1、第10章 内部排序,10.1 概述 10.2 插入排序 10.3 快速排序 10.4 选择排序 10.5 归并排序 10.6 基数排序 10.7 各种内部排序方法的比较讨论,排序就是将一组杂乱无章的数据按一定的规律顺次排列起来。 排序的目的是为了方便以后的查找。,10.1 概述,排序(Sorting)：简单地说，就是将一组记录按关键字域递增（由小到大）或递减（由大到小）的次序重新排列。 排序码（Sort Key）：作为排序依据的关键字。,有序表：排序后的结果。无序表：排序前的状态。,升序表正序表：按排序码升序排列的有序表。降序表逆序表：按排序码降序排列的有序表。,一、概念：,稳定排序：键值相同
2、的记录，排序后相对次序总能保持不变。 不稳定排序：键值相同记录排序前后相对次序不能保持不变。,待排序列： 49,38,65,97,76,13,27,49 排序后:13,27,38,49,49,65,76,97 稳定 排序后:13,27,38,49,49,65,76,97不稳定,内排序：排序过程全部在内存中进行。 外排序：排序过程需要进行内存和外存之间的数据交换。,内排序,插入排序（直插排序、二分排序、希尔排序） 交换排序（冒泡排序、快速排序） 选择排序 （直选排序、树型排序、堆排序） 归并排序（二路归并排序、多路归并排序） 分配排序 （多关键字排序、基数排序）,无序区,有序区增长法：排序表可分
3、成有序区和无序区，随着排序过程的进行，有序区逐渐增长，无序区逐渐缩小，最后全部为有序区，排序结束。初始有序区可为空或仅含一个元素，其余为无序区。,一趟排序,有序区,有序区,无序区,有序度增长法：排序表不能分成明显的有序区和无序区，但排序过程的每一步，整个排序表的有序程度都提高一点，最后变得完全有序。,评价标准： 1）时间； 2）附加空间。 3）算法的稳定性、复杂程度等附加空间一般不大，排序经常执行，时间开销是最重标志。两种基本操作： 1）比较：比较关键字的大小 2）移动：将记录从一个位置移动到另一个位置。时间开销主要指关键字的比较次数和记录的移动次数。当键值是字串时，比较要占用较多的时间；当记
4、录很大时，交换记录时移动要占较多时间。比较一般都需要，但移动可改变存储方式来避免。,二、时空分析：,1）顺序存储。对记录本身进行物理重排，移到合适的位置。 2）链式存储。无需移动记录，仅修改指针。（链）表排序。 3）索引顺序存储。对索引表物理重排，不移动原始记录本身。,三、存储方式,const int maxsize=100; /排序表容量，假设为100 typedef int datatype; /假设关键字为int typedef struct datatype key; /关键字域othertype other; /其它域 rectype; /记录类型 typedef rectype l
5、istmaxsize+1;/排序表类型，0号单元不用（或作它用，如“监视哨”）,为简单起见，本章以数组作存储结构：,10.2 插入排序,基本思想依次将待排记录插入到有序区适当位置，直到全部记录插入完毕；初始有序区只有一个元素。,一、基本思想,每次将无序区第1条记录插入到有序区适当位置。初始取第1条记录为有序区，其它记录为无序区。随着排序进行，有序区不断扩大，无序区不断缩小。最终无序区为空，有序区包含了全部记录，排序结束。有序区也可从排序表的尾部生成 。,10.2.1 直接插入排序 （Straight Insertion Sort）,例1：对(49 38 13 76 65 97 27 49 )直
6、接插入排序。初始：（49）38 13 76 27 49,（13 38 49 49 65 97）,（13 27 38 49 65 ）49,（13 38 49 76）27 49,（13 38 49 ）76 27 49,（38 49）13 76 27 49,为提高插入时的查找 效率，可以采用 折半查找 称为 折半插入排序,void InsertSort(list R,int n) /无监视哨int i,j; NODE x; /x为中间结点变量for(i=2;i=Ri-1.key) continue;x=Ri; /把待排记录赋给 xj=i-1;do /顺序比较和移动Rj+1=Rj;j-; while(
7、j0 /插入Ri ,二、算法实现,无序区第一记录Ri 插入有序区R1Ri1，找插入位置和移动记录交替进行：从有序区的后部j开始，如果该位置记录大于待插记录，则后移一位；待插记录插入到最后空出的位置上。,void InsertSort(list R,int n) /有监视哨int i,j;for(i=2;i=Ri-1.key) continue;R0=Ri; /R0是监视哨j=i-1;do /顺序比较和移动Rj+1=Rj;j-; while(R0.keyRj.key); Rj+1=R0; /插入Ri ,R0为监视哨（Sentinel），省略下标越界检查“j0”：一旦越界，j=01，循环条件R0.
