1、第十章 马尔科夫预测法,第十章 马尔科夫预测法,开篇案例,首都出租汽车公司的管理难题 首都出租汽车公司在北京国际机场、颐和园和北京饭店设有出租汽车站。经调查，顾客在三个地方租还车的转移概率如下表所示，公司将选一处附设汽车维修点，那么该公司将汽车维修点设在何出最好？,第一节 马尔科夫预测法的基本原理,第一节 马尔科夫预测法的基本原理,一、马尔科夫预测法的概念和适用范围,马尔科夫预测法是应用概率论中马尔科夫链的理论和方法来分析研究有关经济现象变化规律并借此预测未来状况的一种预测方法。 马尔可夫预测法不需要大量历史资料，而只需对近期状况作详细分析。 适用于：,二、随机过程与马尔科夫链,在自然界和人类
2、社会中，事物的变化过程可分为两类：,马尔可夫链,俄国数学家马尔科夫在研究中发现，有一类随机过程仅与事物的近期状态有关，而与事物的过去状态无关。 即：系统在每一时刻（或每一步）上的状态，仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。这个性质称为无后效性，即所谓马尔可夫假设。 具备这个性质的随机过程，称为马尔可夫链。 由于系统状态的变化是随机的，因此，必须用概率描述状态转移的各种可能性的大小。,三、状态转移概率,概率论中的条件概率P(BA)就表达了由状态A转向状态B的概率，简称为状态转移概率。 例 假设抽屉里有10个乒乓球，其中有3个红球，现做不放回随机抽样，问第一次取到红色球的条件下，第二次仍然取到红色
3、球的概率是多少？ 假定第一次取到红色球为事件A，第二次取到红色球为事件B，则可知，第一次取到红色球的概率P(A)=3/10；第一次取到红球后作不放回抽样，抽屉里剩下9个乒乓球，其中有2个红色球，所以，第二次取到红色球的概率为P(B)=2/9。 我们把在A事件已发生的条件下求B事件发生的概率称为在事件A出现的情况下事件B出现的条件概率。记为P(BA)。 对于由状态Ei转移到状态Ej的概率，我们称之为从i到j的转移概率。记为：,状态转移概率的特征,在一定的条件下，系统只能处在状态E1,E2,EN这n个状态中，而且每次只能处在一个状态中，那么每一个状态都有n个转向（包括转向自身）。,则第i种状态的转
4、移概率 ，总共有n个转移概率：,四、状态转移概率矩阵,如果把Pij作为矩阵的第i行，那么n个状态 共有n行，其构成的矩阵： 称之为一步状态转移概率矩阵，也就是把状态转移用数阵的形式表示出来，这样以来就可把矩阵的知识用于市场调查与预测。 若系统在某时刻经过了k步转移，就有了k步状态转移概率，写成矩阵形式就是K步状态转移概率矩阵。,对k1，记称Pij(k)为k步状态转移概率，P(k)为k步状态转移概率矩阵。 特别，当k=1时，Pij(1)为1步状态转移概率。 马尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由1步状态转移概率求出。,用矩阵表示，即为P(k)= P(k-1)P，P(k)=Pk， k1,五、稳态概
5、率矩阵,在马尔可夫链中，已知系统的初始状态和状态转移概率矩阵，就可推断出系统在任意时刻可能所处的状态。现在需要研究当k不断增大时， P(k)的变化趋势。 若存在非零概率向量X=(x1,x2,xN)，使得XP=X，其中P为一概率矩阵，则称X为P的固定概率向量。 特别，设X=(x1,x2,xN)为一状态概率向量，P为状态转移概率矩阵。若XP=X,即 ，则称X为马尔可夫链的一个平稳分布。,若随机过程某时刻的状态概率向量P(k)为平稳分布，则称过程处于平衡状态。 一旦过程处于平衡状态，则过程经过一步或多步状态转移之后，其状态概率分布保持不变，也就是说，过程一旦处于平衡状态后将永远处于平衡状态。 对于我
6、们所讨论的状态有限（即N个状态）的马尔可夫链，平稳分布必定存在。 特别地，当状态转移矩阵为正规概率矩阵时，平稳分布唯一。此时，求解方程XP=X，即可得到系统的平稳分布。,第二节 马尔科夫预测法的应用,第二节 马尔科夫预测法的应用,一、 马尔科夫链预测法的实施步骤,三、 马尔科夫预测法在期望利润预测中的应用,二、 马尔科夫预测法在市场占有率预测中的应用举例,一、马尔科夫链预测法的实施步骤,二、马尔科夫预测法在市场占有率预测中的应用举例,已知市场上有A、B、C三种品牌的MP3播放器，3月份的市场占有率分别为30%、40%、30%，且已知转移概率矩阵为：试求： 4月份与5月份的市场占有率。 预测长期
