1、新古典增长模型（索洛斯旺模型）索洛斯旺模型是哈罗德多马模型的发展，发展点是改变了劳动、资本固定比率的生产函数，改为可以平滑替代的生产函数，又称为新古典增长模型。（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（二）稳定状态（三）动态分析（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定1.分析目的：新古典增长理论分析资本积累、人口增长及技术进步对经济增长的作用，着重分析储蓄对资本存量变化的影响，揭示经济长期增长的产出水平和资本水平实现稳态均衡的条件，以及如何从当时的状态向稳态均衡状态调整。2.模型的假设索洛斯旺模型保留了哈罗德多马模型的假设，不同之处两点，生产函数不同，资
2、本折旧率不再是 0。（1）新古典生产函数假定新古典生产函数的性质： ，有连续的一阶),(LKFY和二阶导数。各要素的边际产出大于 0 且递减，即一阶导数大于0 二阶导数小于 03.1a20, 0FFKK3.1b20, 0FFLL规模报酬不变，即生产函数有一次齐次性， 成立).(),( LKFLKF 0)()1,()1,/(),( kfLkFLLKFLLKFY 3.2显然 为人均资本LKk/令 ，人均产出，则 3.2 式为Yy/ )(kfy稻田条件（Inada Conditions）资本（或劳动）趋向于 0 时，其边际产出趋向于无穷大。资本（或劳动）趋向于时，其边际产出趋向于零。， 3.3a0k
3、 KF， 3.3b0LF上两式可写成 LLkk FFlimlim00，kK，L 0F上两式可写成 0limlimLLkk F固定折旧比例假定假设资本以一个固定比例折旧， ，为常数，如总0资本为 ，则折旧为 。KK当 时投资为 ，则 不能全部形成新资本，一部t )(tI )(tI分必须补偿折旧，所以资本存量的增量 为：K3.4LsFKsYKIK ),(内生变量为 。)()()()()()( tItCtStLtKtY 、外生变量为 。ns、 （二）稳定状态（二）稳定状态1.基本微分方程2.相位图3.稳定状态4.资本积累的黄金法则1.基本微分方程增长率，其是各变量对时间的变化率。即利用模型描述主要经
4、济行为或经济关系时，通常采用微分方程或微分方程组。增长模型的微分方程一般是从模型的生产函数、家庭、厂商在储蓄、消费、投资等方面的行为方程导出的，分析加上初始条件、资源或信贷约束，决定了经济中各变量随时间变化的路径和增长的性质，因此被称为模型的基本微分方程。是经济增长模型的核心部分。对 3.4 式 ，两边除以KLKsFK),( L kksfkKFsLLsFLK )()1,/(/),(/3.53.5 式中除了人均资本变量外还存在 即资本总量对K时间的导数,调整 试图得到一个统一的变量 ，对 展开。K kk（nkLKLLKLKdtLKk /)/( 2 ）Ln/因此 ，代入 3.5 式nkkLK/ k
5、ksfnkk )(3.6nsf )()(3.6 式为基本微分方程。式中， 为外生变量，因此 只取决于 ，、 ns k k其意义为人均资本增量只取决于人均资本存量。式中为人均资本的有效折旧率。n2.相位图相位图（phase diagram）反映人均资本和人均产出等之间的关系的坐标图。对基本微分方程进行图解分析。是否存在稳定状态的静态分析。是否具有向稳定状态的收敛性，向稳定状态收敛速度以及向稳定增长路径等的转型动态（transitional dynamics）分析。3.6 式： 描述的经济系统。knksfk )()(ABCEkn)()(f)(ksfkLY/)0(k*k图 3.1 索洛斯旺模型相位图
6、3.稳定状态稳定状态即经济中各变量即保持匀速增长（包括增长为 0）的均衡。设初始状态资本存量为 。)0(k则 曲线上的 A 点到横轴的垂直距离 为此时)(kf )0(kA的人均产出。曲线上的 B 点到横轴的垂直距离 为此时的)(ksf )0(kB人均储蓄。AB 为人均消费线上的 C 点到横轴的垂直距离 为有kn)( )0(kC效折旧。，BC 为新增资本(0)Bk)0(kC3.6 式 ，人均资本上升会引起其他knksfk )()(人均变量复杂变化如果资本存量处于 位置*k在 处 ，*k knksf )()(即 3.7* )()(nsf 此时 ，0k *k根据稳定状态的定义当 时，索洛斯旺模型所描
