材料力学知识结构图.pdf

1、绪 论 . 知 识 结 构 框 图 表 面 力体 积 力 分 布 力集 中 力静 载 荷动 载 荷 交 变 载 荷冲 击 载 荷构 件 衡 量 构 件 承 载 能 力 的 3个 方 面 材 料 力 学 的 任 务 解 决 问 题 的 思 路变 形 固 体 变 形 固 体 的 3个 基 本 假 设 一 般 条 件 下 的 两 个 限 制外 力 外 力 的 分 类 按 作 用 方 式 分内 力 按 随 时 间 变 化 情 况 分 表 面 力研 究 内 力 的 方 法 截 面 法 （ 截 ,取 ,代 ,平 ） 向 截 面 内 一 点 简 化 主 矢 和 主 矩应 力 与 截 面 垂 直 的 分 量

2、正 应 力 与 截 面 相 切 的 分 量 切 应 力 应 力 的 国 际 制 单 位应 变 线 应 变 角 应 变 （ 切 应 变 ） 变 形 位 移 线 位 移 （ 点 移 动 的 直 线 距 离 ）角 位 移 （ 一 线 段 （ 面 ） 转 过 的 角 度 ）杆 件 变 形 的 4种 基 本 形 式 受 力 特 点 变 形 特 点表 面 力体 积 力 分 布 力集 中 力静 载 荷动 载 荷 交 变 载 荷冲 击 载 荷拉 压 杆 . 知 识 结 构 框 图2.4.2 1,2.7 如 图 2.16所 示 ， 油 缸 盖 与 缸 体 采 用 6个 螺 栓 连 接 。 已 知 油 缸 内 径

3、 D=350mm，油 压 1p MPa。 若 螺 栓 材 料 的 许 用 应 力 =40MPa， 求 螺 栓 的 内 径 。 DpF 图 2.16轴 向 拉 （ 压 ） 的 定 义 及 特 征 轴 力 轴 力 图横 截 面 上 应 力 的 计 算 )( NAF 平 面 假 设 斜 截 面 上 应 力 的 计 算 式 2sin2 cos 2脆 性 材 料 ， 塑 性 材 料 的 失 效 准 则 脆 性 断 裂 、 塑 性 流 动强 度 极 限 b ， 屈 服 极 限 s 的 确 定材 料 拉 （ 压 ） 时 的 力 学 性 质 （ 常 温 、 静 载 ） 典 型 塑 性 材 料 低 碳 钢 拉

4、伸 时4个 阶 段 ， 4个 极 限 应 力2个 塑 性 指 标 1个 弹 性 模 量构 件 失 效 时 的 极 限 应 力 塑 性 流 动 s （ 2.0 ）脆 性 断 裂 b 许 用 应 力 强 度 条 件 三 类 计 算 问 题 ： 强 度 校 核 ， 截 面 设 计 maxAi,载 荷 估 计 minFi变 形 纵 向 变 形 ,NEAlFl 位 移 的 “ 以 切 代 弧 ” 方 法 模 向 变 形 、 泊 松 比应 变 能 应 变 能 的 计 算EAlFV 2 2N 功 能 原 理WV 功 能 原 理 求 位 移 的 载 荷 唯 一 性 限 制超 静 定 问 题 力 法 解 超 静

5、 定 问 题 的 基 本 步 骤温 度 应 力 及 装 配 应 力应 力 集 中 是 否 超 静 定 及 超 静 定 次 数 的 判 定2.4.10 1,2.21BC， BD两 杆 原 在 水 平 位 置 。 在 F力 作 用 下 ， 两 杆 变 形 ， B点 的 位 移 。若 两 杆 的 抗 拉 刚 度 同 为 EA， 试 求 与 F的 关 系 。解 杆 件 变 形 后 受 力 简 图 如 图 2.24(b)所 示 。 二 杆 均系 二 力 杆 ， 轴 力 分 别 为 1NF 、 2NF 。 如 果 按 小 变 形 原 理 ，以 杆 未 受 力 时 位 置 来 考 虑 力 的 平 衡 方 程

