1、1详解第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛小学高年级组 B 卷题 特级教师 吴迺华一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1计算：57.6 28.8 14.48011851412解：原式57.6 （28.82）（ ）（14.44）（804）115 1257.6 57.6 57.62011859157.6（ 20）1111 122甲、乙、丙、丁四人共植树 60 棵，己知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树多少棵？解：本题中的 、 、 ，单位“1”的量都不相同，可以以甲、乙、丙、丁四人共植树的1234棵数为单位“1”
2、来统一。甲植树的棵数是其余三人的二分之一，即甲植树的棵数是四人共植棵数的 ；1+2乙植树的棵数是其余三人的三分之一，即乙植树的棵数是四人共植棵数的 ；3丙植树的棵数是其余三人的四分之一，即丙植树的棵数是四人共植棵数的 ；14所以，丙植树的棵数是：60（1 ）13（棵）1+23143、当时间为 5 点 8 分时，钟表面上的时针与分针成 度的角。解：分针每分钟走 6，5：00 时，分针与时针夹角为：2561502八分钟分针走了 8648 ；时针每分钟走 0.5，八分钟走 80.54。所以，5：08 时，时针与分针成的夹角为：150 (484) 1064某个三位数是 2 的倍数，加 1 是 3 的倍
3、数，加 2 是 4 的倍数，加 3 是 5 的倍数，加 4是 6 的倍数，那么这个数最小为 。解：换句话说，这个数除以 3 余 2，除以 4 余 2，除以 5 余 2，除以 6 余 2，这样，只要求出 3、4、5、6 的最小公倍数后，再加上 2 就可求出。不过，要注意的是：这是个三位数。3，4，5，6 60所以，这个三位数最小为：6022122.5贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国，对于一种这样的星球局势，共可以组成 个两两都是友国的三国联盟。解：因为每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国。设这七个国家分别为：A 、B、C、D、E、F
4、、G，他们之间的关系如右图：虚线为互为敌对国，实线为两两都是友国的三国联盟。根据图示，A、B、C、D、E、F、G 七个点，排除虚线表示的互为敌对国的线段外，每一个点都可以与另两个不相邻的点连成一个两两都是友国的三国联盟。比如：A 与 F、D 或者 C可以连成实线三角形。三角形 AFD 表示 A、F、D 为两两都是友国的三国联盟，三角形 FCA 也表示为 F、C、 A 两两都是友国的三国联盟。所以，共可以组成 7 个两两都是友国的三国联盟。6由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为 106656，则这些四位数中最大的是 ，最小的是 。解：设这四个数字分别为：3A、B、C 、D
5、，组成的四位数如：ABCD、AB DC 、ACBD 、ACDB ADBC 、ADCB、共能组成的四位数共有：432124（个）在这 24 个三位数中，以 A 开头以 B 开头以 C 开头以 D 开头的个数=2446（个）也就是说 A、B、C、D 在四个数字分别在千位、百位、十位、个位各出现 6 次，已知所组成的没有重复数字的所有四位数之和为 106656，即6（ABCD）1111 106656 化简，知 ABCD 16推知，这四个互不相同的非零数字为：169142这些四位数中最大的是：9421，最小的是：1249。7、如右图，三角形 ABC 的面积为 1，DC：OB1：3，EO：OA4：5，则
6、三角形 DOE 的面积是多少？解：根据题意 OB1：3，EO：OA4：5，如下图，设 SDOE4，则 SAOD5，S BOE 12，S AOB15，设 SCDE x， 三角形 BCD 中，则三角形 CDE 和三角形 BDE 同高，所以面积的比等于边长的比， CEBx412同样，三角形 ACE 和三角形 ABE 同高，所以面积的比等于边长的比， CEB4512x所以， 解得：x 14所以，三角形 DOE 的面积是： 1 521358三个大于 1000 的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么，这三个数之积的末尾三位数字有 种可能数值。底低抵邸砥骶解：设三个数的个位
7、分别为 a、b、c 4 如果 a、b、c 都相等，则只能都为 0； 如果 a、b、c 中有两个相等，则有以下两种情况： .a、a、c 且 ac，必有 c a10a ，则 c10，与 c 为数字矛盾； .a、a、c 且 ac，则有 c aa， aa10c ，则 a5，c 0； .如果 a、b、c 都不相等，设 abc，则 cb10a，ca10b ，则 c10，与 c为数字矛盾； 综上三个数的个位分别为 0，0，0 或 0，5，5； .如果都为 0，则乘积末尾三位为 000；.如果为 0，5，5 .如果个位为 0 的数，末尾 3 位都为 0，则乘积末尾三位为 000； .如果个位为 0 的数，末尾
