1、高中数学人教版选修 2-3 全套教案第一章计数原理11 分类加法计数原理和分步乘法计数原理（第一课时）1 分类加法计数原理（1）提出问题问题 1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题 1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有 3 班，汽车有 2 班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？（2）发现新知分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 种不同的方法，在第 2 类方m案中有 种不同的方法. 那么完成这件事共有nnN种不同的方法.（3）知识应用例 1.在填写高考志
2、愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学 B 大学生物学 数学化学 会计学医学 信息技术学物理学 法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有 5+4=9（种）.变
3、式：若还有 C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有 种不同的方法，在第 2 类方案中有1m种不同的方法，在第 3 类方案中有 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？2m3m如果完成一件事情有 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？n一般归纳：完成一件事情，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 种不同的方法，在第 2 类办法中有 种不同的1 2m方法在第 n 类办法中有 种不同的方法.那么完成这件事共有 nN21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分
4、类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.例 2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？ 解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点 A 爬到顶点 C1 有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 12 = 2 条 第二类, m2 = 12 = 2 条第三类, m3 = 12 = 2 条所以, 根据加法原理, 从顶点 A 到顶点 C1 最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条练习: ( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完
5、成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是 ; ( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有条11 分类加法计数原理和分步乘法计数原理（第二课时）2 分步乘法计数原理（1）提出问题问题 2.1：用前 6 个大写英文字母和 19 九个阿拉伯数字，以 , ,， , ,的方式给教室1A21B2里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码： 我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一
6、个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 69 = 54 个不同的号码（2）发现新知分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 种不同的方法，在第 2m类方案中有 种不同的方法. 那么完成这件事共有 种不同的方法.n nN（3）知识应用例 1.设某班有男生 30 名，女生 24 名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤第 l 步选男生第 2 步选女生解：第 1 步，从 30 名男生中选出 1 人，有 30 种不同选择；第 2 步，从 24 名女生中选出 1 人，有 24 种不同选择根据分步乘法计数原理
7、，共有 3024 =720种不同的选法一般归纳：完成一件事情，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 种不同的方法，做第 2 步有 种不同的方1m2m法做第 n 步有 种不同的方法.那么完成这件事共有nmnN21种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独
8、立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.例 2 .如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 解: 按地图 A、B、C、D 四个区域依次分四步完成,第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种,第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种,所以根据乘法原理, 得到不同的涂
9、色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 第三课时3 综合应用例 1. 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放 2 本不同的体育书.从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】要完成的事是“取一本书” ，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.要完成的事是“从书架的第 1、2、3 层中各取一本书” ，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第 1、2、3 层都取后，才能
10、完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.要完成的事是“取 2 本不同学科的书” ，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1 本，再要考虑取 1 本计算机书或取 1 本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解： (1) 从书架上任取 1 本书，有 3 类方法：第 1 类方法是从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 类方法是从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法；第 3 类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法根据分类加法计数原理，不同取法的种数是=4