6、 ， 垂 直 方 向 力 是无 法 平 衡 的 。 对 于 大 变 形 情 形 ， 只 能 按 变 形 后 位 置 来 考虑 力 的 平 衡 。由 平 衡 方 程 得2 11 2x N Ny N N0, cos cos 00, ( )sin 0F F FF F F F 解 得 sin2, 121 NNN FFFF 由 变 形 后 几 何 关 系 得 lllll 2)( 222 （ 1）lll EAFlEAlFl N sin sin212.3.5 图 2.7所 示 桁 架 ， 已 知 3根 杆 的 抗 拉 压 刚 度 相 同 ， 求 各 杆 的 内 力 ， 并 求 A点 的水 平 位 移 和 垂

7、 直 位 移 。 (a) (b) (c)A F3021 603 l l2 A60AFl3 l360 FA 30l1 l2l130 AFN1FN2 FN3 FN1FN2 FN32.4.25 1,2.51图 2.38(a)所 示 标 系 中 ， AB 杆 比 名 义 长 度 略 短 ， 误 差 为 。 若 各 杆材 料 相 同 ， 横 截 面 面 积 相 等 ， 试 求 装 配 后 各 杆 的 轴 力 。lC D(a)(b) BB P F lFN2FN1 图 2.241 l (a) 304 B3 30 5 4(b) BB lAC Al30 l2 30 D A ll4FN1 FN2FN5FN4剪 切

8、 . 知 识 结 构 框 图剪 切 单 剪 切 双 剪 切剪 切 的 实 用 计 算 剪 切 面 积 A的 判 定挤 压 的 实 用 计 算 挤 压 面 bsA 的 确 定 ， 挤 压 与 压 缩 的 区 别接 头 （ 连 接 件 与 被 连 接 件 ） 的 强 度 计 算 剪 切 ， 挤 压 ， 拉 伸 （ 压 缩 ）4. 知 识 结 构 框 图扭 转 的 受 力 特 点 和 变 形 特 点已 知 力 和 力 臂 或 功 率 和 转 速 求 外 力 偶 矩扭 矩 的 正 负 号 规 定 和 扭 矩 判 断 危 险 截 面纯 剪 切 和 切 应 力 互 等 定 理 剪 切 胡 克 定 律 G

9、三 个 材 料 常 数 间 的 关 系 )1(2/ EG圆 轴 扭 转 时 的 强 度 条 件 p WT圆 轴 扭 转 时 的 刚 度 条 件 180 P GIT )1(162/32 )1( 4344Pt DDDRIW空 心 轴 Dd/ ， 实 心 轴 0刚 度 条 件 和 刚 度 条 件 的 应 用 强 度 和 刚 度 校 核截 面 设 计载 荷 估 计 注 意 两 种 条 件 并 用圆 柱 形 密 圈 螺 旋 弹 簧 的 应 力 与 变 形薄 壁 圆 筒 扭 转 时 横 截 面 上 的 应 力 22 rMe矩 形 截 面 杆 自 由 扭 转 切 应 力 与 边 界 相 切 的 顺 流 ；

10、最 大 切 应 力 在 长 边 中 点 ； 四 角 点 切 应 力 为 零剪 切 应 变 能 和 应 变 能 密 度 Gv 221 2 纯 剪 切 斜 截 面 上 的 应 力 解 释 不 同 的 破 坏 现 象扭 转 超 静 定 问 题 基 本 思 路 ： 静 力 平 衡 、 变 形 协 调 、 物 理 条 件（ 3） 塑 性 扭 矩 ： 对 于 理 想 弹 塑 性 实 心 圆 轴 ， 当 轴 横 截 面 上 的 最 大 切 应 力 不 超 过 屈 服 切 应力 （ s max ） 时 ， 轴 横 截 面 上 的 应 力 分 布 是 完 全 线 性 的 （ 如 图 3.4（ a） ） ， 对

11、应 的 扭 矩 可以 通 过 下 式 计 算 ： 163t dWT ， sss dWTT 163tmax 当 扭 矩 继 续 增 加 ， 圆 轴 进 入 部 分 屈 服 阶 段 ， 在 截 面 上 将 形 成 一 个 围 绕 着 半 径 为 s 的弹 性 核 的 塑 性 区 （ 如 图 3.4（ b） ） ， 这 时 的 扭 矩 等 于)2/(41134 33dTT ss 随 着 扭 矩 的 进 一 步 增 加 ， 塑 性 区 随 着 增 大 ， 当 0s 时 ， 圆 轴 全 部 进 入 屈 服 （ 如 图3.4（ c） ） ， 扭 矩 达 到 了 一 个 极 值 pT ， 称 之 为 塑 性

