1、1AC DBDB CAPDBAC寒假作业部分习题答案1、在ABC 中，AD 是A 的外角平分线，P 是 AD 上异于 A 的任意一点，则 PB+PC 与 AB+AC 的大小关系是什么，并证明。太简单了2、在四边形 ABCD 中，AB=2，CD=1 ，A=60，B=D=90，求BC 和 AD 的长分别延长 AD，BC ，构造直角三角形3、已知：在ACD 中，C=45，ABD=60,2BC=BD，求D 的度数D=75 ，过点 D 向 AB 作垂线 DM 垂直 AB 于 M连结 CM，想办法证明 DM=AM，仔细观察，图里面隐含着很多等腰三角形24、 （1）已知：如图 1， 中， ， ，RtABC9
2、060BAC平分 ，点 为 中点， 交 的延长线于 ，CDEPEDP猜想： = （直接写出结论，不需证明） .P（2）已知：如图 2， 中， ， ，t 45平分 ，点 为 中点， 交 的延长线于 ，A（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由太简单了，分别向 AC，BC 边作垂线，证全等就 OK 了下面是出题人的解法，大家可以学一下，对比还是上面的方法简单（1）猜想： 2 分180PBCA（2）结论：依然成立证明：联结 CE 为 中点EAE=EB=EC 3 分EAC=ECA, DCE=ECA DCA= EAC45又DAC=180ADC 45=135PDE 4 分DCE=135PD
3、E 45=90PDE= DPEPE=EC=AE 5 分PAE 与PBE 为等腰直角三角形，APB=90 6 分 =360APBACB=360PBCA图 1 图 2ABCDEPPEDC BA39090=1807 分5、已知： ， 平分 MANCAN在图 1 中，若 120， 90，BDC （填写“”， “”， “”）BD在图 2 中，若 120， 180，则中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由分别向 AM，AN 边作垂线，证一次全等就出来了6、如图 1，在 ABCD 中，AEBC 于 E，E 恰为 BC 的中点，.（1）求证：AD= AE； （2）如图 2，点 P 在
4、BE 上，作BEA2EFDP 于点 F，连结 AF. 求证： ；（3）请你在图AFD3 中画图探究：当 P 为射线 EC 上任意一点（P 不与点 E 重合）时，作EFDP 于点 F，连结 AF，线段 DF、EF 与 AF 之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.NMCDBA NMABDC图 1EB CA D图3EB CA D图2E CBA DFP4这类问题截长补短，利用旋转的思想添加辅助线MFDACB EPMFDACB E PMF DACB E P5几种图的核心都是证明AFEAMD利用旋转变换额思想来解决截长补短问题7、请阅读下列材料图问题：如图 1，在等边三角形 ABC 内有一点 P，且 P
5、A=2， PB= ， 3PC=1求BPC 度数的大小和等边三角形 ABC 的边长图李明同学的思路是：将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60，画出旋转后的图形（如图 2） 连接 PP，可得PPC 是等边三角形，而PPA 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证） 所以APC=150，而BPC=APC=150进而求出等边ABC 的边长为 问题得到解7决图请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图 3，在正方形ABCD 内有一点 P，且 PA= ，BP= ，PC=1求BPC 度数的大小和52正方形 ABCD 的边长图图图 3图 1 图 26F图 1AB CE D HG（ 2b a）（1）如图，将B
6、PC 绕点 B 逆时针旋转 90，得BPA，则BPCBPAAP=PC=1，BP=BP= 2连结 P P，在 Rt BPP中， BP=BP= ，P BP=90， P P=2，BPP=45 2 分在APP 中， AP=1，P P=2，AP= ，5 ，即 AP 2 + PP 2 = AP2221(5) APP 是直角三角形，即 A P P=90 APB=135 BPC= APB=135 4 分（2）过点 B 作 BEAP 交 AP 的延长线于点 E EP B=45. EP=BE=1. AE=2. 在 RtABE 中，由勾股定理，得 AB= 5 7 分 BPC=135 ，正方形边长为 58、.阅读下列
7、材料：在图 1图 4 中，正方形 ABCD 的 边 长 为 a， 等 腰 直 角 三 角 形 FAE 的 斜 边AE 2b， 且 边 AD 和 AE 在 同 一 直 线 上 小 明 的 做 法 ： 当 2b a 时 ， 如 图 1， 在 BA 上 选 取点 G， 使 BG b， 连 结 FG 和 CG， 裁 掉 FAG 和 CGB 并 分 别 拼 接 到 FEH 和 CHD 的 位 置 构 成 四 边形 FGCH7小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将FAG 绕点 F 逆时针旋 转 90到 FEH 的 位 置 ， 易 知 EH 与 AD 在 同 一 直 线 上 连 结 CH，由剪拼方法可得 DH