7、占有率情况。,求解,4月份市场占有率5月份市场占有率计算结果说明，在顾客（或用户）购买偏好改变不大的情况下，5月份A牌MP3播放器市场占有率为22.5%，B品牌MP3播放器市场占有率为34.7%，C品牌MP3播放器市场占有率为42.8%。,预测长期市场占有率 根据定义，本例中的矩阵显然是标准概率矩阵，因此，顾客的流动经过一段时间后会达到平衡状态。 设=(x1 x2 x3)，根据标准概率矩阵的性质，有P=。即又有x1+x2+x3=1，于是得线性方程组 解之得：x1=0.2,x2=0.3,x3=0.5 于是，经过长时期流动后，A牌MP3播放器市场占有率为20%，B牌MP3播放器市场占有率为30%，
8、C牌MP3播放器市场占有率为50%。,三、马尔科夫预测法在期望利润预测中的应用,期望利润预测公式： V(K)=V(1)+ PV(K-1) V(K)为K期后的期望利润矩阵，V(1)为1期后的期望利润矩阵，P为一步状态转移矩阵V(K-1)为K-1期后的期望利润矩阵，此公式为递推公式。,例,已知某企业产品的销路转移情况及利润转移情况如下表所示。 销路转移表 单位：百万元利润转移表 单位：百万元试求： 1）该企业即时期望利润；2）3个月后该企业的期望利润。,求解,由已知得状态转移概率矩阵：状态转移利润矩阵： 即时期望利润V1= 0.45+ 0.61= 2.6，V2= 0.31+ 0.7(-1)= -0
9、.4，即：当本月处于滞销时，下一个月期望亏损40万元。当本月处于畅销时，下一个月可期望获得利润260万元。 当n=3时，有即：当本月处于畅销时，预计3个月后可以获利402万元；当本月处于滞销时，3个月后只可期望获利69万元。,本章小结,马尔科夫预测方法是原应用概率论中马尔科夫链的理论和方法来研究分析有关经济现象变化规律并借此预测未来状况的一种预测方法。所 谓马尔科夫链，就是一种随机时间序列，它在将来取什么值，只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值无关，即无后效性（系统在每一时刻的状态仅仅取决于前一时刻的状态）。 马尔科夫链的理论和方法是从研究对象在不同时刻的状态入手，考察并描述状态之间发生转
10、移的可能性以及研究对象所有的变化过程，在此基础上对研究对象未来的发展状态进行预测。,本章小结,马尔科夫链预测方法的最简单类型是预测下一期最可能出现的状态。可按以下步骤来完成：市场占有率预测法的基本原理： 本期市场占有率仅取决于上期市场占有率及转移概率。第k期的市场占有率等于初始占有率与k步转移概率矩阵的乘积。,本章小结,如果市场的顾客（或用户）流动趋向长期稳定下去，则经过一段时期以后的市场占有率，将会出现稳定均衡的状态。这时的市场占有率，称为终极市场占有率。据此可进行长期市场占有率预测。 所谓期望利润预测，是指对商品在市场上销售状态可能发生转变时带来的收益转变的预测，销售状态的改变可视为马尔科
11、夫链。根据已知的状态转移矩阵和利润矩阵对未来的利润进行预测，即期望利润法。,复习思考题,1、对于竞争激励，经常有企业加入或退出的产品，适合用马尔科夫预测法吗？为什么？ 2、如果不同品牌之间，消费者的流动缺乏规律性，适合用马尔科夫预测法啊吗？为什么？ 3、有三家企业A、B、C由于产品质量、服务质量、价格、促销、分销等原因，客户的变化如下：4月份：A家200户；B家500户；C家300户。5月份：A家保留160户，而从B转入35户，从C转入30户。B家保留450户，而从A转入20户，从C转入30户。C家保留240户，而从A转入20户，从B转入15户。试求其转移概率矩阵。,？,篇尾案例,牙膏市场占有
12、率预测 某地区市场上主要销售A、B、C三种品牌的牙膏，每月这三种牙膏的销售总量通常保持在20000支左右，其中5月份A、B、C三种品牌牙膏的销售量分别为8500支、6500支、5000支。通过5、6月份在该地区几个大商场对购买这三种牙膏的500名消费者的随机调查，结果为：在购买A品牌的200名消费者者中,6月份仍购买该品牌的有140人，转购B品牌的有40人，转购C品牌的有20人；在购买B品牌的150名消费者者中,6月份仍购买该品牌的有100人，转购A品牌的有30人，转购C品牌的有20人；在购买C品牌的150名消费者者中,6月份仍购买该品牌的有120人，转购A品牌的有15人，转购B品牌的有15人
13、。若以后几个月顾客的转移情况不发生变化，且该地区无新的牙膏品牌出现，三种牙膏都不会退出该地区。 思考题 6、7月份三种牙膏在该地区的市场占有率和销售量分别是多少？,实验与实训,阅读以下学术论文 张梅.马尔科夫预测法在通讯市场中的应用.牡丹江教育学院学报.2006年4期 徐学荣 林少伟. 福建粮食单产风险预警的马尔科夫方法.福建农林大学学报：哲学社会科学版.2005年1期 汪淼 罗剑.运用马尔科夫预测法构建股价预测模型.经济师.2005年1期 李海涛.运用马尔科夫预测法预测股票价格.统计与决策.2002年5期 选择自己感兴趣的一个市场对象，采用马尔科夫预测法进行研究，写出一篇1000字左右的小论文。,Thank You !,