11、+3+2=9;13Nm( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成 3 个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是=432=24 .12（3） 。6例 2. 要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？解：从 3 幅画中选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第 1 步，从 3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上，有 3 种选法
12、；第 2 步，从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂在右边墙上，有 2 种选法根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是 N=32=6 . 6 种挂法可以表示如下：分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事例 3.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有 3 个不重复的英文字母和
13、3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3 个数字也必须合成一组出现那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？分析：按照新规定，牌照可以分为 2 类，即字母组合在左和字母组合在右确定一个牌照的字母和数字可以分 6 个步骤解：将汽车牌照分为 2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右字母组合在左时，分 6 个步骤确定一个牌照的字母和数字：第 1 步，从 26 个字母中选 1 个，放在首位，有 26 种选法；第 2 步，从剩下的 25 个字母中选 1 个，放在第 2 位，有 25 种选法；第 3 步，从剩下的 24 个字母中选 1 个，放在第 3 位，有 24 种选法；第 4
14、步，从 10 个数字中选 1 个，放在第 4 位，有 10 种选法；第 5 步，从剩下的 9 个数字中选 1 个，放在第 5 位，有 9 种选法；第 6 步，从剩下的 8 个字母中选 1 个，放在第 6 位，有 8 种选法根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有 26 25241098=11 232 000（个） .同理，字母组合在右的牌照也有 11232 000 个所以，共能给11232 000 + 11232 000 = 22464 000（个） .辆汽车上牌照用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析 需要分类还是需要分步分类要做到“不重不漏” 分类后再分别
15、对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数分步要做到“步骤完整” 完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数练习1乘积 展开后共有多少项？12312312345)()()abcc（2某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是。到 9 之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？3从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名，有多少种不同的选法？4某商场有 6 个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，共有多少
16、种不同的进出商场的方式？ 第四课时例 1.给程序模块命名，需要用 3 个字符，其中首字符要求用字母 AG 或 UZ , 后两个要求用数字 19问最多可以给多少个程序命名？分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第 1 步，选首字符；第 2 步，选中间字符；第 3步，选最后一个字符而首字符又可以分为两类解：先计算首字符的选法由分类加法计数原理，首字符共有 7 + 6 = 13 种选法再计算可能的不同程序名称由分步乘法计数原理，最多可以有 1399 = = 1053 个不同的名称，即最多可以给 1053 个程序命名例 2. 核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分一个 RNA 分子是
17、一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据总共有 4 种不同的碱基，分别用 A,C,G,U 表示在一个 RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关假设有一类 RNA 分子由 100 个碱基组成，那么能有多少种不同的 RNA 分子？分析：用图 1. 1 一 2 来表示由 100 个碱基组成的长链，这时我们共有 100 个位置，每个位置都可以从 A , C , G , U 中任选一个来占据解：100 个碱基组成的长链共有 100 个位置，如图 1 . 1 一 2 所示从左到右依次在每一个位置中，从 A ,
18、 C , G , U 中任选一个填人，每个位置有 4 种填充方法根据分步乘法计数原理，长度为 100 的所有可能的不同 RNA 分子数目有（个）1010例 3.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态因此计算机内部就采用了每一位只有 O 或 1 两种数字的记数法，即二进制为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由 8 个二进制位构成问：(1）一个字节（ 8 位）最多可以表示多少个不同的字符？ (2）计算机汉字国标码（GB 码）包含了 6 763 个汉字，一个汉
19、字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？分析：由于每个字节有 8 个二进制位，每一位上的值都有 0,1 两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解本题解：(1）用图 1.1 一 3 来表示一个字节图 1 . 1 一 3 一个字节共有 8 位，每位上有 2 种选择根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示 22222222= 28 =256 个不同的字符；( 2）由（ 1 ）知，用一个字节所能表示的不同字符不够 6 763 个，我们就考虑用 2 个字节能够表示多少个字符前一个字节有 256 种不同的表示方法，后一个字节也有 256 种表示方