8、=BG，故CHDCGB，从而又可将CGB 绕点 C 顺时针旋转 90到CHD 的位置这样，对于剪拼得到的四边 形 FGCH（ 如 图 1） ，过 点 F 作 FM AE 于 点 M（ 图 略 ） ， 利 用SAS 公 理 可 判 断 HFM CHD， 易 得 FH=HC=GC=FG， FHC=90进 而 根 据 正 方 形 的 判 定 方 法 ， 可 以 判 断 出 四 边 形 FGCH 是 正 方 形 解决下列问题：（1）正方形 FGCH 的面积是 ；（用含 a，b 的式子表示）（2）类比图 1 的剪拼方法，请你就图 2图 4 的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图9、已知：如图，AB
9、C 中，AB= 3，BAC=120，AC=1，D 为 AB 延长线上一点，BD=1，点 P 在BAC 的平分线上，且满足PAD 是等边三角形.（1）求证：BC=BP；（2）求点 C 到 BP 的距离.证明：如图 1，连结 PC.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 分 AC=1，BD =1， AC=BD . BAC=120 ，AP 平分BAC ， .602BAC PAD 是等边三角形， PA=PD，D =60. 1=D. PACPDB. - - - - -
10、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 图 3FAB CD E图 4FAB CD E图 2FAB C(E) D（2ba） （a2b2a）（ba）图 143 21ABCD P8- - - - - - - - - - - 2 分 PC= PB，2=3. 2+4=3+4， BPC= DPA=60. PBC 是等边三角形，BC=BP. - - - - - - - - - - 3 分证法二：作 BMPA 交 PD 于 M ，证明PBMBCA.（2）解法一：如图 2，作 CEPB 于 E， PFAB 于 F. 即点 C 到 BP 的距离等于 .392
11、解法二：作 BNDP 于N，DN= ， ，BN= ， .1272PDN213BPN10、在ABC 中， BCa，BC 边上的高 h ，沿图中线段 DE、CF 将aABC 剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG，如图 1 所示请你解决如下问题：已知：如图 2，在A B C 中， B C a，B C 边上的高 h 请你设计两a21种不同的分割方法，将A B C 沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图 2、图 3 中，画出分割线及拼接后的图形AB C图 2AB C图 3AGHBED FC 图 2F EPDCBABAB C 图 5 图 6AC911、如图，在正方形 ABCD 中，
12、E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF45 ，则有结论 EFBE FD 成立；（1）如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BD90，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF 是BAD 的一半，那么结论EFBEFD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若将（1）中的条件改为：在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180 ，延长 BC 到点 E，延长 CD 到点 F，使得EAF 仍然是BAD 的一半，则结论 EFBE FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.12、在 中，AC=BC， ，点 D 为 AC 的中点ABC 90
13、ACB（1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转90得到线段 DF，连结 CF，过点 F 作 ，交直线 AB 于点HH判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明（2）如图 2，若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点， （1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明HF图2图1HFEBCDAEDBCA10（1）FH 与 FC 的数量关系是： 1 分FHC证明：延长 交 于点 G，DAB由题意，知 EDF=ACB=90，DE=DF DGCB点 D 为 AC 的中点，点 G 为 AB 的中点，且 12CADG 为 的中位
14、线BC DAC=BC，DC=DGDC - DE =DG- DF即 EC =FG 2 分EDF =90 ， ，FHC1+CFD = 90，2+CFD=901 =2 3 分21HGFEBCDA11 与 都是等腰直角三角形，DEF AGDEF =DGA = 45CEF =FGH = 135 4 分CEF FGH 5 分 CF=FH 6 分（2）FH 与 FC 仍然相等 7 分13、直线 CD 经过 BCA的顶点 C，CA=CBE 、 F 分别是直线 CD 上两点，且 EF（1）若直线 CD 经过 的内部，且 E、 F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若 ，则 BEA（填90,“”，
