()n21nu21()nu11()nu21函数 在点 处两个偏导数 都存在是函数,fxy0, 00,xyffx在点 可

7、微的（ ）,f0（A）充分条件； （B）必要条件；（C）充分必要条件； （D）既非充分也非必要条件。22二元函数 在点 处（ ）220,0.xyf,（A）极限存在； （B）连续；（C）可微； （D）关于 的偏导数存在。,xy23设 ，则下列结论正确的是（ ）32,fxyy（A） 是函数的极小点； （B） 是函数的极大点；11,（C） 是函数的极小点； （D） 是函数的极大点。,24已知幂函数 的收敛半径为 2，则数项级数 是0nax0na（A）条件收敛； （B）绝对收敛；（C）发散； （D）收敛性不能确定。25设 连续，且 ，D 由 所围，,fxy2,fxyfxyd 21,0xyx则 =（ ）

8、,（A） ； （B） ；218xy238xy（C） ； （D） 。36 1626设 是微分方程 的三个不同的解，且 不123,y()()ypxqyfx123y是常数，则方程的通解为（ ）6A) B) 123Cyy123CyyC ) 23()(D) 1)yy1设 2(),xyzz且2设 求2lny,dzxy3设 ，其中 为可微函数，求 。2zxy,zxy4设函数 有连续偏导数，由方程 确定了隐函数 ，(,)Fuv(,)0Fcab(,)zxy求 的值.zabxy5 设 ，而其中由方程 确定 为 的隐函数，2,xyzfgue sin0xueyu,xy且 一阶可导， 具有一阶偏导数，求 .ft,vxz

9、6 ，而其中 具有二阶连续偏导数， 二阶可导，求 .2,xyzfxguef g,xyz7设 是由方程 所确定的隐函数，其中 具有连续偏导(,)y(,)0fz(,)fuv数且 ，求 的值。0fuvxy8设 具有二阶连续导数，求 。1()(),zfyfx 2zxy1已知三个数 x，y，z 的和为 54，试通过拉格朗日函数，求它们乘积的最大值.2求二元函数 的极值。323xy1交换积分 的次序,并计算积分.210yxed2 2Dx22:DyR73计算 ，其中 。2DxydA2:(,)0,Dxyxyx4计算积分 ，D 由 所围成2x 2 20aa在第一象限区域。1、判别级数 的敛散性。31cosn2判

10、别 的收敛性。若收敛，是条件收敛？还是绝对收敛？1()ln3求级数 收敛区间及在收敛区间内的和函数 。1nnx4判定级数 的敛散性，若收敛指明是绝对收敛还是条件收敛？1/()ne5求幂级数 的收敛域。13()nnx6求幂级数 的收敛域。2ln7求幂级数 的收敛域，并求和函数.1()nnx8求幂级数 的收敛域和和函数。12nn9将函数 展开成 的幂级数，并确定其收敛域。()xf10将函数 展开成 的幂级数。2741x11将函数 展开成 的幂级数，并指出收敛域。ln1fx1 求证 () ()00ayababxadefdxefd2证明级数 收敛。21nx1计算下列曲面所围成的立体的体积 .2,10z

11、xyz2计算 其中 D 是由中心在原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域，并求证2xyDedA8普阿松积分 。20xed3已知曲面方程为 ，问曲面上哪一点的切平面与三221,0,yzxyz坐标面构成的四面体体积最小？4求曲面 在第一卦限的切平面，使该切平面与三个22(,)xabcabc坐标面围成的四面体的体积最小，并写出该四面体的体积。5设 是由曲面 与平面 围成的立体，求：2lnzxy0,1z（1） 的体积（2） 的表面1、求微分方程 的通解2xye2、已知二阶非齐次微分方程 的三个特解为()()pyqfx，试求方程满足初始条件的特解。2123,xxyey3、微分方程 的通解是1sind4、

12、微分方程 的特解为l()0,(1)xyye5、解方程tan3()26、求方程 0xyddy答案1）0；2） ；3） ；4） ； 7） 2214xyz222xyxydd82； 3、 2coscosxy xyede8） ；9） ；10）发散；11）收敛；12）必要条件；1212,yydffd13）幂级数 的收敛域是 ；14） ；15）6y4；16） ；1lnx,)02x12dxy917） ；18） ； 19）收敛；20） ；122/ 1(,)(,)xxdfydfy3Pln321） ；22） ；23）4S；D82 22010, ,y yfdxfxd24） 。25）yux1,23z， 则 d6xz3(

