1、屋檐水槽模型1. 问题的提出某居民想在房屋的屋檐处安装一个檐槽，以方便雨天出入.从屋脊到屋檐的屋顶部分是一个长 12m、宽 6m 的矩形平面，屋顶与水平面的夹角为 （单位：弧度） 。ab 6现有一家装修公司想承接这一工程，并给出承诺：提供一种新型耐用的檐槽，包括一个横截面是半径为 7.5cm 的半圆形水槽和一个直径为 10cm 的竖直排水管；不论雨r d量如何，这种燕槽都能及时排掉从屋顶流下的雨水。 问：该居民能否接纳这家公司提供的服务？图 1 屋檐水槽连接示意图2模型假设(1) 降雨分布均匀并以垂直降落，并且直接落在房顶上；(2) 所有落在房顶上的雨水迅速流入水槽中；(3) 雨水不从水槽中溅
2、出；(4) 排水管道顺畅，没有任何障碍或阻塞；(5) 假设雨开始下时槽内有雨水深度0O1 m。 符号说明：有关的因素 因素类型符号 数值 单位降水强度 变量 v m/s时间 变量 t s房顶的倾斜度 参数 6弧度房顶的长度 参数 a 12 m房顶的宽度 参数 b 6 m水槽的半径 参数 r 0.075 m水槽中的水深 参数 h m水槽中的水的容量 变量 V m流入水槽的流速 变量 Q1 s/3流出水槽的流速 变量 2排水管直径 参数 d 0.1 2重力加速度 常数 g 9.8 m/s3建立模型考察水槽能否及时排掉从屋顶流下的雨水，就是研究水槽中的水深与时间的函数关系。水槽中的水的容量的变化率=
3、雨水流入水槽的流速-流出水槽的流速，即 ,其Q)(21tV中 ， 分别为单位时间排水系统的流入水槽和流出水槽的雨水流量。Q12房顶的面积是 ab，由于房顶是倾斜的，如图 2 所示，屋顶实际受雨的面积是 ，cosab根据假设（1），屋顶上雨水的流速是 ，由于雨水是沿倾斜的房顶流下的，所cos)(abtv以流入水槽的流速应该是在竖直方向的分量 ，直接落入水槽的雨形成的in雨的流量是 ,即 。rbtv)( rtt)(ins)(Q1 水槽中水的深度 h 0.00028802 m/s 时，水溢出。下面，用 matlab 对这一结论进一步分析。不妨取 v=0.0002、0.000288 分别代入方程（*）
4、求其数值解，并作出图形：编写a.m 文件：function hp=a(t,h1)hp=(1.374038*0.0002-0.001449*sqrt(h1)/sqrt(0.15*h1-h12);function hp=b(t,h2)hp=(1.374038*0.0003-0.001449*sqrt(h2)/sqrt(0.15*h2-h22);执行matlab程序： t,h1=ode45(a,0,60,0.01); plot(t,h1)0 20 40 600.010.0150.020.0250.030.0350.04t/sh/m t,h2=ode45(b,0,60,0.01);plot(t,h2)
5、0 20 40 6000.020.040.060.08t/sh/m我国气象部门规定24 h降水量在200mm以上（约0.000 002m/s）的雨为特大暴雨。对于这种情形，v 0.00028802 m/s 即24 h降水量在24884.9mm以上的强降雨机率几常 数)(tv乎为0，因此，这个公司的承诺是能兑现的。（2）若 为周期函数，不妨设为正弦函数，即：)(tv这表明下雨过程是在60s内发生的一个短促60,60,sin3.)(ttt的强阵雨过程，最大的降雨强度是0.000 01m/s,由方程（*）得到如下微分方程：01.)(60,549. 60,1.49.sin2.22hththtdth运用
6、matlab求数值解：编写shuicao.m 文件：function f=shuicao(t,h)f=(0.000412*sin(pi*t/60)-0.001449*sqrt(h)/sqrt(0.15*h-h2);执行matlab程序： t,h=ode45(shuicao,0,60,0.01); plot(t,h)0 10 20 30 40 50 6000.010.020.030.040.050.06t/sh/m从图中可以看出，h(t)的最大值不会超过0.075m，因此，对于第（2）种情况，水槽的水也不会溢出，这个公司的承诺是能兑现的。5模型的改进基于长时间特大暴雨的考虑，可做如下两种改进：(1)增大排水管的横截面积，即增大排水管的直径 d。(2)改变水槽的连接方式，让水槽往屋檐倾斜一定角度，这相当于增加水槽的容水高度。
