1、-_数学必修一知识系统汇总第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y(3)元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1)用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R1） 列举法：a,b,c2）
2、 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。x R| x-32 ,x| x-323） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形4） Venn 图:4、集合的分类：(1)有限集 含有有限个元素的集合(2)无限集 含有无限个元素的集合(3)空集 不含任何元素的集合 例：x|x 2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分， ；（2）A 与 B 是同一集合。B反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A2 “相等”关系：A=B (55，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x 2-1
3、=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。AA；真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A)如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有 n 个元素的集合，含有 2n个子集，2 n-1个真子集-_三、集合的运算运算类型交 集 并 集 补 集定 义由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B的交集记作A B（读作A 交B） ，即A B=x|x A，且 x B 由所有
4、属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集记作：AB（读作A 并 B） ，即 A B =x|x A，或 x B)设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作 ，即CSCSA= ,|x且韦恩图示A B图1A B图2SA性 质A A=A A =A B=B AA B A A B BA A=A A =AA B=B AA B A B B(CuA) (CuB)= Cu (A B)(CuA) (CuB)= Cu(A B)A (CuA)=U A (CuA)= 二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B
5、 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：1定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于
6、1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） ；定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2)2值域 : 先考虑其定义域(1)观察法 (2)配方法(3)代换法-_3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点P(x， y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的
7、图象C 上每一点的坐标 (x， y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x， y)，均在 C 上 . (2) 画法 A、描点法 B、图象变换法常用变换方法有三种： 平移变换 伸缩变换 对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：
8、A（原象） B（象） ”对于映射 f： A B 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、g 的复合函数。二函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设
9、函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2，当x11，且 *axnxannN 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 。0当 是奇数时， ，当 是偶数时，nan )(|n2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，)1,0(*nNmanm )1,0(1* nNmaanmn 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） ；rsr ),(Rsr-_（2） ；rsra)( ),0(Rsra（3） b,0R（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中 x 是)1,
10、0(ayx且自变量，函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质a1 01 0a1 32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 832.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 8定义域 x0 定义域 x0值域为 R 值域为 R在 R 上递增 在 R 上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）（四）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数xy)(a2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都
11、过点（1，1） ；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数特别地，当 时，幂函数 ),01的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；10（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象),0(x在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴yyxx第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数)(Dxfy0)(xfx-_的零点。)(Dxfy2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴)(xfy0)(xf )(xfy交点的横坐标。即：方
12、程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点函数 有零点0)(f)(f 3、函数零点的求法：（代数法）求方程 的实数根； 1 )(xf（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起 2 )(xfy来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数 )0(2acbxy（1），方程 有两不等实根，二次函数的图象与轴 有两个交点，二次函数有两x个零点（2），方程 有两相等实根，二次函数的图象与轴 有一个交点，二次函数有一2个二重零点或二阶零点（3），方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点0cbxa x高一数学必修 4 知识点总结第一章 三角函数正 角 :按 逆 时
13、 针 方 向 旋 转 形 成 的 角1、 任 意 角 负 角 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角零 角 :不 作 任 何 旋 转 形 成 的 角2、角 的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角x 第一象限角的集合为 3603609,kkk第二象限角的集合为 918第三象限角的集合为 18270,kkk第四象限角的集合为 3602736终边在 轴上的角的集合为x,k终边在 轴上的角的集合为y1890k终边在坐标轴上的角的集合为 ,2、-_PvxyAOMT 、2 、 、3、与角 终边相同的角的集合为360,kk4、长度等于半径长的弧所对的圆心
14、角叫做 弧度15、半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是 rl lr6、弧度制与角度制的换算公式： ， ， 236018057.37、若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则 ，为 弧 度 制 rlCSlr， 2Crl21Slr8、设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，它与原点的距离是,xy，则 ， ， 20rxysinyrcosxrtan09、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正10、三角函数线： ， ， sistA11、角三角函数的基本关系： ；221sincos1222
15、incos,1sinsin2tacoita,ta 12、函数的诱导公式：， ， 1sisikco2cosktn2tankk， ， 2nna， ， 3sisicsstt， ， 4ocoanan口诀：函数名称不变，符号看象限-_， ， 5sincos2sin26sicos2sin2口诀：正弦与余弦互换，符号看象限13、的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数 的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数sinyx 1的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍sinyx A（横坐标不变） ，得到函数 的图象A数 的