8、keyRj.key不成立，自动控制while循环的结束。,初始：,i=3:,j=2:,j=1:,j=0:,例 有监视哨，第3趟,三、效率分析,时间：最好：正序，n-1趟插入，每趟比较1次，移动0次：Cmin=n-1=O(n)，Mmin=0 最坏：逆序，每趟比较i-1次，移动i-1+2次。平均： O(n2) 空间：一个辅助空间，用于交换（或监视哨） 。 稳定：相邻元素比较和移动 可用于链表 适用于基本(正向)有序或n较少的情况,一、基本思想,排序表分成若干组，相隔为某个“增量”的记录为一组，各组内直接插入排序；初始增量d1较大，分组较多（每组的记录数少），以后增量逐渐减少，分组减少（每组的记录数
9、增多），直到最后增量为1（d1d2dt=1），所有记录放为同一组，再整体进行一次直接插入排序。 又称“缩小增量排序”（Diminishing Increment Sort） 。,10.2.2 希尔排序,例如，对（49,38,65,97,76,13,27,49）希尔排序。,初始关键字,d1=5,例如，对（49,38,65,97,76,13,27,49）希尔排序。,8,7,6,5,4,3,2,1,一趟排序结果,d1=3,例如，对（49,38,65,97,76,13,27,49）希尔排序。,8,7,6,5,4,3,2,1,二趟排序结果,d1=1,例如，对（49,38,65,97,76,13,27,4
10、9）希尔排序。,一趟排序结果,二趟排序结果,三趟排序结果,初始关键字,二、算法实现,void ShellInsert(list R,int n,int h) /一趟插入排序，h为本趟增量int i,j,k;for(i=1;i=Rjh.key) continue;R0=Rj; /R0保存待插记录，但不是监视哨k=jh; /待插记录的前一个记录do /查找插入位置Rk+h=Rk;k=kh;/后移记录，继续向前搜索 while(k0 /插入Rj ,两个for循环可合并为一个：for(j=1+h;j=n;j+)，相当于对每组交替直接插入排序。,void ShellSort(list R,int n,i
11、nt d,int t) /d为增量序列，t为增量序列长度int i;for(i=0;it;i+) /各趟插入排序ShellInsert(R,n,di); ,希尔排序就是调用若干趟插入排序：,三、效率分析,时间：O(nlog2n)和O(n2)之间，大致O(n1.3) ，优于直接插入 其一，加速原理。相隔为增量的记录一组，组内移动一位，对原序列则移动若干位，加速向目标位置移动。开始时无序程度大，增量大，加速快；以后每个增量排序后，有序度提高一些，增量缩小，加速减缓。 其二，基本有序和小规模原理。开始时增量大，分组多，组内记录少，组内直接插入快；后来增量缩小，分组少，组内记录多，但有序性提高了，排序
12、也较快。 不稳定：组内“相邻”移动，原序列则跳跃移动,10.3 交换排序,基本思想： 每次比较两个待排序的记录，如果关键字的次序与排序要求相反时就交换两者的位置，直到没有反序的记录为止。 特点： 键值较大的记录向排序表的一端移动，键值较小的记录向另一端移动。,一、基本思想,设排序表垂直放置，每个记录看作重量为键值的气泡；根据轻上重下原则，从下往上扫描，违反本原则的轻气泡，向上“飘浮”，如此反复，直到任何两个气泡都是轻上重下为止。每一趟一个“最轻”的气泡冒到顶部上升法。 也可从上向下扫描，这时每一趟是一个“最重”的气泡沉到底部下沉法。 每次交换时，其中一个总沿着最终方向，另一个则未必（取决于上升
13、法还是下降法）。,起泡排序（Bubble Sort）,例：对（49，38，65，97，76，13，27，49）冒泡排序。,void BubbleSort(list R,int n) /上升法冒泡排序int i,j,flag;for(i=1;i=i+1;j) /从下向上扫描if(Rj.keyRj1.key) /交换记录flag=1;R0=Rj;Rj=Rj1;Rj1=R0;/交换，R0作辅助量 if(!flag) break; /本趟未交换过，排序结束 ,二、算法实现,排序中各元素不断接近自己的位置，如果一趟下来没有交换，则序列已经有序，可设一个标志flag判断，提前结束。,时间： 最好：初始正序
