1、1Chapter 1 微分1. 微分是求函數 相對於變數 x 的變化率，或說是每單位 x 變化下，相對應的 f 變)(xf化。這就如同速度是位置相對於時間的變化率，它的意思就是單位時間變化下所對應的位置變化。當變數由 x 增加為 時，函數相應地也會有變化，定義函數變化 ，那麼 即是 x 至 這)()xff)(xfxff個範圍內的平均變化率（每單位 x 變化下，相對應的 f 變化） 。如果進一步讓這個範圍逐漸縮小，取 的極限，那麼所得到的就是在 x 處的變化率，此變化率記為0：dxf xffxfdf )(limli00稱為導數(Derivative) ，其實就是在 x 處函數 f 的變化率。2.
2、 導函數的幾何意義：導數為函數 f 的曲線在 x 處切線的斜率。3. 根據以上定義我們自然可以在任何 x 計算導數，如此得到一個變數 x 的函數，就稱為導函數，記為 或 。由函數 f(x)得到其導函數 f(x)的運算， 就稱)(xf)(df f為微分（Differentiation） 。如果這裏的變數 x 是時間 t，而函數 f 是質點的位置 x(t)，則導函數 便是位置函數 x(t)的變化率，也就是速度函數 v： ，dt )(tdx。ttdtxvtt )(limli)(004. 常數的微分： ， ，因此 。cxffxf5. 線性組合： )()(gfgfxc6. 多項式的微分： ， ，nf)(
3、 xxfff nx )()(lim)(0fxffxx2而 ，因此)()( 21xOnxxn。121000 )(limlim)(lim nnxnxx xxOfff1nd7. 倒函數的微分： )(1xgf 2000 )()(1lim1)lili gxgxgfdxfxx 試試看： 對負整數的 n，也能適用。比如1n 21x8. 乘積律： )()()( xgfxfxgf 證明： )()( )()()lim)(lim(li 000xgfxf xgfgfxffdxx 9. 連鎖律（合成函數的微分）： )()(xffd證明： dxgfxggffxxxgfgfgfdg xxx )()(lim)(lim)()(
4、li)(000例 1： ，可設 ，則 在第一項中，g 視為naxf)()221)(af變數 ，第二項中 g 視為函數： 。ngf 121)(2 nnaxaxf例 2：反函數的微分：設 g 為 f 的反函數，則 ，根據連鎖定律：gf)(，因此 。dxdxf )(1)( 1)(gf3利用此一定律可以計算 的導函數，函數 g 是 的反函數，因此nxg1)(nxf，這與 n 是整數時的結果是一樣的111)( nngfdx（見 4） 。由以上這些公式可以進一步推得當 n 是有理數時，第 4.點中的公式還是對的，也就是 。1qpqpx10. 高階微分：請注意導函數 本身也是一個 x 的函數，所以對它我們也
5、可以求變化)(f率，也就是微分，所得結果稱為二次導數： xffxfdfx)(limli 002以此類推，即可定義 n 階導數： 。如果這裏的變數 x 是時間 t，而1nndff函數 f 是質點的位置 x(t)，則位置的二次微分 便是速度的變化率，也就是加速度2txa： 。)(2tadvtx11. 函數的極值：導函數可以幫助我們找出函數的極值。當函數是極大值或極小值時，在當地的函數曲線之切線斜率一定為 0，所以如果一函數 在 處出現極值，)(xf0那麼在 處的導數一定為 0： 。0x)(0xffxx0fxx0至於極值是極大還是極小，必須由二階導數，也就是斜率變化率來決定。如上圖所示，當 的極值是
6、極大值時，斜率在極值附近由正變負（當 x 增大） ，故0x。當 的極值是極小值時，斜率在極值附近由負變正（當 x 增大） ，)(f04故 。0)(xf12. 3D 空間中的速度與加速度：在三度空間中，質點的位置以一個向量來表示，選擇一座標系後，一向量可以三個分量來描述，這些分量都是時間的函數： )(,)(tzytxr現在位移向量是前後位置向量的差 ，其中 等等，)(txtx因此速度向量就是 時位置向量的變化率：0t， dtzyttzytxtrvtt ,limli0也就是將三個分量分別微分，同理 3D 的加速度也可以如此定義：。 2200 ,lili tzytxtvttazyxtt例子：等速圓周
7、運動的加速度：一個等速圓周運動的座標可以很容易寫出來，如果旋轉的角速度為 ，那麼假設此運動開始旋轉時的角度為 0，則時間 t 時的角度應為 ，因此它的位置座標為 ，為了求得速度，必須知t )sin,co(trtr道 對 的微分：sin xxxxxdx sincoiilmsin)si(lm)( 00當 時， ， （可以在一個半徑為 1，弧角為 的1co 情況來看） xxsin因此 。用類似的計算可以導出： 。xdxcos)(sin xdxsin)(co現在可以計算等速圓周運動的速度（運用連鎖律）： )(cos),(sin)(sin,i),(swtrtr tdttdrdtttrtv 你可以驗證這個
8、結果是否是對的，試試看這樣得到的速度向量與位置向量互相垂直 ，而且大小是 正好是我們所預期的。0vr再將速度向量微分一次即得加速度向量：5)(sin),(cos )(cos,i),(sin22wtrtr tdwttddttrtrtva 可以明顯看出加速度與位置向量反向，而大小為 ，用速度大小 表示，2rrv就是 。rva2613. 指數函數的微分： ，xaf)(。注意中括號裡的式子與 xaxxaxf xx )1(lim)1(limli)( 000變數 x 無關，而由 a 決定。它事實上就是 在 x = 0 處的導數，而由作圖知f)(道 在 x = 0 處的切線斜率是存在的（不是零或無限大） ，
9、因此我們可以把它f)(寫成一個數 c: 。即使我們還不知道常數 c 是多少，xxxacaf )1(lim)(0我們已經得到一個重要的訊息：指數函數的微分和它自己成正比。現在我們可以將我們的無知限縮在一個數之中：對於不同的 a，c 也會不一樣，比如a=1 時 c=0，而 a 很大時，c 應該也很大，那麼在 a=1 與 之間，應該有一個a，對於它來說，對應的 c=1。將此數稱為 e，那麼。x)(假如知道 e 的值，我們可以反過頭來用 e 來計算任何一個數 a 的指數函數： 可以xa寫成 ，此處 對 a 取以 e 為底的對數，也就是 。因此，運用連鎖xaxlnl eln率 。所以可以得出上面所提到的 c 其實就等於xxeln)()l。l因此唯一需要再努力的就是計算常數 e 是多少。常數 e 是一個無理數，在數學上就像 一樣重要，其值大概是 2.71828 左右。