12、 扭 矩 ， 即sp TT 34 (a) (b) max so o oss sd/2 d/2 d/2(c)3.3.5 已 知 空 心 圆 轴 的 外 径 D=76mm， 壁 厚 =2.5mm,承 受 外 力 偶 矩 Me=2kNm作 用 ，材 料 的 许 用 切 应 力 MPa100 ， 切 变 模 量 G=80GPa， 许 可 单 位 扭 转 角 /m2 。 试校 核 此 轴 的 强 度 和 刚 度 。 如 改 用 实 心 圆 轴 ， 且 使 强 度 和 刚 度 保 持 不 变 ， 试 设 计 轴 的 直 径 。解 ： 校 核 强 度 和 刚 度 ， 一 般 应 用 危 险 截 面 内 力

13、校 核 ， 本 例 为 受 外 力 偶 矩 作 用 ， 因 此 不 用判 断 。 而 题 中 保 持 强 度 不 变 ， 即 两 轴 中 最 大 切 应 力 相 等 ， 刚 度 保 持 不 变 ， 即 两 轴 中 单 位 扭 转角 保 持 不 变 。（ 1） 校 核 强 度 和 刚 度 由 题 意 知 ， 圆 轴 承 受 扭 矩mkN2e MT1） 计 算 极 惯 性 矩 PI 和 扭 转 截 面 系 数 tW2 76 2 2.5 0.93576d DD D 4 44 4 3 4P 76(1 ) (1 0.935 ) 771 10 mm32 32DI 333Pt mm103.202/76 10

14、7712/ DIW2） 强 度 校 核 MPa5.98Pa105.98103.20 102 663tmax WT满 足 强 度 要 求 。3） 刚 度 校 核 39 9P 180 2 10 180 1.86 / 80 10 771 10 T mGI 满 足 刚 度 要 求 。（ 2） 设 计 实 心 圆 轴 的 直 径 D11） 保 持 强 度 不 变 。 强 度 不 变 即 保 持 实 心 轴 的 最 大 切 应 力 1max, 等 于 空 心 轴 的 最 大 切 应力 5.98max MPa， 即 max1t1max, WT ， 式 中 3111t 16DW ， 代 入 即 得3 3331

15、1 6max16 16 2 10 46.9 10 m 46.9mm 98.5 10TD 2) 保 持 刚 度 不 变 。 刚 度 不 变 即 保 持 两 轴 的 单 位 扭 转 角 相 等 ， 即4P1 12P1 180 , 32T I DGI 式 中代 入 即 得 3 34412 2 9 232 180 32 2 10 180 52.9 10 m 52.9mm 80 10 1.86TD G 即 在 保 持 强 度 不 变 和 刚 度 不 变 的 条 件 下 ， 实 心 轴 的 直 径1 1max 52.9mmiD D 。讨 论 ： 在 保 持 强 度 和 刚 度 不 变 的 条 件 下 ，

16、比 较 空 心 轴 和 实 心 轴 的 重 量 。由 工 程 实 际 确 定 了 轴 长 l一 定 ， 如 选 用 同 一 材 料 ， 其 重 度 一 定 ， 两 轴 横 截 面 面 积 分 别为 A和 A1， 则 两 种 轴 的 重 量 分 别 为 1 1W Al W Al 则 两 轴 的 重 量 比 为 1 1W AW A 式 中 2 2 2 2 2( ) (76 71 ) 578mm4 4A D d 1） 保 持 强 度 不 变 时 实 心 轴 的 横 截 面 面 积 A112 2 211 11 46.9 1730mm4 4A D 故 1 11 11 578 0.3341730W AW

17、A 即 空 心 轴 的 重 量 仅 为 实 心 轴 重 量 的 33.4%。2） 保 持 刚 度 不 变 时 ， 实 心 轴 的 横 截 面 面 积 A122 2 212 12 52.9 2198mm4 4A D 故 2 12 12 578 0.2632198W AW A 即 空 心 轴 的 重 量 仅 为 实 心 轴 的 26.3%,明 显 减 轻 了 重 量 。3.3.8 如 图 3-11所 示 一 空 心 圆 管 A套 在 实 心 圆 杆 B的 一 端 ， 两 杆 的 同 一 截 面 处 各 有 一直 径 相 同 的 贯 穿 孔 ， 两 孔 中 心 的 夹 角 为 ， 首 先 在 杆 B