14、，一趟排序，比较n-1次，移动0：Cmin=n-1=O(n)，Mmin=0： 最坏：初始逆序，n-1趟排序，每趟比较ni次，每次比较3次移动：平均： O(n2) 辅助空间1，用于交换（用R0代替）。 稳定：只对相邻记录顺序比较和交换。 可用于链表（下沉法）,三、效率分析,例 链表起泡排序下沉法,15,35,25,h,45,q,p,15,35,h,25,45,end,end,h,15,25,35,45,end,NULL,搜索结束条件：p-next=end end初值为NULL，以后指向每趟最后点。,一、基本思想,任选一记录作基准，其它记录与之比较，小于等于放基准前面；大于等于放基准后面。 一趟排
15、序后，左子序列小于等于基准，右子序列大于等于基准。对两子序列进行同样处理，直至每组只有1个记录，全部记录有序。又称划分交换排序 可看成冒泡排序的改进：记录的比较和交换从两端向中间进行，较大的记录每次交换到较后位置，较小的交换到较前位置，每次移动距离较远，总的比较和移动次数较少。 是目前为止所有内排序中速度最快的一种。,快速排序（Quick Sorting）,1）一趟划分：,二、算法实现,设划分区间RpRq，指针i、j分别指向p、q。第1记录作基准j从右向左扫描，找1个小于基准的记录Rj，移到位置i； i自i+1起从左向右扫描，找1个大于基准的记录Ri，移到位置j 再令j自j1起向左扫描，如此交
16、替改变扫描方向，从两端往中间靠拢，直至i=j时，i便是基准的最终位置，将它放在该处。,一 趟 划 分,初始关键字,49,49,初始关键字,例，对（49，38，65，97，76，13，27，49）快速排序,快速排序的判定树： 树根表示基准，左右子树表示划分的两个区间，每个子区间继续用子二叉树表示。,int Partition(list R,int p,int q) /对无序区Rp到Rq划分，返回划分后基准的位置int i,j;i=p; j=q; R0=Ri;/R0作辅助量，存基准(无序区第一个记录)while(i=R0.key ,基准在扫描中不必真正交换，划分完成得到最终位置后再放入,void
17、QuickSort(list R,int s,int t) /对Rs到Rt快速排序int i;if(s=t) return; /只有一个记录或无记录无需排序i=Partition(R,s,t); /对Rs到Rt做划分QuickSort(R,s,i1); /递归处理左区间QuickSort(R,i+1,t); /递归处理右区间 ,2）快速排序算法,设排序区间为Rs到Rt，一趟划分后得到基准位置i，接着对区间Rs到Ri1、Ri+1到Rt进行递归处理。,对整个排序表R进行快速排序，调用QuickSort(R,1,n)；,时间： 最好：每次划分两侧大致相等，判定树高log2n1 ，Cmin n(log
18、2n+1)=O(nlog2n) 最坏：每次划分一侧空，剩下另一侧，判定树为单枝树，蜕化为冒泡排序 ：移动次数不大于比较的次数 平均： O(n log2n) 辅助空间为栈，深度最好O (log2n)，最坏O(n) 。 不稳定：两头比较和交换，可改变相同键值记录的相对位置,三、效率分析,10.4 选择排序 （Selection Sort）,基本思想 每一趟从待排记录中选关键字最小（或最大）的记录，顺序放在已排序的子序列的最后（或最前），直到全部记录排完,一、基本思想,所有记录组成初始无序区，每趟都从无序区中选出键值最小的记录，与无序区第一个记录交换，有序区增加了一个记录。n1趟排序后，整个排序表就