13、ln)xCeC1）C；2）A；3）A；4）C；5）B；6）D；7）D； 8）D ；9）C ；10）C；11）A ；12） D； 13）D ；14）B ；15）B；16）D；17）C；18）C ；19）A ；20）D；21）B；22）D；23）C；24）B ； 25）D ；26）C 1设 2(),xyzz且解法一： 2212ln()ln(),ln(2)()l1()ln()(2)l()xxyxyxyyzzyxyz xy解法二：设 22vuxyvxyzu21 212()ln(ln) ln(2)ll lxyvv xyvvzzu xyuyuy A2设 求2lnyzx,zdxy解： ， 1122ly 22

14、1ln2yyzxx10112 22 2lnlny yy yx xdzxdxd3设 ，其中 为可微函数，求 。2zy,zy解： 。,22zyzxzz 4设函数 有连续偏导数，由方程 确定了隐函数 ，(,)Fuv(,)0Fcxaybz(,)zxy求 的值.zabxy解法一：设 则,ucazvcybz(,)0uv()xyuyxu vzvzuuvuvFFaFbcacbbyab解法二：设 ，则xzyz(,)0F两边同时对 x 求偏导()()0 uuvuv vcFzzzzFcabcabxxab两边同时对 y 求偏导()()00()uv uvvuvuvuvzzzzabcFabccyycFyczabxab 7

15、 设 ，而其中由方程 确定 为 的隐函数，2,xyzfge sin0xueyu,xy且 一阶可导， 具有一阶偏导数，求 .ft,uvxz11解：设 ，因 ，故有,sin,xxyFyzueyvecosxxxuFeyu2 2 .xxyxuxvx vgfgfe8 设 ，而其中 具有二阶连续偏导数， 二阶可导，求,xyzfef.,xy解：221xzffgx22 21112124.xy yyyffffxffgxy7设 是由方程 所确定的隐函数，其中 具有连续偏导(,)zy(,)0fxz (,)fuv数且 ，求 的值。0fuvy解： 0(1)()xuvuz vfffA。, 1()()yuv uvz uv

16、vufffffzxy A8设 具有二阶连续导数，求 。1,fxyf 2z解： 2zffxy2 1()fyffxyxxyfxxy 1已知三个数 x，y，z 的和为 54，试通过拉格朗日函数，求它们乘积的最大值.解：目标函数 ，约束条件u54z拉格朗日函数 (,)()Fxyzxy12，由于该实际问题只有唯一驻点，必是极值01854xyzFxyzz点，也是最值点 。3max18u2求二元函数 的极值。2zy解： 驻点（0，0） ， （0，2） ， （2，0） ， （2，2）236xyZ，,6xxyzz，200360,6ABCABA在 （ ， ） ， 且所以，极大值 (,)f无极值；266,且-2无极

17、值；0360ABCAB02,且=所以极小值 。(2,)8f1交换积分 的次序,并计算积分.210yxed解： :1Dy原式2 221000yyedxxd。222111000()yyye 2 Dxd:DxR解： 425R3计算 ，其中 。DxyA2:(,)0,xyxyx13解： 0:42cosD 4cs2 2334400 0881cos(sini)29Dxyddd4计算积分 ，D 由 所围成2Dxy 222,xyaxya在第一象限区域。解：由 故有,2cos3ra/ /2332cos3/2318cos1681ini3.6aIdrdad 1、判别级数 的敛散性。31cosn解：收敛。2判别 的收敛

18、性。若收敛，是条件收敛？还是绝对收敛？1()ln解： 发散 也发散。11 1(),(2),llnnn n 1ln而 1 ,limli0l()ln nnuu 所以 是收敛的，是条件收敛。1ln3求级数 收敛区间及在收敛区间内的和函数 。1nnx解：l1,1,0,; 0xxS144判定级数 的敛散性，若收敛指明是绝对收敛还是条件收敛？1/()ne解： 发散，1/111 n=1(),lim,nnne且所以 发散。又，11()ne 1/ / 1/1lim()0,n nuuee且收敛且条件收敛。11()n所 以5求幂级数 的收敛域。1(3)nnx解：11(33)limli lim1()nn nnuxxA

