1、与 的,面积,反比例函数,几何图形,创新学校 九年级数学组,反比例函数与矩形面积,例1. 如图，P是反比例函数的图象上一点，过P点分别向x轴、y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，求这个反比例函数的解析式。 解：设P点的坐标为（x,y),则OA=x,AP=-y矩形OAPB的面积S=6OAAP=6，即-xy=6这个反比例函数关系式为：,P(x,y),A,o,y,x,B,反比例函数中“k”的几何意义,如图，是y=6/x的图象，点P是图象上的一个动点。 1、若P(1，y)，则四边形OAPB的面积_,P(1,y),B,B,A,A,A,B,A,P(5,y),P,P(3,y),2、若P(3，y)，则
2、四边形OAPB的面积_,6,6,6,3、若P(5，y)，则四边形OAPB的面积_,结论：从双曲线上任意一点向x、y轴分别作垂线段，两条垂线段与两坐标轴所围成的长方形的面积=k.,想一想：若P(x，y)，则四边形OAPB的面积_,1/3,6,过反比例函数图象上任一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A,B，它们与坐标轴形成的矩形面积是不变的。,推广：反比例函数与三角形面积,例2. 如图，点A在反比例函数 图象上，AB垂直于x轴，垂足为B.求OAB的面积。解：设A点坐标为（x，y）， 点A在 图象上xy=-8，xy=8,过P作x轴的垂线，垂足为A,则它与坐标轴形成的三角形的面积是不变的，为：,1
3、.如图,点P是反比例函数 图象上的一点,PDx轴于D.则POD的面积为 .,1,2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为1,则这个反比例函数的关系式是 .,的面积不变性,注意：（1）面积与P的位置无关,（2）当k符号不确定的情况 下须分类讨论,3、在双曲线 上 任一点分别作x轴、y轴的垂线段， 与x轴y轴围成矩形面积为12，求函 数解析式_。,(X0),y,x,O,或,A,A.S1 = S2 = S3 B. S1 S2 S3,S1,S3,S2,如图，A,B是双曲线 上的点，分别经过A,B两点向X轴、y轴作垂线段，若 .,4,O,y,x,s1,s2,
4、如图,点P、Q是反比例函数图象上的两点,过点 P、Q分别向x轴、y轴作垂线,则S1(黄色三角形）S2(绿色三角形）的面积大小关系是：S1 _ S2.,P,Q,=,（x0),思考：1.你能求出S2和S3的值吗？,2.S1呢？,1,x,o,B,E,A,若A(m，n)是反比例函数图象上的一动点，其中0m3，点B的坐标(3，2)，过点A作直线ACx轴，交y轴于点C；过点B作直线BDy轴交x轴于点D，交直线AC于点E，当四边形OBEA的面积为6时，请判断线段AC与AE的大小关系，并说明理由。,B,A,x,o,如图，已知，A,B是双曲线 上的两点，,（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,O
5、B,AB，求OAB的面积。,（1）若A(2,3)，求K的值,B,A,x,o,（3）若A,B两点的横坐标分别为a,2a，线段AB的延长线交X轴于点C，若 ，求K的值,C,A,y,O,B,x,M,N,y=kx+1的图像交于A、B两点,点A的纵坐标是3.,已知：如图,反比例函数 与一次函数,（1）求这个一次函数的解析式 （2）求AOB的面积.,变式练习,如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=k/x的图象上，点P(m,n) 是图象上任意一点，过点 P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E, F，,拓展提高,G,若设矩形OEPF和正方形OABC不重合
6、部分的面积为S，写出S关于m的函数关 系式,总结提高,一个性质：反比例函数的面积不变性,两种思想：分类讨论和数形结合,B,A,x,o,如图，已知，A,B是双曲线 上的两点，,（1）若A(2,3)，求K的值,（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求OAB的面积。,E,B,A,x,o,如图，已知，A,B是双曲线 上的两点，,（1）若A(2,3)，求K的值,（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求OAB的面积。,(5,0),B,A,x,o,如图，已知，A,B是双曲线 上的两点，,（1）若A(2,3)，求K的值,（2）在(1)的条件下，若点B的横