8、 2 位都为 0，则乘积末尾三位为 500 或 000； .如果个位为 0 的数，末尾 1 位为 0设末尾两位为 ，设另外两个末尾两位为 ，c5ab则 100ab50（a b）25 ，5ab若（a b）为奇数，则乘积的末两位为 75；若（a b ）为偶数，则乘积的末两位为 25，再乘上 ，无论 c 为多少，末尾三位只有 000，250，500，750 这 4 种0综上所述，积的末尾三位有 000，500，250，750 这四种可能二、解答下列各题（每小题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9将 1234567891011 的某两位的数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由。解：不能得
9、到完全平方数。因为 123456789101148交换数字的位置，其数字和仍然是 48。48 是 3 的倍数，但不是 9 的倍数，所以不是完全平方数。10、如右图所示，从长、宽、高为 15，5，54 的长方体中切割走一块长、宽、高为 y，5，x 的长方体（x，y 为整数） ，余下部分的体积为120，求 x 和 y。解：由题意得,15455xyl20知 5xy300120180xy180536由长方体的长、宽、高分别为 15，5，4，知，x4 y15 满足以上条件的只有 36312，所以，x3，y1211、圆形跑道上等距插着 2015 面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出
10、发点时，甲跑了 23 圈，乙跑了 13 圈。不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？解：由甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了 23 圈，乙跑了 13 圈，知甲与乙的速度比为：23：13。由甲比乙多跑一圈就追上一次，共追上：231310（次）甲要追上乙，甲要比乙多走 2015 面旗子，根据追及问题的关系式甲共跑过的旗子数为：2015（2313）234634.5（面）正好在旗子位置甲追上乙，甲跑的旗子的面数应当是整数，而 4634.5 只有乘2、4、6、8、10，才能成为整数。可是，追上第 10 次时，是最后一次，是在起始点上，应当排除。所以，甲正好在旗子位置追上乙，是在第 2、4、6
11、、8 次追上时，共有四次。12、两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得 11 分且对方少于 10 分者胜；10 分后多得 2 分者胜。两人的得分总和都是 31 分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？解：设赢得比赛的为甲，输的为乙。甲第一局获胜，如果第二局又胜，则直接获胜，总分一定比乙多，不符合题意。所以甲第二局输第 三局赢6甲第一、三局都赢，则一、三局至少会比乙多得 4 分，设三场比赛的比分是： : ， : ， ： ，并且 2， 21ab23ab1ab3由题目条件“两人的得分总和都是 31 分”可知，乙第二局至少赢甲 4 分及以上，并且只能以 11 分取胜
12、 所以，第二局的比分可以为：0:11 、1:11 、2:11、7:11，共八种。三、解答下列各囊（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13、如右图所示，点 M 是平行四边形 ABCD 的边 CD 上的一点，且 DM：MC1：2，四边形 EBFC 为平行四边形， FM 与 BC 交于点 G。若三角形FCG 的面积与三角形 MED 的面积之差为 l3 ，求平行四2cm边形 ABCD 的面积。解：如下图连接 BD。在梯形 BCED 中，根据梯形蝴蝶定理，由 DM：MC1：2，知：DE：BCEM：MB1：2；SDEM ：S CEMS CEM：SBCMS DEM：SBDM1：2如果设 SD
13、EM1 份。则，SCEM SBDM2 份；SBCM224（份）因为 EBFC 为平行四边形，且 BC 为对角线推知：SBCF SBCESBCD246（份）在梯形 BMCF 中，根据梯形蝴蝶定理，CF：BM3：2，知SFCG6 3.6（份）+已知“三角形 FCG 的面积与三角形 MED 的面积之差为 l3 ”，所以，2cmSBCF13 （3.61）630（平方厘米）所以，平行四边形 ABCD 的面积为：30260（平方厘米）14设“一家之言” 、 “言扬行举” 、 “举世皆知” 、 “知行合一”四个成语中的每个汉字代表711 个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同
14、的数。如 果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是 21，则“行”可以代表的数最大是多少？解：观察这四个成语， “一、言、举、知、行”这五个字各出现两次，其它汉字只有一次。由“每个成语中四个汉字所代表的数之和都是 21”则这四个成语的数字之和为，即一家之言言扬行合一21484而 从 1 开始的 11 个连续自然数的和是：12341l66可知 这五个字各出现两次的汉字的和为：846618题目要求“行”代表的数目最大，那就让其它四个数字尽可能小。由l23410，此时， “行”可以为 8.所以“行”可以代表的数最大是 8。这四个成语分别表示的数目为：“一家之言” 所代表的四个数目为：3，5，11，2“言扬行举” 所代表的四个数目为：2，10，8，1“举世皆知” 所代表的四个数目为：1，9，7，4“知行合一” 所代表的四个数目为：4，8，6，3