19、全部有序了。可看成冒泡排序：比较和交换的是无序区最小和无序区第一个，不是相邻两个。总比较次数相同，但移动次数少。,10.4.1 简单选择排序 （Straight Selection Sort）,例，对（49，38，65，97，76，13，27，49）简单选择排序,void SelectSort(list R,int n) int i,j,k;for(i=1;i=n1;i+) /n1趟排序k=i;for(j=i+1;j=n;j+) /无序区中找最小Rkif(Rj.keyRk.key) k=j;if(k!=i) R0=Ri;Ri=Rk;Rk=R0;/交换Ri和Rk，R0作辅助 ,二、算法实现,三、
20、效率分析,时间：n1趟，每趟都找最小，总比较次数：最好：初始正序，无移动，Mmin0，Cmin=O(n2) 最坏：初始反序，Mmax3(n-1) ，Cmax=O(n2) 平均：O(n2) 辅助空间1，用于交换 不稳定：有不相邻记录交换 可用于链表,15,25,25,15 ,例 链表选择排序,25,35,15,f,h,25,f,15 ,h,35 ,f,35 ,h,f,h,35 ,NULL,NULL,每次找一个最大，头插入新链表,也可每次找一个最小，尾插入新链表,直接选择排序时，从n个键值中找最小比较n1次，剩下的找次小比较n2次，再找第三小比较n3次，总比较次数为： (n1)+(n2)+3+2+
21、1= n(n1)/2,10.4.2 树形选择排序 Tree Selection Sort,实际上，除第一次的n1次比较外，后面各次比较中很多在前面已经做过，但结果没有保留，所以在以后又重复进行。,n个记录两两比较，得到 n/2 个较小者。然后再两两比较。如此重复，直至选出键值最小的记录为止。如果某组只有一个记录，则轮空，直接进入下一轮比较。 这个过程可用一棵完全二叉树来表示，故称树形选择排序 该过程又象锦标赛，两两决胜负，最后决出冠军，故又称锦标赛排序（Tournament Sort）。,49,13,13,65,97,39,38,13,38,38,65,76,13,27,27,例：对（49 3
22、8 65 97 76 13 27 49）树形选择排序,76,27,27,例：对（68,15,45,52,07,53,14）树形选择排序,叶子数n的完全二叉树深度为 log2n 1 第一次n1次比较，以后每次最多log2n 次，总时间不超过(n1)+n log2n =(nlog2n) 稳定,增加n1个单元保存结果，共2n1个单元 排序结果另外存储 与+的比较实际多余,一、定义,10.4.3 堆排序 Heap Sort,巧妙的树形选择排序，不需专门设立树。 将R1到Rn看成完全二叉树的顺序存储结构，利用双亲和孩子间的内在关系来选择关键字最小（或最大）的记录。,1）堆是一棵完全二叉树，任一结点关键字
23、小于等于（或大于等于）其孩子结点的关键字。 2）n个关键字序列K1,K2,Kn称为堆，当且仅当该序列满足： KiK2i且KiK2i+1 (1in/2) 或者 KiK2i且KiK2i+1 (1in/2),小根堆 大根堆,小根堆,大根堆,不是堆,不是堆,堆中任一棵子树也是堆,为保证时间性能，就要利用已有结果，每次输出堆顶后，剩下元素不是完全重建，应该在原堆上通过某些调整得到； 为保证空间性能，输出的堆顶应利用原有空间，可将它与无序区最后记录交换位置。排序过程中有序区在原记录区的尾部逐步形成并向前扩大，和直接选择排序相反。,二、堆排序基本思想,利用小（大）根堆选取当前无序区关键字最小（大）的记录来实
24、现排序。首先，将初始无序区调整为一个大根堆，输出关键字最大的堆顶记录后，将剩下的n1个记录再重建为堆，于是便得到次大值。如此反复，直到全部元素输出完。,两个问题： （1）最初如何由一个无序序列建成一个堆？ （2）在输出堆顶元素后，如何调整剩余元素成为一个新的堆？,1、初始堆的建立,把完全二叉树中以每一结点为根的子树都调整为堆。,只有一个结点的树是堆，在完全二叉树中，所有序号in/2的结点都是叶子，以这些结点为根的子树均已是堆。,依次将以序号为n/2，n/21,1的结点作为根的子树都调整为堆。,按该次序调整各结点时，其左、右子树均已是堆（不妨将空树亦看作是堆）。,已知结点Ri的左、右子树是堆，如