20、法根据分步乘法计数原理，2 个字节可以表示 256256 = 65536 个不同的字符，这已经大于汉字国标码包含的汉字个数 6 763所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用 2 个字节表示例 4.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线） ，以便知道需要提供多少个测试数据一般地，一个程序模块由许多子模块组成如图 1.1 一 4，它是一个具有许多执行路径的程序模块问：这个程序模块有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？图 1.1 一 4分析：整个模块的任
21、意一条执行路径都分两步完成：第 1 步是从开始执行到 A 点；第 2 步是从 A 点执行到结束而第 1 步可由子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 来完成；第 2 步可由子模块 4 或子模块 5 来完成因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理解：由分类加法计数原理，子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 中的子路径共有 18 + 45 + 28 = 91 （条） ; 子模块 4 或子模块 5 中的子路径共有 38 + 43 = 81 （条） . 又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径共有 9181 = 7 371（条）. 在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱
22、，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块这样，他可以先分别单独测试 5 个模块，以考察每个子模块的工作是否正常总共需要的测试次数为18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172. 再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第 1 步中的各个子模块和第 2 步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为 32=6 . 如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常这样，测试整个模块的次数就变为 172 + 6=178（次）. 显然，178 与 7371 的差距是非常大的巩固练习：1.如图,从甲地到乙地有 2 条
23、路可通,从乙地到丙地有 3 条路可通;从甲地到丁地有 4 条路可通, 从丁地到丙地有 2 条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2.书架上放有 3 本不同的数学书，5 本不同的语文书，6 本不同的英语书（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？3.如图一,要给,四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()A. 180 B. 160 C. 96 D. 60 奎 屯王 新 敞新 疆 图一 图
24、二 图三若变为图二,图三呢?5.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？6 （2007 年重庆卷）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ C ）A5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分教学反思：课堂小结1分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想.2理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事
25、；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事.3运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即“不重不漏“.分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这 n 个步骤，这件事才算完成.分配问题把一些元素分给另一些元素来接受这是排列组合应用问题中难度较大的一类问题因为这涉及到两类元素：被分配元素和接受单位而我们所学的排列组合是对一类元素做排列或进行组合的，于是遇到这类问题便手足无措了事实
26、上，任何排列问题都可以看作面对两类元素例如，把 10 个全排列，可以理解为在 10 个人旁边，有序号为 1，2，10 的 10 把椅子，每把椅子坐一个人，那么有多少种坐法？这样就出现了两类元素，一类是人，一类是椅子。于是对眼花缭乱的常见分配问题，可归结为以下小的“方法结构”：.每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是 ，这里 .其中 是“接受单位”mnAm的个数。至于谁是“接受单位” ，不要管它在生活中原来的意义，只要 .个数为 的一个元素就是“接受单位” ，于是，方法还可以简化为 .这里的“多”只要 “少”.少多.被分配元素和接受单位的每个成员都有“归宿”,并且不限制一对一的分配问
27、题，方法是分组问题的计算公式乘以 .kA12 1 排列第一课时一、复习引入：1奎 屯王 新 敞新 疆 分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在1m第二类办法中有 种不同的方法，在第 n 类办法中有 种不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆 那么完成这件事共有 2mnm种不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做1nN第一步有 种不同的方法，做第二步有 种不同的方法，做第 n 步有 种不同的方法，那么完2mn成这件事有 种不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆12nm分类加法计数原理和分步乘法计数原
28、理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是 “分步 ”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事 奎 屯王 新 敞新 疆 应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立， “步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制 奎 屯王 新 敞新 疆二、讲解新课：1 奎 屯王 新 敞新 疆 问题：问题 1从甲、乙、丙 3 名同学中选取
29、2 名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙 3 名同学中每次选取 2 名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有 6 种不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做元素 奎 屯王 新 敞新 疆解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法根据分步乘
