1、高等数学自学提纲 （第一学期）一 函数的连续性1 什么叫函数的增量（改变量）？用几何图形表示函数增量为正、为负、为零的不同情况。2 阐述函数 y = f(x)在点 X 连续的三种定义，为什么说这三种定义实质是一样的？3 函数 y = f(x)在点 X 连续的几何意义是什么？4 用“ e - d ”语言叙述函数 y = f(x)在点 X 左连续和右连续的定义，并说明 y=f(x)在(a,b) 和a ，b 上连续的含义。5 试说明函数 y = f(x)在点 X 连续与函数当 x 趋近 X 时极限存在，这两个概念之间的联系与区别。6 应用函数连续的定义，讨论下列函数在给定点是否连续。A 讨论 f(x
2、) = 在 x = 1是否连续？B 若 f(x)在 X 点连续，g(u)在 u 点连续，u0= f(X ) , 证明复合函数 gf(x)在 X 点连续。C f(x)在 X 点是连续的， | f(x) | 和 在 X 点是否连续？为什么？7试阐述函数 y=f(x)在 X0点连续，X (a ,b)；以及 y = f(x)在（a ，b）上连续、在（a，b) 上一致连续的区别。8函数间断点的定义，间断点分类的标准是什么？9 分析函数 y = x 连续与间断的情况。10找出下列函数的间断点，并指出间断点的类型。（1）y = （ 2）y = 二 一元函数的微分1微分的定义是什么？若 y = f(x) 是可
3、微函数，那么当 x=0时 y dy 与 x 是什么关系？2分别用语言和图形来说明微分的几何意义。3说明函数 y = f(x) 在 X 点可微与可导的关系。4为什么说自变量的微分就等于自变量的增量？6函数的增量可表为 y = dy + 0(x)，即函数 y = f(x)的微分 dy 是 y 的主要部分，故 dy 必小于 y，这个结论是否正确？为什么？6说明 的区别。7什么叫一阶微分形式的不变性？高阶微分是否也具有微分形式不变性？举例说明。8函数 y = f(x)的导数 和微分 dx 是否都与 x 和 x 有关？为什么？9求下列微分：（1）y = ln(cos ) （2）y = f(arctg )
4、10利用微分求函数近似值的公式和步骤是什么？并计算 11在下面三种情况下，函数 y = f(x)的微分有什么特点？（ 1）给定点 X 与 x 的具体数值。（ 2）给定点 X ，但没给 x 的具体数值。（ 3）即未给定点 X ，也未给 x 的具体数值。12 利用微分计算函数 y = f(x)的绝对误差|y| 和相对误差 的公式是什么？并计算下题：单摆振动周期公式 T = ，由 的值可计算重力加速度 g 的值，如果= 100.44cm，测 得 T = 2.0103秒，且 |T|0.0005秒，求 g 值，并估计绝对误差和相对误差。三 不定积分 积分方法1第一换元积分法的基本思想和技巧。2第二换元积
5、分法的步骤，常用的变量替换有哪几种？3分部积分法的公式是什么？在分部积分法的计算中，确定公式中的 u、v 有什么规律？4什么叫有理函数？有理真分式？有理假分式？既约分式（不可约多项式）？部分分式？部分分式有哪四种形式？5将下列有理真分式化为部分分式之和。（1） （2） 6有理函数的积分程序是什么？7什么叫三角函数有理式？如何根据三角函数有理式的特点选择合适的积分方法？8叙述下列无理函数积分的步骤：（1） （2） （3） 9 总结各种积分方法的规律和技巧。四 平面方程和直线方程1写出平面的点法式方程，说明方程中各字母的含义，并求过点（1，1，1）且法线一组方向数为2，2，3的平面方程。2写出平面
6、的一般方程。如何从点法式方程推出一般方程？在一般方程中A 当 A = 0 或 B = 0 ，或 C = 0时，平面的特征是什么？B 当 A 和 D 同时为 0 ， 或 B 和 D 同时为 0 ，或 C 和 D 同时为 0 ，平面的特征是什么？C 当 A 和 B 同时为 0 ，或 B 和 C 同时为 0 ，或 A 和 C 同时为 0 ，平面的特征是什么？D 当 A 、B 和 D 同时为 0 ，或 B 、C 和 D 同时为 0 ，或 A、C 和 D 同时为 0 ，平面的特征是什么？3写出平面的截距式方程。说明方程中每个字母的含义，如何从截距式方程推出一般方程。写出平 面3x - 4y + z -