25、何将以Ri为根的完全二叉树调整为堆？,解决这一问题可采用“筛选法”。,筛选法：,Ri左、右子树是堆，其根为各自子树中关键字最大者， 将Ri和其左、右孩子中关键字最大者放到Ri的位置。 若Ri是三者中的最大，则无需调整，以其为根的子树已是堆； 否则，将Ri和具有最大关键字的左孩子R2i或右孩子R2i+1进行交换。 交换后以R2i和R2i+1为根的子树可能不再是堆，但其左、右子树仍然是堆，于是重复上述过程，将子树调整为堆，如此逐层递推下去，最多可能一直调整到树叶。 这一过程就像过筛子一样，把较小的关键字筛下去，而将最大关键字一层层地选择上来。,大根堆,例，筛选法（大根堆）示例。,例，对（1,2,9
26、,11,4,6,8,10,16,05）建初始堆（大根）。 n=10，故从第10/2 5个结点开始进行调整,2、调整和重建,将堆顶元素与堆最后的元素互换； 将其余的元素筛选成堆；,交换,筛选,交换,筛选,交换,筛选,交换,筛选,交换,筛选,交换,筛选,交换,筛选,交换,筛选,交换,void HeapSort(list R,int n) /对R1到Rn进行堆排序int i;for(i=n/2;i=1;i) Sift(R,i,n); /建初始堆for(i=n;i=2;i) /进行n1趟堆排序R0=R1;R1=Ri;Ri=R0;/堆顶和当前堆底交换，R0作辅助量Sift(R,1,i1); /R1到Ri
27、1重建成新堆 ,三、算法实现,void Sift(list R,int p,int q) /筛选，范围RpRq，非递归int i,j;R0=Rp; /R0辅助量，保存原根结点i=p; /i指向待调整点j=2*i; /j指向Ri的左孩子while(jRj.key) break; /根孩子，已堆，调整结束Ri=Rj; /将Rj换到双亲位置上i=j; /修改当前被调整结点j=2*i; /j指向Ri的左孩子Ri=R0; /原根结点放入正确位置 ,void Sift2(list R,int p,int q) /筛选，范围RpRq，递归int i,j;if(p=q) return; /只有一个元素或无元素
28、i=p; /i指向待调整点j=2*i; /j指向Ri的左孩子if(jRj.key) return;/待调点已最大，不调R0=Rj;Rj=Ri;Ri=R0;/交换Rj和Ri，R0作辅助Sift2(R,j,q); /递归 ,建堆 n/2 筛选，重建n1次筛选，每次筛选双亲和孩子比较和移动，不超过深度，时间复杂度(n/2 n1)O(log2n) =O(nlog2n)。 辅助空间为1（供交换用），空间复杂度为O(1)。 不稳定，如（2，1，2）,四、效率分析,一、 二路归并排序基本思想,初始排序表看成n个长度为1的有序子表，两两归并，得到 n/2 个有序的子表（当n为奇数时，归并后仍有一个长度为1的子
29、表）；再把这些有序子表两两归并，如此反复，直到最后得到一个长度为n的有序表为止。,10.5 归并排序 （Merging Sort）,利用“归并”技术来进行排序，所谓归并是指将若干个已排序的子表合并成一个有序表。,例，（49，38，65，97，76，13，49）二路归并排序。,void Merge(list R,list R1,int low,int mid,int high) /合并RlowRmid、Rmid+1Rhigh，结果在R1中int i,j,k;i=low;j=mid+1;k=low; while(i=mid /复制右子表剩余 ,1、两子表合并,二、算法实现,void MergePa