18、上 施 加 外 力 偶 矩 ， 使 其 扭 转 到 两 孔对 准 的 位 置 ， 并 在 孔 中 装 销 钉 ， 试 求 在 外 力 偶 解 除 后 两 杆 所 受 的 扭 矩 。图 3-113.4.13 1,3.25如 图 3.23所 示 ， AB和 CD两 杆 的 尺 寸 相 同 。 AB为 钢 杆 ， CD为 铝 杆 ，两 种 材 料 的 切 变 模 量 之 比 为 3 1。 若 不 计 BE和 ED两 杆 的 变 形 ， 试 问 F力 的 影 响 将 以 怎 样的 比 例 分 配 于 AB和 CD两 杆 ？l lAA BB TA TBlAA a(a)(b) BC B EF aEF D1

19、图 3.23解 ： AB杆 受 力 简 图 如 图 3.32（ b） 所 示 ， 设 AB杆 所 受 扭 矩 为 T1 ， 则 E点 向 下 位 移 为21 11 P 1 PAB Tl Fa la aGI GI 弯 曲 内 力 知 识 结 构 框 图梁 以 弯 曲 变 形 为 主 的 杆 件对 称 弯 曲 纵 向 对 称 面静 定 梁 的 基 本 形 式 外 力 作 用 在 此纵 向 对 称 面 内 变 形 后 的 轴 线 仍在 纵 向 对 称 面 内简 支 梁 外 伸 梁 悬 臂 梁一 端 固 定 铰 支 一端 活 动 铰 支 简 支 梁 一 （ 二 ）端 伸 出 支 座 以 外 一 端 固

20、 定 ，一 端 自 由梁 的 内 力 内 力 正 负 号 内 力 方 程 内 力 图 （ sF ， M）变 形 为 主 线 ：sF ； 顺 正 逆 负M； 凹 正 凸 负 如 梁 上 有 n+1 个控 制 面 ， 则 应 写出 n组 内 力 方 程 注 明 各 控 制面 的 值 、 单位 及 正 负 号q(x), sF (x)， M（ x）间 的 微 分 关 系 在 x向 右 ， y向 上 的 右 手坐 标 系 中 )(d )(d )(d )(d )(d )(d 22 ss xqx xM xFxxM xqxxF 利 用 微 分 关 系或 积 分 关 系 指导 内 力 图 的 绘制 或 检 查刚

21、 架 与 曲 杆 轴 力 NF ： 拉 正 压 负扭 矩 T： 右 手 螺 旋 法 则 ， 力 矢 同 外 法 线 一 致 为 正剪 力 sF ： 顺 时 向 转 动 趋 势 为 正弯 矩 M： 画 在 受 压 一 侧 ， 水 平 梁 在 上 为 正 ， 刚 架在 外 侧 为 正 ， 曲 杆 在 内 侧 为 正 （ 使 曲 率 增 大 ） 平 面 刚 架 中 如某 角 点 无 集 中力 偶 ， 则 角 两边 弯 矩 数 值 相等 且 在 同 一 侧（ 等 值 同 侧 ）弯 曲 强 度 重 点 知 识 结 构 框 图5.3.1 已 知 一 外 伸 梁 截 面 形 状 和 受 力 情 况 如 图

22、5.3(a)所 示 。 试 作 梁 的 MF,s 图 ， 并 求梁 内 最 大 弯 曲 正 应 力 。 其 中 m1,kN/m60 aq 。BaA 2 F = qa23By C2 D(+)E2 2E (-) qa43q F = qa43DyD r80 200 200z89x = a 2a(c)(b)(a) 23 B(-)S A qa 23 22 13830 (+) Ca r80合 理 安 排 梁 的 受 力 ， 使 maxM 合 理 安 排 支 承 ， 使 maxM 选 择 合 理 截 面 ， 使 AWz / 等 强 度 梁纯 弯 曲 横 截 面 上 仅 有 M ， 而 无 sF横 力 弯 曲