19、收敛区间：3x06x当 时，原级数为 发散；当 时，原级数为 收敛；01()n1()n收敛域为 ,66求幂级数 的收敛域。2lnx解：因为 lnimim11ln故当 时，级数为 ，因为 ，所以 发x2ln22l()lndx 21ln散；当 时，级数为交错级数 ，因为1x2(1)ln1lim0,ln(1)ln所以 收敛；从而幂级数的 的收敛域为 。2()ln 2lnxx157求幂级数 的收敛域，并求和函数.1()2nnx解：（1）先求收敛域 1()lim2nxu讨论：1）当 时，原级列收敛；12x2）对于左端点 2 时，原级数 发散11()2nn3对于右端点 2 时，原级数 收敛x1()n所以收

20、敛域 ,（2）令和函数 112()() 1/) .22482nnxSxxS x0 00()()l()(0)ln2ln2xx xddSS 即8求幂级数 的收敛域和和函数。1()nnx解：记 则1(),2na故幂级数收敛半径为 1，当 时， 收敛1limlinx12()nx因此收敛域为-1，1记 则121(),nSxx121 221() ,()nSxx 。110( arctdx9将函数 展开成 的幂级数，并确定其收敛域。)2xf16解： 1112()2nnxxx， 时，幂级数发散，收敛域为 。21(,)210将函数 展开成 的幂级数。2()74xfx解： 211141()274()92933xxx

21、x A（ ）000()()()2()32737nn nnn nx又 ，故收敛区间 。11x且- 1x11将函数 展开成 的幂级数，并指出收敛域。lnfx解： ln11l2x11lnln2xx1l23.nnx2 求证 () ()00ayabxabxadefdefd证： ，交换积分次序，:D左边 右边()() ()000 )axaaxbabxbxdefdyefydefadx2证明级数 收敛。21n证： ， 收敛，221,()nnxx21()n收敛。21nx1计算下列曲面所围成的立体的体积 .2,10zxyz17解：22 2 213111220()()xyx xyVdvdzyddA。61248315

22、x2计算 其中 D 是由中心在原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域，并求证2yDed普阿松积分 。20x解： 如图:原式 22222000()(1)aaarrradeedee当 时，原式2lim1a如在第一象限内， ，4,I，其中222100xxxyDededA221:Dxyr。2 20 0()4x x3已知曲面方程为 ，问曲面上哪一点的切平面与三221,0xyzyz坐标面构成的四面体体积最小？解： 3,4求曲面 在第一卦限的切平面，使该切平面与三个221(0,)xyzabcabc坐标面围成的四面体的体积最小，并写出该四面体的体积。解：曲面在点 处法向量为0(,)xyz0022,xyznab

23、c切平面方程为 即000222()()()yzab该平面在三个坐标轴上截距分别为 ， ，0022xyzabc02xayb02zc18故所围的四面体的体积为22001136abcVxyzzA按题意需求函数 在条件 约束下的极值。(,)xyz22abc作22(,)(1)yzFc令 ，解得唯一可能极值点为 。222001xyzzabzFxcab ,33abcxyz由于最大值一定存在故 所求切点，所求切平面为 ，(,)3abc 3xyzabc所求体积为 。2c5设 是由曲面 与平面 围成的立体，求：2lnzxy0,1z（1） 的体积（2） 的表面。解：（1） 的体积为，2212001z zxye eVdd由 得22,zyx，于是 的表面积为22211()xyy2 22 222011()()exyezAe dxyedx 2 2ln1ln119九、解微分方程：1、解：对应的齐次方程的特征方程为： 对应的2120,rr齐次方程的的通解为 设 的特解为1212(,)xxYCecCRxye代入方程得： *,xyAeyA 1A微分方程 的通解为23yx21 12(,)xxyCeceCR2、解：提示利用条件求出齐次微分方程的通解 从而得到非齐1x()次线性微分方程的通解 ，进而得到特解：21xxy(e)(e) 2xye3、 4、 5、 6、1(cos)yxCxy3sinyx2yC20