1、 数学试卷 校址 ：长生路 25 号明珠商业中心写字楼 A 座六楼 电话：13958144929浙教版九年级上册数学基础知识归纳第一章 反比例函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如 （ 为常数， ）的函数称为反比例xkyok函数。 还可以写成xky12. 反比例函数解析式的特征：等号左边是函数 ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数y（也叫做比例系数 ） ，分母中含有自变量 ，且指数为 1.kkx比例系数 0k自变量 的取值为一切非零实数。x函数 的取值是一切非零实数。y3. 反比例函数的图像图像的画法：描点法 列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有
2、小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线）反比例函数的图像是双曲线， （ 为常数， ）中自变xky0k量 ，函数值 ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个0x0y分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是 或 ） 。xy数学试卷 校址 ：长生路 25 号明珠商业中心写字楼 A 座六楼 电话：13958144929反比例函数 （ ）中比例系数 的几何意义是：过双曲xky0k线 （ ）上任意引 轴 轴的垂线，所得矩形面积为 。xkyxy k4反比例函数性质如下表：的取值k图像所在象限函数的增减性ok一、三象限 在每个象限内， 值随 的增大而减yx小
3、k二、四象限 在每个象限内， 值随 的增大而增yx大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出 ）k6 “反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数 中的两个变量必成反比例关系。xy7. 反比例函数的应用数学试卷 校址 ：长生路 25 号明珠商业中心写字楼 A 座六楼 电话：139581449298、比较正比例函数和反比例函数的性质正比例函数 反比例函数解析式图像 直线 双曲线位置k0，一、三象限；k0，二、四象限k0，一、三象限k0，二、四象限增减性k0，y 随 x 的增大而增大k0，y 随 x 的增大而减小
4、k0，在每个象限 y随 x 的增大而减小k0，在每个象限 y随 x 的增大而增大第二章、二次函数1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫cbaxy,(2)0ay做 的二次函数 .x2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当a 0a时，开口向下；0相等，抛物线的开口大小、形状相同. 开口越小，绝对值越大。 (0)ykx(0)kyx数学试卷 校址 ：长生路 25 号明珠商业中心写字楼 A 座六楼 电话：13958144929平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线y hxy.0x几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口
5、方向 对称轴 顶点坐标2axy（ 轴）0xy（0,0）k（ 轴） (0, )k2hxy hx( ,0)hka ( , )kcbxy2当 时0a开口向上当 时开口向下 abx2( )abc422，3.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： ，顶点是abcxacbaxy4222 ，对称轴是直线 .），（ cb422（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .khxay2 hkhx（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点 （及 y 值相同） ，则对称轴方12(,),、xy程可
6、以表示为： 4.抛物线 中， 的作用cbxay2cba,（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2axy（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线的对称轴是直线cxy2数学试卷 校址 ：长生路 25 号明珠商业中心写字楼 A 座六楼 电话：13958144929，故： 时，对称轴为 轴； （即 、 同abx20by0abb号）时，对称轴在 轴左侧； （即 、 异号）时，对y0ab称轴在 轴右侧. 符号“左同有异”：图像在 Y 轴的左边，与yb的符号相同。a（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.c cbxay2y当 时， ， 抛物线 与 轴有且只有一个0xc2交点（
7、0， ）： ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴；c 0cy,与 轴交于负半轴.y以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 0ab5、用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通cbxy2 xy常选择一般式.（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择kha顶点式.（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：x1x2.21xay6、直线与抛物线的交点（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).ycbxay2 c（2）抛物线与 轴的交点x二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，cy2x1x2是对应一
8、元二次方程的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一02cbxa元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 ( ) 抛物线与 轴相交；0x有一个交点（顶点在 轴上） ( ) 抛物线与 轴相x0x切；数学试卷 校址 ：长生路 25 号明珠商业中心写字楼 A 座六楼 电话：13958144929没有交点 ( ) 抛物线与 轴相离 .0x（3）平行于 轴的直线与抛物线的交点x同（2）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.kkcbxa2（4）一次函数 的图像 与二次函数nkyl的图像 的交点，由方程组 02c
9、xG的解的数目来确定：方程组有两组不同的解bayk2时 与 有两个交点;lG方程组只有一组解时 与 只有一个交点；lG方程组无解时 与 没有交点.l（5）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与x cbxay2轴两交点为 ，由于 、 是方程 的两个x021， BA1x2 0x根，故 acb2, acbacxxxAB 4422212121217、二次函数的一般式 ( )化成顶点式cbay0，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函bcaxy4)2(2数在顶点处取得最大值（或最小值） 即当 时，函数有最小值，并且当 ， ；0 abx2abcy42最 小 值当 时，函数有最大值，并且当 ， a 最
10、大 值如果自变量的取值范围是 ，如果顶点在自变量的取值范21x数学试卷 校址 ：长生路 25 号明珠商业中心写字楼 A 座六楼 电话：13958144929围 内，则当 ， ，如果顶点不在此范围21xabx2abcy42最 值内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内 随 的增大而增大，则当 时，y 2x，当 时， ；cbxa2最 大 1xcbxy1最 小如果在此范围内 随 的增大而减小，则当 时，y 1，当 时， 1最 大 2a2最 小8、关于几个等价的命题：（1）二次函数的值恒大于零 抛物线在 x 轴上方 a0， 0 a 时，ab2y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；
11、（4）抛物线有最低点，当 x= 时，ab2y 有最小值， cy4最 小 值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x= ，顶点坐标ab2是（ ， ） ；c4（3）在对称轴的左侧，即当 x时，y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当 x=时，y 有最大值，ab2c42最 大 值10 平移的规律：1）一般地,抛物线 与 的)0()(2akhxay2axy形状相同,位置不同.平移法则：左加右减、上加下减。数学试卷 校址 ：长生路 25 号明珠商业中心写字楼 A 座六楼 电话：13958144929二次函数图象的平移 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标2
12、yaxhk；hk， 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平2yax hk，移方法如下：【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(kBC） ，并且使 AC 是 AB和 BC 的比例中项，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB的黄金分割点，其中 AC= AB 0.618AB215考点二、相似三角形 （38 分）1、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“”来表示，读作“相似于” 。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数） 。2、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所dcba
13、数学试卷 校址 ：长生路 25 号明珠商业中心写字楼 A 座六楼 电话：13958144929构成的三角形与原三角形相似。用数学语言表述如下：DE BC，ADEABC相似三角形的等价关系：（1）反身性：对于任一ABC，都有ABCABC；（2）对称性：若ABCABC，则 ABCABC（3）传递性：若ABCABC，并且 ABC ABC，则ABC ABC。3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应
14、相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法以上各种判定方法均适用定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。4、相似三角形的性质数学
15、试卷 校址 ：长生路 25 号明珠商业中心写字楼 A 座六楼 电话：13958144929（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。5、相似多边形（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）（2）相似多边形的性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比相似多边形面积的比等于相似比的平方6、位似图形如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。