23、 横 截 面 上 既 有 M ， 又 有 sF中 性 层 与 中 性 轴 弯 曲 时 既 不 伸 长 也 不 缩短 的 层 面 为 中 性 层 中 性 层 与 横 截 面的 交 线 为 中 性 轴弯 曲 正 应 力 zIMy 应 用 条 件 ： 纯 弯 曲 ； 线 弹 性 范 围 ；等 截 面 直 杆 。 可 有 限 推 广 。弯 曲 切 应 力 z*zsbISF 矩 形 截 面 AF23 smax 工 字 形 截 面 腹 板 wsAF圆 形 截 面 AF34 smax 环 形 截 面 AFsmax 2强 度 条 件 正 应 力 强 度 条 件 切 应 力 强 度 条 件maxmax WM z

24、 *maxzmaxsmax bISF塑 性 材 料 ： 1个 危险 面 ， 1个 危 险 点 脆 性 材 料 ： 2个 危险 面 ， 2个 危 险 点提 高 弯 曲 强 度5.3.2 一 T 形 横 截 面 简 支 梁 ， 受 力 及 截 面 尺 寸 如 图 5.4(a)所 示 ， 已 知 ：180MPaMPa,100 ct ， 截 面 图 中 z为 形 心 轴 ， 尺 寸 单 位 为 mm， 试 画 出 MF,s 图并 校 核 梁 的 强 度 。 N m2m3kN4k(c)(b) 2kN m(-) (+)M =4kNmAyF =3kN(a) A0 3.13k1.25mC (+) N m(-)

25、 5kNq=4kN/m2mC D B 60202060 30C zF =5kNBys5.3.8 如 图 5.10(a)所 示 ， 在 No.22a 的 工 字 截 面 简 支 主 梁 AB上 ， 有 一 矩 形 截 面 的 简支 副 梁 ， 副 梁 可 沿 主 梁 轴 线 方 向 移 动 。 已 知 主 梁 跨 长 m4L ， 副 梁 跨 长 m1l ， 副 梁 的 矩形 截 面 宽 度 cm4b ， 高 度 12h cm。 两 梁 的 许 用 应 力 均 为 =160MPa， 100 MPa。试 问 当 副 梁 跨 中 加 集 中 力 F达 到 允 许 载 荷 时 ， 主 梁 是 否 安 全

26、 ？Cx 4mL=4m副 梁 F7F(+)S 8 8A0.5m l=1mA F 22 (-)(d) D(c)CM M(b)1m D B 200F(a)F bh z B主 梁 7.5zFRBRAF(k) 5100 100100l=4m12MPa1006MPa100 6.1MPa6.1MPa(j)(i)10015050 (c) (d) 40.8MPa40.8MPa(e) 15050(f) y200 1001006MPa A 18 (b) 12MPa12MPa(a)Cq=20kN/mql2 22.8MPa100 5.35MPa(l)0.868MPa3.61MPa(h)cy czz(g) wst 16

27、.9MPa1.14MPa1.14MPaM 图B 22.8MPa（ 1） 画 弯 矩 图 弯 矩 图 如 图 5.12(b)所 示 ， 中 面 C弯 矩 最 大 。 且 mN400041028181 232c qlM（ 2） C截 面 上 内 力 分 析 设 上 面 木 梁 承 受 弯 矩 1M ， 下 面 钢 梁 承 受 弯 矩 2M ， 则212st 22111 21 ,1,1 IEMIEM MMM w所 以 2st 21w1 IEMIWM 联 立 求 解 得 MIEIE IEMMIEIE IEM ww w 2st1 2st22st1 11 , （ 3） 绘 制 C截 面 上 正 应 力 分

28、 布 图 。 图 5.12(c)是 一 个 整 体 梁 。MPa0.6Pa100.61067.6 4000 m1067.6mm1067.62001006161 641zcmax 343522z1 WMbhW正 应 力 分 布 图 如 图 5.12（ d） 所 示 。图 5.12(e)是 二 个 相 同 的 木 梁 叠 合 而 成 。 21 IEIE ww 于 是 c21 21MMM MPa0.12Pa100.1210667.12 40002 m10667.1mm10667.11001006161 64z2c2z1max 34352212z WMWMbhW正 应 力 分 布 图 如 图 5.12

29、(f)所 示 。图 5.12(g)是 二 种 不 同 材 料 的 梁 叠 合 ， 但 二 个 梁 的 横 截 面 尺 寸 相 同 ， 即 21 II 。 于 是mN38102120 mN5.190211ccstst2 ccst1 MMEE EM MMEE EM ww w木 梁 的 最 大 正 应 力 MPa143.1Pa10143.110100100 5.19066 69221131max, bhMWMzw钢 梁 内 的 最 大 正 应 力 MPa9.22Pa109.2210100100 381066 69222232max,st bhMWMz正 应 力 分 布 图 如 图 5.12(h)所