15、“”或“ ”号） ；如图 2，若 18BCA，若使中的结论仍然成立，则 与BA应满足的关系是 ；（2）如图 3，若直线 CD 经过 的外部， BCA，请探究EF、与 BE、 AF 三条线段的数量关系，并给予证明太简单了吧ABCEF D DABCE FADFCEB图 1 图 2 图 31214、在等边 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为ABCABC 外一点，且 , ,BD=DC. 探究：当 M、N60MDN120BC分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC 、MN 之间的数量关系及的周长 Q 与等边 的周长 L 的关系（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且
16、 DM=DN 时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； LQ（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN= ，x则 Q= （用 、L 表示） x解：（I）如图 1， BM、NC、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN 13此时 32LQ（II）猜想：结论仍然成立证明：如图，延长 AC 至 E，使 CE=BM，连接 DE ,且 CDB12030DC又 是等边三角形，A90MN在 与 中：BDEC(SAS) DM=DE, C
17、DEBM60MDNBCN在 与 中：E(SAS) DNMN=NE=NC+BM 的周长 Q=AM+AN+MNAM=AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB而等边 的周长 L=3ABABC. 32LQ（III）如图 3，当 M、N 分别在 AB、CA 的延长线上时，若 AN= ，x则 Q= 2 + x（用 、L 表示） x1415、在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.原问题：如图 1，已知 ABC, ACB=90 , ABC=45，分别以 AB、 BC 为边向外作 ABD 与 BCE, 且 DA=DB, EB=EC， ADB= BEC=
18、90，连接 DE交 AB 于点 F. 探究线段 DF 与 EF 的数量关系.小慧同学的思路是：过点 D 作 DG AB 于 G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是 ABC=30, ADB= BEC=60.小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中 DF 与 EF 的数量关系；（2）如图 2，若 ABC=30， ADB= BEC=60，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图 3，若 ADB= BEC
19、=2 ABC, 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.图 1 图 2 图 3解: （1）DF= EF. 1 分（2）猜想：DF= FE.证明：过点 D 作 DGAB 于 G, 则DGB=90. DA=DB, ADB =60. AG=BG, DBA 是等边三角形 . DB=BA . ACB=90 , ABC =30, AC= AB=BG. 212 分 DBG BAC. DG=BC. BECADFDAC EF BEFCBAD153 分 BE=EC, BEC=60 , EBC 是等边三角形. BC=BE, CBE=60 . DG= BE, ABE= A
20、BC+CBE=90 . DFG =EFB, DGF =EBF, DFG EFB. DF= EF. 4 分（3）猜想：DF= FE.证法一：过点 D 作 DHAB 于 H, 连接 HC, HE, HE 交 CB 于 K, 则DHB =90. DA=DB, AH=BH, 1=HDB. ACB=90 , HC=HB . EB=EC, HE=HE, HBEHCE. 5 分 2=3, 4= BEH. HKBC. BKE=90 . 6 分 ADB=BEC=2ABC, HDB =BEH =ABC. DBC=DBH+ABC = DBH +HDB=90，EBH=EBK+ABC =EBK +BEK=90. DB/
21、HE , DH/BE. 四边形 DHEB 是平行四边形. DF=EF. 7 分证法二：分别过点 D、E 作 DHAB 于 H, EKBC 于 K, 连接 HK, 则DHB =EKB=90 . ACB=90 , EK/AC. DA=DB, EB=EC, AH=BH, 1=HDB, CK=BK, 2= BEK. HK/ AC. 点 H、K、E 在同一条直线上. 5 分KHBFECAD2431 DAC EF BHK1216下同证法一.16、阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形 ABCD 中，AD=8cm， BA=6cm.现有一动点 P 按下列方式在矩形内运动：它从 A 点出发，沿着与 AB
22、边夹角为 45的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为 45的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当 P 点碰到 BC 边，沿着与 BC 边夹角为 45的方向作直线运动，当 P 点碰到 CD 边，再沿着与 CD 边夹角为 45的方向作直线运动，如图 1 所示，问 P 点第一次与 D 点重合前与边相碰几次， P 点第一次与 D 点重合时所经过的路径总长是多少.小贝的思考是这样开始的：如图将矩形 ABCD 沿直线 CD 折叠，得到矩形.由轴对称的知识，发现CBA1， .EP231请你参考小贝的思路解决下列问题：（1） P 点第一次与 D 点重合前与