7、述的经济处于稳定状0k态，且唯一的稳定状态。证明：3.6knksfk )()(两边同除 k/()/()ksfkn根据稳定状态定义， 必须等于常数k/因为 为常数，所以 也必须是常数, 、 ns kf/)(对时间的导数为kf/)( kfkkfkkfkfdtkf /)(/)()()(/)( 2 kkfkfkfkfk /)()(/)()(该式中的 为劳动的边际产出，根据假)()( kfkkf 设它必须为正，所以 0ka.当 处于 时， ，人均资本不变k*k0kb.人均产出 常 数)(*kfyc.人均消费 常 数)()1(* kfscd.人均储蓄 常 数)(*kfsS人均数量固定，相对应的总量呢？因为
8、 0)(/)(/ * nkksfk所以 ， ，nkksf */)(* )()( ksnkf 为外生变量常数。sn、 * )()1()()1( ksnskfsc * )()()( knksnskfsS ，得 ， 同2() 0KdLKKLk nt L nK/ CL、样都以人口增长速率 增长。人均产出不变，总收入相同于n人口的增长率而增长。以生产函数的位置和形式变化反映的技术水平变化，储蓄率 的变化，人口增长率 的变化以及折旧率 变化s n 对稳定状态各变量人均值的水平都有影响。例如生产函数上移， 增大都会使 曲线上移，s )(ksf从而导致 右移。*k4.资本积累的黄金法则对于给定的生产函数 和
9、值，存在唯一的对应的n每个储蓄率 ，存在 ，且 。稳定s )(*skk 0/)(*dskd状态的人均消费为 ，根据 3.6 式 )()1( * skfscknksfk )()(3.8)()()( * sknskfc 得到图*cgcgs s图 3.2 资本积累的黄金法则当 水平比较低时， s s*c当 水平比较高时， s s*c当对 的导数为 0 时，即 ，s * *()()/0fkndks最大。*c由于 ,因此 最大时,如果 使*/0dkds*c gs最大，且记此时 ,则*c ggksk)(*()gf n3.9 式被称为“资本积累的黄金律” 。人均资本的边际产出与有效折旧率相等，因此人均产出、
10、人均资本、人均消费都能保持不变的水平。即我们给将来各代提供的消费不低于给我们自己提供的，则人均消费的最大数量为 。gc（三）动态分析（三）动态分析1.动态过程2.经济的收敛性3.收敛速度1.动态过程该模型在描述经济动态变动过程方面是有意义的。它可以反映人均收入如何向稳定状态水平或其他经济的人均收入水平收敛。考察 /()/()kksfkn 3.10人均资本的增长率 等于人均资本的储蓄 与有效折旧 之k kksf/)( n差。用图表示1k*k220k10knksf/)(图 3.5 索洛斯旺模型动态图（1）稳定状态的确定。索洛斯旺模型具有新古典函数的资本报酬递减的特征，人均资本储蓄 是 的递减函数，
11、向右下方倾()/fkk斜。又因 是常数， 也是 的递减函数,如图所示。s ksf/)( k当 时，0k ksf/)(时，0/)(ksf第二项 有效折旧率，为常数是一条水平线。n 人均资本增长率，为图中曲线 与水平k ksf/)(直线 之间的距离。n曲线 与水平直线 有唯一的交点 ，ksf/)( n *k是稳定状态的人均资本。*k（2)稳定状态的动态分析1k*k220k10knksf/)(图 3.4 索洛斯旺模型动态图当 时, 位于 之上*kkksf/)( n()/()0ksfn 随时间上升（因为大于人口增加和折旧，所以人均k资本必然上升） ，但 逐步下降，且当 *时，k kk0k经济渐近趋向于
12、稳定状态。当 时, 位于 下方*kkksf/)( n()/()0ksfn 随时间下降（因为不能弥补因人口增加和折旧所造成的原有的人均资本量水平，所以人均资本必然下降）逐步上升,且当 时，k *kk0k经济趋向稳定状态。2. 经济的收敛性前面谈到索洛斯旺模型描述的经济具有收敛性，定量描述为（1）定量描述 kkkfkfskk /)()( )(/)( nkksfk kkffskksffsknsfkk /)()()()()(/)( 2 由于式子中 ，而00ks， 0/)()( kfkf因为资本报酬递减，资本的边际产出始终小于资本的平均产出，所以 ，即 是 的减函数。0kkk具有不同资本存量水平的经济之
13、间有趋同的趋势。（2）条件收敛的分析（政策试验，变化 s）kP kR n()/RsfkfP/)(Pk)0(* Rk)0(* k图 4.6 条件收敛穷国 初始条件 pk)0(富国 初始条件 Rk)(Rpkk)0()0(生产函数相同平均储蓄曲线穷国 kfsP/)(富国 fsR/)(相同的 n两国的稳定状态点为 和*pk*Rk增长率穷国 )(/)( nkfspkP富国 )(/)( kfsRkR增长速度取决于 到 的距离，距离越大，增长)0(k*k率越大，因此本例中富国的增长率大于穷国的增长率。结论，各个经济都收敛于自己的稳定状态，且收敛速度与该经济的人均资本和人均资本的稳态点之间的距离正相关。3.收敛速度收敛速度详细的讨论以柯布一道格拉斯生产函数为例 1LAKY写成人均形式3.11Aky