30、示 。图 5.12(i)是 二 种 不 同 材 料 的 梁 叠 合 。 mN170040001008.21081.2 1008.2 mN230040001008.21081.2 1081.2 mN1008.2105010012110200 mN1081.210150100121101055 5c2st1 22 55 5c2st1 11 2512392st 2512391w MIEIE IEM MIEIE IEMIE IE w stw w木 梁 的 最 大 正 应 力 MPa13.6Pa1013.610150100 230066 69223111max, bhMWMw钢 梁 的 最 大 正 应

31、力 MPa8.40Pa108.401050100 170066 69224222max,st bhMWM正 应 力 分 布 图 如 图 5.12(j)所 示 。（ 4） 计 算 木 材 和 钢 材 中 的 最 大 正 应 力 。 两 种 材 料 固 接 在 一 起 ， 形 成 一 个 整 体 梁 ， 图 5.12(e)如 不 考 虑 胶 合 面 上 的 剪 切 强 度 时 ， 正 应 力 的 分 布 和 最 大 正 应 力 完 全 同 于 图 5.12（ c） 截 面 ，而 图 5.12（ g） 和 （ i） 是 两 部 分 材 料 不 同 的 组 合 梁 ， 以 图 5.14(i)为 例 ，

32、 用 等 效 截 面 法 来 求 木材 和 钢 材 的 最 大 正 应 力 。5.3.9 抗 拉 与 抗 压 弹 性 模 量 不 等 的 材 料 ， 制 成 图 5.13(a)所 示 的 等 截 面 梁 ， 设 其 拉 伸 弹性 模 量 为 tE ， 压 缩 弹 性 模 量 为 cE 。 试 求 纯 弯 曲 时 ， 横 截 面 上 正 应 力 公 式 （ 平 面 假 设 仍 然 适用 ） 。 若 ct EE ， 试 问 中 性 轴 向 哪 一 侧 移 动 ？M Mbb(a)M h yh O 对 称 轴xz yy (b)Oy ct xz解 教 材 中 讨 论 了 拉 压 弹 性 模 量 相 等

33、时 弯 曲 应 力 的 计 算 公 式 ， 当 t cE E 时 ， 若 平 面 假设 仍 然 成 立 ， 故 仍 需 从 变 形 几 何 关 系 、 物 理 关 系 、 静 力 平 衡 ， 解 超 静 定 问 题 。 而 中 性 轴 的 确定 ， 根 据 平 衡 条 件 ， 纯 弯 曲 时 拉 应 力 区 和 压 应 力 区 的 合 力 应 相 等 ， 平 面 假 设 成 立 ， ct EE 应 力 分 布 两 区 线 性 但 斜 率 不 等 ， 与 t cE E 比 ， tE 大 的 区 域 将 缩 小 。（ 1） 正 应 力 公 式 推 导 设 ct,yy 分 别 为 受 拉 、 受 压

34、 部 分 的 高 。 ct,AA 分 别 为 受 拉 、 受压 部 分 的 截 面 积 （ 图 5.11(b)） 。 依 题 意 知 平 面 假 设 仍 然 成 立 ， 故 变 形 几 何 条 件 为 y物 理 关 系 根 据 胡 克 定 律 0, 0,cccc tt1t yyyEE yyyEE 平 衡 条 件 根 据 横 截 面 上 内 力 平 衡 ， 分 别 对 拉 、 压 区 进 行 积 分 ， 其 合 力 必 等 于 MM z 。即 MAyEAyEAyAy dddd 2cA c2tA tcA ctA t 根 据 惯 性 矩 的 定 义 ， 令 cA 2ctA 2t d,d AyIAyI

35、 。 整 理 得MIEIE )(1 cctt该 梁 的 曲 率 为 cc1 IEIE Mtt 。 代 入 胡 克 定 律 ， 梁 受 拉 、 受 压 的 正 应 力 分 别 为cctt cccctt tt , IEIE MyEIEIE MyE （ 2） 中 性 轴 位 置 的 确 定 纯 弯 曲 梁 ， 其 横 截 面 上 内 力 的 合 力 仅 有 MM z ， 其 x向 合 力必 为 零 。 故 0dddd c ct tcA ctA t AyEAyEAA AA 将 有 关 常 数 提 到 积 分 号 外 ， 即 0 cycty0t 0dd yybEyybE 积 分 得 022 2cc2tt