23、边相碰_次； P 点从 A 点出发到第一次与 D 点重合时所经过的路径的总长是_cm；（2）进一步探究：改变矩形 ABCD 中 AD、 AB 的长，且满足 ADAB，动点 P从 A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD 相邻的两边上，若 P 点第一次与 B 点重合前与边相碰 7 次，则 AB： AD 的值为_.17、已知：ABC 和ADE 均为等腰直角三角形, ABCADE=90，AB=BC,AD=DE，按图 1 放置，使点 E 在 BC 上，取 CE 的中点 F，联结 DF、BF.17FEDCBAGA BCDEF（1）探索 DF、BF 的数量
24、关系和位置关系，并证明；（2）将图 1 中ADE 绕 A 点顺时针旋转 ，再联结 CE，取 CE 的中点45F（如图 2） ，问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论； （3）将图1 中ADE 绕 A 点转动任意角度（旋转角在 到 之间） ，再联结 CE，取09CE 的中点 F（如图 3） ，问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论图 1 图 2 图 3解：（1）DF=BF 且 DFBF.-1 分证明：如图 1：ABCADE= ，AB= BC，AD=DE90 CDE= ，AED=ACB=4590F 为 CE 的中点 DF=EF=CF=BF， DF=BF； -2 分 DFE2DCF，BFE2
25、BCF， EGFCGF2DCB=90， 图1即：DFB ，90DFBF. -3 分(2)仍然成立.证明：如图 2，延长 DF 交 BC 于点 G，ABCADE= DEBC， DEF=GCF，又 EF=CF，DFE=GFC DEFGCF，DE=CG，DF=FG-4 分FEDCBAFEDCBA18GA BCDEFAD=DE，AB=BC，AD=CG BDBG -5 分又ABC 90图 2 EG=CG 且 EGCG. -6 分 (3)仍然成立.证明：如图 3，延长 BF 至点 G，使 FGBF，联结 DB、DG，GEEF=CF, EFG=CFB EFGCFB， EG=CB，EGFCBF，EGCB，AB
26、= BC，ABCB, EG=AB，EGAB，ADE=90，EGABDAB=DGE DABDEG， DG=DB, ADB=EDG -7 分BDG=ADE=90 图 3BGD 为等腰直角三角形， DF=BF 且 DFBF. -8 分 18、 （1）如图 1 所示，在四边形 中， = ， 与 相交ABCDACBD于点 O， EF、 分别是 的中点，联结 EF，分别交 、于点 MN、 ，试判断 O 的形状，并加以证明；（提示：利BD用三角形中位线定理）（2）如图 2，在四边形 中，若 ， 、 分别是的中点，联结 FE 并延长，分别与 BAC、 的延长线交于AC、点 、 ，请在图 2 中画图并观察，图中
27、是否有相等的角，若有，请直接写出结论： ； 19ACDB图ACDB图FE24解：（1）结论： OMN 是等腰三角形1 分证明：如图 1， 取 的中点 H，连结 FE、 AB 、 分别是 AD、 的中点，C ， 2 分HF2 E同理， ，BD1 N又 = ， ACFHEF 3 分M O 是等腰三角形（2）正确画图（如图 2） 4 分5 分B19、 （1）观察与发现：在一次数学课堂上，老师把三角形纸片（ABAC ）沿过 A 点的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为ACAD，展开纸片（如图） ；再次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为 EF，展平纸片后得到 （如图） 有同学说
28、此时的F是等腰三角形，你同意吗？请说明理由EF（2）实践与运用将矩形纸片 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 FA处，折痕为 BE（如图） ；再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在 BE上的点 处，折痕为 EG（如图 ） ；再展平纸片（如图） 试问：D FE DCBAMN图 2MB FE DCAHBACDEFMN O图 120图中 的大小是多少？（直接回答，不用说明理由） 20. 如图 10-1，四边形 ABCD 是正方形，G 是 CD 边上的一个动点(点 G 与C、D 不重合)，以 CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG，连结BG，DE我们探究下列图中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系： （1）请直接写出图 10-1 中线段 BG、线段 DE 的数量关系及所在直线的位置关系；将图 10-1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图 10-2、如图 10-3 情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图 10-2 证明你的判断（2）将原题中正方形改为矩形（如图 10-410-6） ，且，试判断（1）中kbCGaEbBaA, )0,(ka得到的结论哪个成立，哪个不成立？并写出你的判断，不必证明.E DDCFBA图E DCAB F GA DECB F G图 图
