1、1第二章因式分解知识点 1：分解因式的定义1分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。如： 判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式： （ ） （ ）8)3(892 xx )49)(492yxyx （ ） （ ）9)(32 2知识点 2：公因式公因式： 定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。公因式的确定：（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号）（2）系数：取系数的最大公约数；（3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式；例如：1. _的 公
2、因 式 是多 项 式 963ab- yx2.多项式 分解因式时，应提取的公因式是（ ）2232814cabcA B C D243832ab324abc3. 的公因式是_)()()( nmnymx知识点 3：用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。例如：1.可以直接提公因式的类型：（1） =_；3423169baba（2） =_1nn（3） =_ 542)()()(yx（4）不解方程组 ，求代数式 的值5y ()232xyxy2.式子的第一项为负号的类型：（1） =_
3、322864yxyx =_243 )(1)()( nmnm（2）若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解（特别是用到平方差公式时）如： 218yx2练习：1多项式: 的一个因式是 ,那么另一个因式是( )abyxab24186ab6C DyxA43. B3.yx431yx4312.分解因式5(yx) 310y(yx) 33. 公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。 （若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母的位置，如 ）（）（）（）（ 1-xy-x-y-)
4、(-)( 55656 xyx例：( 1) （ b a） 2+a（ a b） +b（ b a）( 2)（ a+b c） （ a b+c） +（ b a+c） （ b a c）（3） ababa()()()322练习：1把多项式 m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于（ ）(A)(a-2)(m2+m) (B)(a-2)(m2-m) (C)m(a-2)(m-1) (D)m(a-2)(m+1)2多项式 的分解因式结果（ ）3(yxyA B C D)3)(3x)1(32xy)1(3xy3分解因式：（1） _)()()(yxynxm（2）6(x y) 43y(yx) 5知识点 4 公式法分解因式 公式法
5、分解因式：如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。一、平方差公式分解因式法 平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这两个数的差的积。即 a2-b2=(a+b)(a-b)特点：a.是一个二项式，每项都可以化成 整式的平方 . b.两项的符号相反.例如：31、判断能否用平方差公式的类型 （1）下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）(A)-a2+b2 (B)-x2-y2 (C)49x2y2-z2 (D)16m4-25n2p2（2） 下列各式中，能用平方差分解因式的是（ ）A B C Dyx21y2、直接用平方差的类型（1） （2） （3） 2
6、96152x4x3、整体的类型：（1） （2）2)(nm 22)3()(yxy4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型(1)m34m= (2) a3练习：将下列各式分解因式（1） 224x (2)100x281y 2； (3)9(ab) 2(xy) 2；（4） （5） （6）5ax93)()(3nm（7） 3)2(4)(yxyx二、完全平方式分解因式法完全平方公式：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方。即 a2+2ab+b2=(a+b)2 ; a2-2ab+b2=(a-b)2特点：（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两
7、式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的 2 倍.1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解如：下列多项式能分解因式的是（ ）A B C Dyx22yxyx2962x42、关于求式子中的未知数的问题如：1若多项式 是完全平方式，则 k 的值为（ ）162kxA4 B4 C 8 D42若 是关于 x 的完全平方式，则 k= x6923.若 是关于 x 的完全平方式则 m=_9)3(m3、直接用完全平方公式分解因式的类型(1) ； (2) ； (3) ； (4)2816x22419xy224xy22493mn4、整体用完全平方式的类型(1)(x2) 212(x2)36； （2）
8、2)()(6ba5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型(1)-4x3+16x2-16x； (2) ax2y2+2axy+2a1（3）已知： ，求 的值2,1yxabxyababx6322练习：分解因式（1） （2） （3） 42x 6412ax 424168ba（4） （5） 49)(1)(2yxyx 2)()(69ba知识点 5、十字相乘法分解因式十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：（x+a） （x+b ） = ，用来把某些多项式分abx)(2解因式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。如:分解因式： (3) a2+6ab+5 b2 1072x352x5(4) x2+5x+6 (5)
9、 x2-5x+6 (6) x2-5x-6 练习：(1) x2+7x+12 (2) x2-8x+12 (3) x2-x-12 (4) x2+4x-12(5) y2+23y+22 (6) x2-8x-20 (7) x2+9x y-36 y2 (4) x2+5x-6 知识点 6、分组的方法分解因式如(1) m20543 (2) 1424xy练习：（1） （2） （3）2249cba12432xx 2296yx（4） （5）492yx 422yxy小结因式分解的常规方法和方法运用的程序，可用“一提二公三叉四分”这句话来概括。“一提”是指首先考虑提取公因式；“二公”即然后考虑运用公式（两项用平方差公式或
10、立方和、立方差公式，三项的用完全和平方、差平方公式） ；“三叉”就是二次三项式能否进行十字相乘法；“四分”是四项以上考虑分组分解法。课后练习：分解因式单元练习一、选择题（每题 4 分，共 40 分）1下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）6（A） ba22 （B） 112m（C） 11xx （D） 2baba2把多项 式8a 2b316a 2b2c224a 3bc3分解因式，应提的公因式是( )，（A）8a 2bc （B） 2a 2b2c3 （C）4 abc （D） 24a 3b3c33下 列因式分解中，正确的是（ ）（A） 6362m （B） aba2（C） 22yxxy （ D） 2
11、yx4下列多项式中， 可以用平方差 公式分解因式的是（ ）（A） 2a （B） 2a （C） 42a （ D） 42a5把6(xy) 33y(yx) 3分解因式，结果是( )（A）3(xy) 3(2y ) （B） (xy) 3(63y)（C）3(xy) 3(y2) （D） 3(xy) 3(y2)6下列各式变形正确的是（ ）（A） ba （B） ba（C） 22 （D） 227下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )（A） 4x21 （B）4x 24x1 （C）x 2xyy 2 Dx 2x 21 世纪教育网128因式分解 4a 24a 正确的是( )（A）(2a) 2 （B）4(1a)a
12、2 （C） (2a)(2a) （D） (2a) 29若 9mx是完全平方式，则 m 的值是（ ）（ A）3 （B ）4 （C）12 （D）1210已知 3ba， 2，则 2ba的值是（ ） 。（A）1 （B）4 （C）16 （D）9二、填空题（每题 4 分，共 20 分）21 世纪教育网1 202ab分解因式时，应提取的公因式是 .2 m； 1x； acb.3多项式 92x与 962的公因式是 .74利用因式分解计算： 2190 .5如果 a2ma121 是一个完全平方式，那么 m_或_。三、解答题:1将下列各式因式分解:（每题 5 分，共 40 分）21 世纪教育网(1) cababc24974； (2)a(xy)(ab)(xy)；(3)100x281y 2； (4)9(ab) 2(xy) 2；(5)(x2) 212(x2)36； (6) yxm2（7） 2231xyx （8） 2241x2.（满分 10分） 已知：a+b=3,x-y=1, 求 a 2+2ab+b 2-x+y 的值.3 （满分 10 分）已知 ab2005，ab ，求 a2bab 2的值。20082005