36、 ybEybE 。 即 02cc2tt yEyE 。 在 ct EE 的 情 况 下 ， 要 使 上 式 成 立 ，则 ct yy ， 即 中 性 轴 的 位 置 向 受 拉 一 侧 移 动 。弯 曲 变 形 知 识 结 构 框 图 挠 度 w向 上 为 正 ， 转 角 逆 时 针 转 动 为 正在 右 手 坐 标 系 中 且 在 小变 形 、 线 弹 性 范 围弯 曲 变 形 和 位 移 变 形 的 表 示 变 形 时 的 挠 度 和 转 角挠 曲 线 方 程 为 ( )w f x挠 曲 线 的 近 似 微 分 方 程 2 2d ( )d w M xx EI积 分 法 求 转 角 方 程和

37、挠 度 方 程 用 位 移 条 件 及 光 滑连 续 条 件 确 定 C， D叠 加 法 求 转角 和 挠 度 在 小 变 形 线 弹 性范 围 内 变 形 与 载荷 为 线 性 齐 次 关系 可 用 叠 加 原 理求 变 形 载 荷 叠 加 分 段 刚 化叠 加 11n iin iiw w 刚 度 条 件 maxmax w w 简 单 超 静 定 梁 静 定 基 的 选 择 相 当 系 统 变 形 比 较 法选 择 的 多 样性 （ 静 定 梁 ） 静 定 基 上 作 用 外力 与 多 余 约 束 力 多 余 约 束 处 的 变形 应 与 原 超 静 定梁 协 调 一 致提 高 弯 曲刚 度

38、 措 施 调 整 截 荷 或 支座 使 M 选 择 合 理 截 面 使同 面 积 下 I 预 弯 及 选 用 合适 材 料d ( )( ) dd ( )( ) ( d )w M xx x Cx EIM xwx x Cx DEI 试 绘 出 图 6.3(a),(b),(c),(d)所 示 各 等 直 梁 挠 曲 线 的 大 致 形 状 。ayA qa2 qa B2qa xC直 线 段 2qa2(a) y xBCA FFl2l Fl2 Fl2(b)(c) C xe BaMA a a曲 率 突 变 处2M3e eM3 曲 率 最 大aay A a D xC (d) FFa FaB 反 弯 点y6.3

39、.3 已 知 一 直 梁 的 挠 曲 线 方 程 3 2 30( ) ( 3 2 )48q xw x l lx xEI （ 右 手 坐 标 系 中 ） 。 求 ：（ 1） 端 点 （ 0,x x l ） 的 约 束 情 况 ； （ 2） 最 大 弯 矩 及 最 大 剪 力 ； （ 3） 画 出 梁 的 约 束 及 受力 简 图 。解 由 前 所 述 ， 弯 矩 方 程 应 是 外 载 与 坐 标 x的 乘 积 ， 对 集 中 力 偶 时 是 x的 0次 函 数 ， 集中 力 时 是 x的 一 次 函 数 ， 均 布 载 荷 时 是 x的 二 次 函 数 ， 线 性 载 荷 时 是 x的 三 次

40、 函 数 。 因 此 当用 两 次 积 分 法 求 得 转 角 和 挠 曲 线 方 程 时 ， 转 角 方 程 和 挠 曲 线 方 程 对 集 中 力 偶 、 集 力 载 荷 、 均布 载 荷 和 线 性 分 布 载 荷 而 言 ， 分 别 依 次 为 x的 1， 2， 3， 4次 和 2， 3， 4， 5次 函 数 ， 从 题 中挠 曲 线 方 程 为 x的 1,3,4次 函 数 ， 故 该 梁 上 作 用 有 集 中 力 和 均 布 载 荷 。由 梁 的 挠 曲 线 方 程 求 得 各 阶 导 数 分 别 为3 2 30 20(3) 0(4) 0( ) ( 9 8 )48( ) ( 18