7、5 = 0的截距式方程。4写出平面的法式方程。一般方程与法式方程是什么关系？将平面 x - 2y + 2z - 3 = 0化为法式方程。5根据混合积的知识，推出过三点 , , 的平面方程（也叫平面的三点式方程） 。6列表总结平面方程的五种形式以及它们之间的相互转化，并指出平面方程的特点。7叙述平面与平面的三种位置关系（平行、相交、垂直） ，并求过 z 轴且与平面2x + y - z = 0的夹角为 的平面。8写出直线的标准方程，并说明方程中每个字母的含义。求经过点（3，5，-2）和（1，3，4）两点的直线方程。9如何从直线的标准方程推出直线的参数方程？10写出直线的一般方程，并说明方程中每个字
8、母的含义。由一般方程化为标准方程的 步骤是什么并将 化为标准方程。11叙述直线与直线的三种位置关系（平行、相交、垂直） ，并求过 B 点（1，-2，3）与 z 轴相交且与直线 垂直的直线方程。12推出点到直线、点到平面距离的公式,并求点 A（1，2，3）到直线的距离 d 。13叙述直线与平面的三种位置关系（平行、相交、垂直） 。14用你自己的话概括一下第六章、第三节主要讲了哪些内容？高等数学自学提纲 （第二学期）一偏导数的应用1空间曲线的切线和法平面是如何定义的？2推出空间曲线 ： 和 在 处的切线方程和法平面方程。3求圆柱螺旋线 ： 在 的切线方程，在 的法平面方程。4推出空间曲线 ： 在
9、处的切线方程和法平面方程。5写出球面： 与椭球面： 交线上对应于 x = 1点处的切线方程和法平面方程。6曲面的切平面和法线是如何定义的？7推出空间曲面由隐函数和显函数给出时，在 处的切平面方程和法线方程。8求曲面 在点（2，1，4）的切平面方程和法线方程以及法线的方向余弦。9多元函数的方向导数是如何定义的？10z = f ( x ,y )在点 p（x , y）可微，z 在 p 点沿任一方向 的方向导数与偏导 有何联系？u = f (x,y,z)在空间点 p（x , y , z）可微, 在 p 点沿任一方向 的方向导数如何表示？11 求函数 在点 M(1，2，-2) 沿曲线: 的切线方向上的方
10、向导数。二 第一型曲线积分和第二型曲线积分1第一型曲线积分是如何定义的？它的物理意义是什么？2第一型曲线积分有哪些性质？3计算第一型曲线积分关键步骤是什么？4计算第一型曲线积分 ，L 是圆 ，直线 y=x 和 x 轴在第一象 限中所围的边界。5第二型曲线积分是如何定义的？第二型曲线积分的矢量形式以及它的物理意义是什么？6第二型曲线积分有哪些性质？7第二型曲线积分的计算公式。8第一型曲线积分与第二型曲线积分的区别和联系。9计算第二型曲线积分 ，L 是椭圆 在上半平面中从点 B（-a ,0）到点 A（a ，0）的一段。三 数项级数1阐述级数、数项级数、函数项级数的定义。2阐述级数的部分和、级数余项
11、、级数收敛、级数发散的概念。3判断下列级数的敛散性，若收敛求级数的和数。（ 1） （ 2） （ 3） 4收敛级数有哪些性质？5为什么级数前加上或去掉有限项或改变有限项的值，级数的敛散性不变？6分析下面两句话是否正确？（ 1）一个级数适当加括号后所得新级数是发散的，则原级数一定是发散的。（ 2）一个级数适当加括号后所得新级数是收敛的，则原级数一定是收敛的。7Cauchy 收敛准则的内容是什么？结合 p281例6说明用 Cauchy 收敛准则去证明级数收敛这项工作的实质是什么？8正项级数的定义是什么？正项级数的部分和序列有什么特点？“正项级数的部分和序列Sn 若有界，则这个正项级数就收敛”这句话是否正确？9正项级数敛散性的判别方法有哪几种？具体内容是什么？在比较判别法中，通常用哪些级数作为比较标准。10什么是任意项级数？什么是交错级数？交错级数的 Leibnitz 判别法的内容是什么？11阐述绝对值级数、绝对收敛、条件收敛的概念。绝对收敛的级数有哪些性质？12讨论级数 发散、绝对收敛、条件收敛三种情况。13如果级数 和 均收敛，级数 和级数 是否收敛？为什么？14将各种判别级数敛散性的方法作一下总结。