30、ss(list R,list R1,int n,int len) /对R做一趟归并，结果在R1中int i,j;i=1; /i指向第一对子表的起始点while(i+2*len1=n) /归并长度为len的两个子表Merge(R,R1,i,i+len1,i+2*len1);i=i+2*len; /i指向下一对子表起始点if(i+len1n) /剩两子表，一个长度小于lenMerge(R,R1,i,i+len1,n); else /子表个数为奇数,剩一段for(j=i;j=n;j+)/将最后一个子表复制到R1中R1j=Rj; ,2、一趟归并 设子表长度len，对子表个数奇数、最后子表长度小于len
31、两种情况特殊处理。,void MergeSort(list R,list R1,int n) /对R二路归并排序，结果在R中(非递归)int len;len=1;while(lenn) MergePass(R,R1,n,len);len=len*2;/一趟归并，结果在R1中MergePass(R1,R,n,len);len=len*2;/再次归并，结果在R中 ,3、归并排序 若干次调用“一趟归并”，每趟子表长度扩大一倍。第一趟子表长度为1，当子表长度n时结束。,三效率分析,子表长度不断加倍，1n，归并趟数为log2n；每趟归并比较次数移动次数，后者为O(n)；总时间复杂度O(nlog2n)。
32、辅助空间为数组R1，空间复杂度O(n) 键值相同记录顺序复制，不改变相对位置，故是稳定的。 可在链表上实现,10.6 基数排序,利用关键字结构，通过“分配”和“收集”实现排序 无需比较关键字。 可分为箱排序和基数排序两类。,箱排序、桶排序 Bin Sort、Bucket Sort,设置若干箱子，扫描待排记录R1、R2、Rn，把关键字等于k的记录全都装入到第k个箱子（分配），然后，按序号依次将各非空的箱子首尾连接起来（收集）。,例，扑克牌按面值A2JQK排序（不分花色），设置13个“箱子”，依次将每张牌按面值放入相应的箱子里，然后依次将箱子首尾相接，就得到按面值递增序排列的一副牌。,箱子个数m取
33、决于关键字的取值范围。 分配时间(n)，收集时间(m+n)（若用链表，则(m)），所以箱排序时间(m+n)。 若关键字的取值范围很大，如m=(n2)，则效率很低。,基数排序 （Radix Sort）,多关键字排序：低位优先，高位优先 每趟箱子共用，每趟排序前清空箱子（除第一趟外） 箱子的数据按队列存放 箱子内数据个数可变，适合链表实现链式基数排序,将关键字看成多个分量组成，从低到高依次对关键字的各分量进行箱排序，每趟所需箱子数就是基数。,时间：链表初始化O(n)，清箱O(r)，收集O(r)，分箱O(n)，一趟总O(n+r)，d趟总O(d(n+r)O(n)。 空间：结点指针O(n)，箱子头尾指针
34、O(r)，总O(n+r) 稳定：分配和收集不改变相同键值的相对位置。,例 对（ 91 46 85 15 92 35 31 22）基数排序,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,91,46,85,15,92,35,31,22,收集: 91 31 92 22 85 15 35 46,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,91,31,92,22,85,15,35,46,收集: 15 22 31 35 46 85 91 92,分配(按个位),分配(按十位),10.7 内排序的比较和选择,简单排序（直接插入、直接选择、冒泡排序等）每次只对相邻元素比较，前进步伐慢，时间耗费大，为(n2)，但一些特殊情况却可取得很好效果；效率高的算法每次比较产生的作用不仅仅局限于被比较的两个元素，而是多个甚至一半左右，但它们对数据量小的情况并不一定合适。,综合考虑下列因素： （1）待排序的记录数目。 （2）记录本身信息量的大小。 （3）关键字的结构及其分布情况。 （4）对排序稳定性的要求。 （5）语言工具的条件。 （6）算法本身的难易程度。 （7）辅助空间的大小等。,