7、坐标为3，连接OA,OB,AB，求OAB的面积。,E,2、正比例函数y=x与反比例函数y= 的图象相交于 A、C两点.ABx轴于B,CDy轴于D(如图),则四边形ABCD的面积为( )（A）1 （B） （C）2 （D）,例3. 如图，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于A、C两点，过A点作x轴的垂线交x轴于B，连结BC，则 面积S为多少？ 解：因为点A与点C关于原点中心对称，设A（x,y），则C(-x,-y),过C点做CD垂直与X轴,垂足为D点所以,D,练习：,（2010湖北孝感） 如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且ABx轴，C、 D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的 面积为
8、 . 2.如图，过反比例函数 的图象上任意 两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D， 连结OA、OB。设AC与OB的交点为E， 与 梯形ECDB的面积分别为S1、S2，比较它们的 大小，可得（ ）A. B. C. D. 大小关系不能确定,3.如图，A、B是函数 的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，的面积为S，则（ ）A. S1 B. C. S2 D. 4. 如图，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于A、C两点，过A点作x轴 的垂线，交x轴于B，过C作x轴的垂线，交x轴 于D，则四边形ABCD的面积为_。,综合,例4.如图，反比例函数 (x0)与矩形OAB
9、C的边AB、BC交于F、E两点，且BE=CE，四边形OEBF的面积为2 1.求证：AF=BF 2.求三角形OAF的面积 3.求k的值,例：如图，反比例函数 (x0)与矩形OABC的边AB、BC交于F、E两点，且BE=CE，四边形OEBF的面积为2 1.求证：AF=BF; 2.求三角形OAF的面积; 3.求k的值,解：1.连接OB，在矩形OABC中， BE=CE, 又 = = S矩形OABC = S矩形OABC点F也在反比例函数图象上， AF=BF 2. 四边形OEBF的面积为2， ,SOCE,=SOBE,SOCB,SOCE,SOAB,SAOF,=SOCE=,S矩形OABC,SAOF,=SBOF
10、,SAOF,=SBOF=,SEOB,S矩形OABC,SAOF=1,3. k=2,SAOF=1=1/2k,过E,F点分别做X轴、Y轴的垂线，垂足分别为G、H，,G,H,O,因为点E、F在反比例函数图像上，所以矩形OCEG的面积等于矩形OHFA的面积，所以OCCE=OAAF, CE=BE, 1/2BCOC= OAAF, 又在矩形OABC中，OA=BC,OC=AB AF=1/2OC AF=1/2AB, AF=BF,证法二： 证明：设点E的坐标为（a,b），BCx轴， 且BE=CE， B（2a，b） ABy轴， F点横坐标为2a，设纵坐标为y， 点E和点F都在反比例函数图像上 ab=k，2ay=k y
11、= b， F是线段AB的中点，即AF=BF,练习：,1.（2011湖北）如图，双曲线 经过四边形OABC的顶点A、C，ABC90，OC平分OA与轴正半轴的夹角，AB轴，将ABC沿AC翻折后得到ABC，B点落在OA上，则四边形OABC的面积是 .,D,2.已知：直线AB过点A（m,0) B(0,n)(m0,n0)。反比例函数 的图象与AB交于C、D两点。若,求n的值。,M,N,总结提高,一个性质：反比例函数的面积不变性,两种思想：分类讨论和数形结合,让我们学会思考，感受思考带来的快乐，爱上数学。,米斯拉说：“数学是人类的思考中最高的成就”培根说：“数学是打开科学大门的钥匙”黑格尔说：“数学是上帝描述自然的符号”,感谢各位老师的光临，欢迎,