30、法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 32=6 种，如图 1.2 一 1 所示把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从 3 个不同的元素 a , b ， 。中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,共有 32=6 种问题 2从 1,2,3,4 这 4 个数字中，每次取出 3 个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在 4 个字母中任取 1 个，有 4 种方法；第二步确定中间
31、的数，从余下的 3 个数中取，有 3 种方法；第三步确定右边的数，从余下的 2 个数中取，有 2 种方法 奎 屯王 新 敞新 疆由分步计数原理共有：432=24 种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列 奎 屯王 新 敞新 疆 由此可写出所有的排法 奎 屯王 新 敞新 疆显然，从 4 个数字中，每次取出 3 个，按“百” “十” “个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数可以分三个步骤来解决这个问题：第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；第 2 步，确定十位上的数字，当百位上
32、的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百”“十” “个”位的顺序排成一列，共有432=24种不同的排法， 因而共可得到 24 个不同的三位数，如图 1. 2 一 2 所示由此可写出所有的三位数： 123，124, 132, 134, 142, 143， 213，214, 231, 234, 241, 243，312，314, 321, 324,
33、 341, 342， 412，413, 421, 423, 431, 432 。同样，问题 2 可以归结为：从 4 个不同的元素 a, b, c，d 中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同排列是 abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.共有 432=24 种.树形图如下a b 2排列的概念：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的
34、顺序排成一nmn列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列 奎 屯王 新 敞新 疆说明：（1）排列的定义包括两个方面：取出元素，按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同 奎 屯王 新 敞新 疆3排列数的定义：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所有排列的个数叫做从 个元素中取出 元素的排列数，nnnm用符号 表示 奎 屯王 新 敞新 疆 注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从 个不同元素中，任取 个元素mA按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所nn有排列的个数，是一个数 奎 屯王 新 敞新 疆
35、 所以符号 只表示排列数，而不表示具体的排列 奎 屯王 新 敞新 疆mnA4排列数公式及其推导：由 的意义：假定有排好顺序的 2 个空位，从 个元素 中任取 2 个元素去填空，一个空2nAn12,na位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数 由分步计数原理完成上述填空共有 种填法， =2nA(1)2nA 奎 屯王 新 敞新 疆(1)n由此，求 可以按依次填 3 个空位来考虑， = ，3nA3n(1)2求 以按依次填 个空位来考虑 ，mn (1)2mnAm排列数公式：(1)2()n（ ）,Nn说明：（1）公式特征：
36、第一个因数是 ，后面每一个因数比它前面一个n少 1，最后一个因数是 ，共有 个因数；1m（2）全排列：当 时即 个不同元素全部取出的一个排列 奎 屯王 新 敞新 疆全排列数： （叫做 n 的阶乘） 奎 屯王 新 敞新 疆()2!nA另外，我们规定 0! =1 .例 1用计算器计算： (1） ； (2） ; (3） .410518A183解：用计算器可得：由（ 2 ) ( 3 ）我们看到， 那么，这个结果有没有一般性呢？即5183A.!()nmA排列数的另一个计算公式：(1)2(1)mnnm= .321() !()nmnA即 = 奎 屯王 新 敞新 疆mnA!()例 2解方程：3 3216xxA
37、解：由排列数公式得： ，()2(1)6()x ， ，即 ，x()2xx23710x解得 或 ， ，且 ，原方程的解为 53N5例 3解不等式： 296xA解：原不等式即 ，!()(1)x也就是 ，化简得： ，16(9)!()0(9)!x 2104x解得 或 ，又 ，且 ，832xN所以，原不等式的解集为 ,456,7例 4求证：（1） ；（2） nmnA()!135(21)nn证明：（1） ，原式成立 奎 屯王 新 敞新 疆!()!mn nA（2） ()!2(1)2431!nn ()n 右边 !13(2)1!n 35(21)n原式成立 奎 屯王 新 敞新 疆说明：（1）解含排列数的方程和不等式
38、时要注意排列数 中， 且 这些限制条件，mnA,Nn要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；（2）公式 常用来求值，特别是 均为已知时，公式 =(1)2(1)mnAn , mnA，常用来证明或化简 奎 屯王 新 敞新 疆!()n例 5化简： ； 奎 屯王 新 敞新 疆1231!4!n !23!n解：原式 1()!n !提示：由 ，得 ， 1!nn!1!nn原式 奎 屯王 新 敞新 疆说明： !(1)!nn第二课时例 1(课本例 2)某年全国足球甲级（A 组）联赛共有 14 个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解：任意两队间进行 1 次主场比赛与 1 次客
39、场比赛，对应于从 14 个元素中任取 2 个元素的一个排列因此，比赛的总场次是 =1413=182. 24例 2(课本例 3)(1）从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？ (2）从 5 种不同的书中买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？解：(1）从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学，对应于从 5 个不同元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是 =543=60. 5A(2）由于有 5 种不同的书，送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3 名同学每人各 1 本书的不同方