16、图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数sinyx 1的图象；再将函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数isinyx的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍sinyxi A（横坐标不变） ，得到函数 的图象snyxA14、函数 的性质：si0,yx振幅： ；周期： ；频率： ；相位： ；初相： A212fx函数 ，当 时，取得最小值为 ；当 时，取得最大值为 ，则sinyx1xminy2maxy， ， mai12main2y212xx15 周期问题 2T ,0b , ,0A ,b , , ,0T , ,A , xACosy
17、SinxiyACosSin-_ T ,0 ,A ,cotan , , ,t T0xAyxAy15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域 RR,2xk值域 1,1,R最值当 时，2xk；当 may2时， kmin1y当 时， xk；当may2时， kmin1y既无最大值也无最小值周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数单调性在 2,2k上是增函数；在32,2k上是减函数在 上是2,kk增函数；在 2上是减函数k在 ,2k上是增函数函 数性质-_对称性对称中心 ,0k对称轴 2x对称中心 ,02kk对称轴 x对称中心 ,02k无对称轴第二章 平面向量16
18、、向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 零向量：长度为 的向量0单位向量：长度等于 个单位的向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量17、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式： abab运算性质：交换律： ；结合律： ； cc0a坐标运算：设 ， ，则 1,axy2,bxy12,bxy18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设 ， ，则 1,xy2,xy12,axy设 、 两点的坐标分别为
19、， ，则 A1 12A19、向量数乘运算：实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a a ；b a C AaC-_当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， 0a0a0a运算律： ； ； aba坐标运算：设 ，则 ,xy ,xy20、向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 0ab设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、 共线1,axy2,bxy 1210xya0b21、平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，1e2 a有且只有一对实数 、 ，使 （不共线的向量 、 作为这一平面
20、内所有向量的一组基底）122ae1e222、分点坐标公式：设点 是线段 上的一点， 、 的坐标分别是 ， ，当12121,xy2,时，点 的坐标是 （当12 ,xy时 ， 就 为 中 点 公 式 。 ）23、平面向量的数量积： 零向量与任一向量的数量积为 cos0,180abab 0性质：设 和 都是非零向量，则 当 与 同向时， ；当 与 反向abababab时， ； 或 2 运算律： ； ； abcc坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 1,axy2,bxy12abxy若 ，则 ，或 设 ， ，则,xy22 1,ax2,bxy120ab设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则1,a
21、xy2,bxyab122cosabx-_第三章 三角恒等变换24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ； ；coscsosincoscossin ； ；inicinic （ ） ；tata1nttata1tan （ ） ttnattntnt25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： si2icos 222 )cos(incosicossii1 222concn升幂公式2si,s降幂公式 ， 2o1cs2coi 2tant126、 半 角 公 式 sinco1csico12tan2;cos: 2tan1 cos;2tan1 si: 2万 能 公 式 -_（后两个不用判断符号，更加好用）27、合一变形
22、把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 形式。 ，其中 BxAy)sin(2sincossinAAtanA28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 24224 ；问： ； ；30563051ooo 1sin12cos ；
23、； ；等等)( )4(24 )4()()()(2 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：oo45tan90sicttancossin22 （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；cs1（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形
24、应用。如： ； ；_tan_tan1； ； ；tt t； ；an2 2an1；ooo 40t2tan340tt= ；csi= ；（其中 oinba tan；）； ；cs1 cos1-_（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。如： ；)10tan3(50sinoo。 cta易错点提示：1. 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？2. 在三角中，你知道 1 等于什么吗？（ 这些统称为 1 的代换) 常数 “
25、1”的种种代换有着广泛的应用3. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？( )5常见三角不等式：（1）若 ，则 .(0,)2xsintax(2) 若 ，则 . (3) .(0,)2x1sico|sin|cos|1x测试题一、选择题1下列转化结果错误的是 （ ）A 化成弧度是 rad B. 化成度是-600 度036783310C 化成弧度是 rad D. 化成度是 15 度56722已知 是第二象限角，那么 是 （ ）2A第一象限角 B. 第二象限角C. 第二或第四象
26、限角 D第一或第三象限角3已知 ，则 化简的结果为 （ ）0tan,si2sin1A B. C D. 以上都不对cocoscos4函数 的图象的一条对称轴方程是 （ ）)2s(xy-_A B. C. D. 2x4x8xx5已知 ， ,则 tan2x= ( )0,(53sinA B. C. D. 2472477247246已知 ，则 的值为 （ ）31)tan(,1)tan()tan(A B. 1 C. D. 2227函数 的最小正周期为 （ ）xxfsinco)(A1 B. C. D. 228函数 的单调递增区间是 （ ）)3s(yA B. )(,42Zkk )(324,ZkkC D. )(3
27、8, )(8,9函数 ， 的最大值为 （ ）xycosin2,A1 B. 2 C. D. 32310若 均为锐角，且 ，则 的大小关系为 （ ）、 )sin(i与A B. C. D. 不确定二、填空题11、函数 的最大值是 3，则它的最小值_sin1yax12、若 ，则 、 的关系是_bb13、若函数 f()是偶函数，且当 0 时，有 f()=cos3+sin2，则当 0 时，f()的表达式为 .14把函数 先向右平移 个单位，然后向下平移 2 个单位后所得的函数解析式为)32sin(xy2-_15已知 ，则 =_2)4tan(2cossin31-_测试题一、选择题1若三点 (2,3),(4,
28、)ABaCb共线，则有（ ）A 5ab B 10 C 23ab D 20ab2设 0，已知两个向量 sin,coOP，cos2,sinOP，则向量 21长度的最大值是（ ）A. B. 3 C. D. 33下列命题正确的是（ ）A单位向量都相等 B若 a与 b是共线向量， b与 c是共线向量，则 a与 c是共线向量（ ） C |，则 0aD若 0与 是单位向量，则 14已知 ,均为单位向量，它们的夹角为 06，那么 3b（ ）A 7 B 1 C 3 D 45已知向量 a， b满足 ,且 2ab,则与 的夹角为A 6 B 4 C 3 D6若平面向量 b与向量 )1,2(a平行，且 52|b，则 b
29、( )A )2,( B C ),6( D ,4或 2,二、填空题1若 ，且 ，则向量 与 的夹角为 |,|,abcacab2已知向量 ， ， ，若用 和 表示 ，则 =_。(1,2)a(,3)b(4,1)cabc3若 , ， 与 的夹角为 ，若 ，则 的值为 1a2ba06(35)ab()m-_4若菱形 的边长为 ，则 _。ABCD2ABCD5若 = ， = ，则 在 上的投影为_。a)3,2(b)7,4(ab6已知向量 (cos,in)a，向量 (3,1)b，则 2ab的最大值是 7若 (1,2),3(2,5)ABC，试判断则ABC 的形状 _8若 (,)a，则与 a垂直的单位向量的坐标为_。9若向量 |1,|2,|,b则 |ab。10平面向量 a,中，已知 (4,3)， 1，且 5A，则向量 b_。