41、24 )48( ) ( 18 48 )48( ) qw x l lx xEIqw x lx xEIqw x l xEIqw x EI 根 据 载 荷 集 度 、 剪 力 和 弯 矩 之 间 微 分 关 系 ， 则 有20(3) 0s (4) 0( ) ( 9 12 )24( ) ( 9 24 )24( ) qM x EIw lx xqF x EIw l xq x EIw q 由 方 程 可 得 ， 当 0x 时 ， s 03(0) 0, (0) 0, (0) 8w M F ql ；当 x l 时 ， 0 01 5( ) 0, ( ) , ( )8 8swl M l ql F l ql 。由 此

42、 可 见 ：（ 1） 此 梁 为 一 两 端 铰 支 即 简 支 梁 （ 图 6.5(a)） ， 且 支 反 力 分 别 为RA 0 RB 03 5( ), ( )8 8F ql F ql 0q l5838q l0 lAFRA B0q 18q l0 2F(a) RB(+)(-) (+)(-) (b)(c) 20q l18q l0 29128s图 6.5（ 2） 梁 上 施 加 有 向 上 均 布 载 荷 0q（ 0q 向 上 为 正 ） ， B端 有 逆 时 针 方 向 集 中 力 偶 作 用 eM 018ql。（ 3） 弯 矩 的 极 值 在 ( ) 0sF x 及 边 界 处 ， 当 s

43、0F 时 M 有 极 值 ， 即 38x l 时 ，2 2s 0 09 10 ( )128 8F M ql M l ql 故 max2max 0 s 01 5,8 8M ql F ql 其 剪 力 及 弯 矩 图 如 图 6.2(b),(c)所 示 。ll B (a)C q A F =qlF =RCF =Mlx1 CHC B wA(c) l-xx A1qw A2ABM= qlF =qlHA (b)12 2RB Ml BRBF =qlM = qlB 12 26.4.25 1,6.43 如 图 6.41所 示 悬 臂 梁 的 自 由 端 恰 好 与 光 滑 斜 面 接 触 。 若 温 度 升 高

44、T ，试 求 梁 内 最 大 弯 矩 ， 设 , , ,E A I a已 知 ， 且 梁 的 自 重 以 及 轴 力 对 弯 曲 变 形 的 影 响 皆 可 略 去 不计 。 解 当 温 度 升 高 T ， 梁 要 伸 长 ， 此 时 右 端 要 承 受 斜 面 作 用 给 梁 的 约 束 力 ， 并 沿 斜 面 移动 。 由 于 斜 面 为 45， 对 梁 的 垂 直 约 束 力 与 水 平 约 束 力 相 等 RBl HB wl45 BRB HB图 6.41RB HB NF F F 伸 长 量 和 端 点 挠 度 相 同 （ 图 6.41(b)） ， 其 变 形 协 调 条 件 为t FN

45、 Bl l l w 式 中 3N Nt FN, , 3F l F ll l T l wEA EI 物 理 关 系 代 入 变 形 几 何 关 系 ， 即 3N N2N 31( )3 F l F ll T EA EIlF l l TEI EA 故 N 2 13 TF lEI EA 应 力 状 态 知 识 结 构 框 图 平 行 面 上 应 力 相 等1个 主 应 力 不 为 零2个 主 应 力 不 为 零3个 主 应 力 不 为 零单 元 体一 点 应 力 状 态 每 个 面 上 应 力 均 匀 分 布应 力 状 态 分 类 主 平 面 切 应 力 为 零 的 平 面主 应 力 主 平 面 上

46、的 正 应 力单 向 应 力 状 态复 杂 应 力 状 态 二 向 应 力 状 态三 向 应 力 状 态7.3.10 图 7-12（ a） 所 示 铸 铁 薄 壁 筒 承 受 内 压 6MPap ， 两 端 受 力 偶 矩1kN mMe 的 作 用 。 已 知 内 径 60mmd ， 壁 厚 1.5mm ， 试 确 定 圆 筒 外 壁 一 点 A处的 以 下 各 量 ：（ 1） 主 应 力 及 主 平 面 （ 用 主 单 元 体 表 示 ） ；（ 2） 最 大 切 应 力 ；(3) 若 容 器 发 生 破 坏 时 ， 它 是 由 什 么 因 素 引 起 破 坏 的 ？ 破 坏 面 发 生 在 何 方 向 ？p d A xy(a) -523 y x1xyII(b)A MeeM应 力 状 态 分 析 解 析 法 图 解 法 （ 应 力 圆 ）点 面 关 系 （ 对 应 ） 夹 角 关 系