40、法种数是 555=125. 例 8 中两个问题的区别在于： ( 1 ）是从 5 本不同的书中选出 3 本分送 3 名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算例 3(课本例 4)用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在本问题的。到 9 这 10 个数字中，因为。不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此。是一个特殊的元素一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题解法 1 ：由于在没有重复数字的三位数中，百位上 的数字不能是 O，因此可以
41、分两步完成排列第 1 步，排百位上 的数字，可以从 1 到 9 这九个数字中任选 1 个，有 种选法；9A第 2 步，排十位和个位上的数字，可以从余下的 9 个数字中任选 2 个，有种选法（图 1.2 一 5) 根据分步乘法计数原理，所29A 求的三位数有=998=648（个） .129解法 2 ：如图 1.2 一 6 所示，符合条件的三位数可分成 3 类每一位数字都不是位数有 A 母个，个位数字是 O 的三位数有揭个，十位数字是 0 的三位数有揭个根据分类加法计数原理，符合条件的三位数有=648 个3299A解法 3 ：从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字的排列数为 ，其中 O
42、 在百位上的排列数是 ，310A29A它们的差就是用这 10 个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是- =1098-98=648.310A29对于例 9 这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解题方法解法 1 根据百位数字不能是。的要求，分步完成选 3 个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解法 2 以 O 是否出现以及出现的位置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法 3 是一种逆向思考方法：先求出从 10 个不同数字中选 3 个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是。的排列数（即不是三位数的
43、个数） ，就得到没有重复数字的三位数的个数从上述问题的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从 n 个不同元素中取出 m (mn）个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题 1.1 节中的例 9 是否也是这类计数问题？你能用排列的知识解决它吗？四、课堂练习：1若 ，则 （ ） !3x()A3n()B3nA()C3nA()D3nA2与 不等的是 （ ） 710 ()910()81()910()10A3若 ，则 的值为 （ ） 53m()A5B3C6()D74计算： ； 5691023!A1()!nmA5若 ，则 的解集是 1()4m6 （1）已知 ，
44、那么 ； （2）已知 ，那么 = ；1095A 9!3628079A（3）已知 ，那么 ； （4）已知 ，那么 26nn 47nAn7一个火车站有 8 股岔道，停放 4 列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放 1列火车）？8一部纪录影片在 4 个单位轮映，每一单位放映 1 场，有多少种轮映次序？答案：1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5. 2,34566. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 5 7. 1680 8. 24 奎 屯王 新 敞新 疆教学反思：排列的特征：一个是“取出元素” ；二是“按照一定顺序排列” ,“一定顺序”就是与位置有关，这
45、也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同. 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑” ，一个是“反过来剔” 前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。第三课时例 1 （1）有 5 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，
46、每人各 1 本，共有多少种不同的送法？（2）有 5 种不同的书，要买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？解：（1）从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学，对应于从 5 个元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是： ，所以，共有 60 种不同的送法 奎 屯王 新 敞新 疆5460A（2）由于有 5 种不同的书，送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3 名同学，每人各 1 本书的不同方法种数是： ，所以，共有 125 种不同的送法 奎 屯王 新 敞新 疆2说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从 5 本不同的书中选
47、出 3 本分送给 3 位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从 5 种不同的书中任选 1 种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算 奎 屯王 新 敞新 疆例 2某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂 1 面、2面或 3 面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：分 3 类：第一类用 1 面旗表示的信号有 种；第二类用 2 面旗表示的信号有 种；第三类用 313A23A面旗表示的信号有 种，由分类计数原理，所求的信号种数是：3A，123325A例 3将 位司机、 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一4位售票员，共有多少种不同的分配方案？分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把 位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出 个元素排成一列，有 种方法；A第二步：把 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有 种方法，4 4A利用分步计数原理即得分配方案的种数 奎 屯王 新 敞新 疆解：由分步计数原理，分配方案共有 （种）例 4用 0
