1、小学数学教科书中数学文化的解读分析内容摘要：作为学生数学学习的重要资料，教科书承担着向学生传递数学文化的重要职责。小学数学教材中常以显性或隐性的形式来体现数学文化。立足实际,我从数学文化的角度对人民教育出版社出版的 1-12 套小学数学教材进行分析，整理发现教材中数学文化主要通过数学思想、数学应用、数学史料、数学美四种方式进行系统有序的渗透。关键词：数学文化 教材分析作为学生数学学习的重要资料，教科书承担着向学生传递数学文化的重要职责。目前，小学数学教材中是以显性与隐性两种形式来体现数学文化，显性形式有“你知道吗” 、 “数学游戏” 、 “数学阅读”等栏目，隐性形式有 “数学在自然科学和人文中
2、多方面的应用”等。 1为了对教材有个全方面的理解和把握，笔者以人民教育出版社编写的义务教育课程标准小学数学实验教科书 1-12 册（以下简称教科书）为研究对象，对教材中的数学文化渗透情况进行了统计分析。一、通过数学思想方法的渗透体现数学文化课标明确提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。 ”2数学家张景中也曾提到:“小学生学的数学很初等，很简单。尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。 ”3深入分析教科书，可以发现数学思想方法无处不在，主要有：1.集合思想所谓集合思想
3、，就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。 4具体表现为集合概念，集合关系，集合运1张维忠.文化是促进学生理解的载体N.中国教育报,2009 年 3 月 6 日（6）2中华人民共和国教育部制定.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)M.北京:北京师范大学出版社,2001.6.3张景中.感受小学数学思想的力量J.人民教育,2007(18):32-354韩炜.新“课标”对小学数学思想的渗透J.教育科研论坛,2004 (1):17-18算的渗透。集合概念的渗透。教科书中常把具有某种属性的一些对象（物体、人、数、几何图形等等） ，用封闭的曲线圈起来看作一个整体，
4、这个整体就是一个集合，圈内的对象就是集合的元素。集合图中对象的个数，有的是有限个，有的是无限个，有的是一个也没有，这便渗透了有限集、无限集和空集的概念。如一年级教材中 6 的认识（图 1） ，便把 6 个小朋友看成一个整体，也就是一个集合，然后把 6 个小朋友抽象成 6 个点，即意味着集合的元素有 6 个。又如一年级上册 0 的认识（图 2） ，第三幅图中盘子里没有桃子，该集合中没有元素，也就是空集。集合关系的渗透。教科书以直观的形式渗透集合之间的等价关系和包含关系的情况也是屡见不鲜的。如，在一年级上册第 67 页（图 3） ，通过比较小兔和砖引出“同样多”的概念，渗透了集合之间的等价关系。而
5、在讲解几何图形之间的关系时，教科书利用图形间的关系向学生渗透集合之间包含关系。如四年级下册三角形分类（图 4） 。教科书中对子集的思想渗透也是很多，如四边形、长方形、正方形、平行四边形的关系，等腰三角形与等边三角形的关系，长方体和正方体的关系。集合运算的渗透。在一年级数学书中，并集被用来说明加法的意义，差集被用来说明减法的意义。如一年级上册加法的主题图（图 6） ，一年级下册 20以内的减法主题图（图 7） 。三年级下册数学广角 （图 8） ，则是通过集合图非常清晰地表示出有 3 个人是重复的，体现着交集思想的渗透。教科书中涉及图1 6的认识识图2 0的认识图5 四边形的关系 图4 三角形的分
6、类图3 同样多交集思想的还有公因数，公倍数等。2.符号化思想英国著名数学家罗素曾说：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。 ”符号化思想即是指人们有意识地、普遍地运用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)去表述研究的对象。 5符号化思想主要从以下几个方面作了渗透。数学符号的引入。根据小学生的年龄、思维特点一步步，教材有层次的引入了一些常用数学符号。 （表 1）5王建,程宏.符号化思想与小学数学,学科探索研究,2006(10):41-43图7 20以内的减法图6 加法的意义图8 数学广角变元思想。教科书在不同阶段，对变元的思想有不同水平、不同形式的渗透，以便让学生逐步了解变元思想。如，
7、一年级上册加法的练习在算式中用( )代表变元符号 x (图 9)。二年级下册思考题中，用 、 表示数字，让学生求解(图 10)。这些都是变元思想的体现。用字母表示数的思想。教科书在第一学段简单渗透的基础上，从第二学段开始接触用字母表示数，还特别编排了一个单元让学生系统学习。主要体现在以下几个方式。 （表 2）列方程解应用题的思想。五年级上册的教科书有一个独立的单元让学生系图10 数学思考题图9 加法的练习统学习列方程解应用题的方法，并且在六年级的分数应用题及一些数学广角中得到具体应用。例如，五年级上册较复杂的方程的学习(图 11)，六年级上册用方程解决问题。(图 12)图12 解决问题3.转化
8、思想转化思想是将有待解决或未解决的问题，转化为在已有知识的范围内可解决的问题，它是解决数学问题的基本思路和途径之一,是一种重要的数学思想方法。 6它在教科书中有以下三种体现。计算教学中体现。比如，多位数乘多位数的法则，实质上是把多位数乘多位数转化为一位数乘多位数（图 13） ；而一位数乘多位数的法则，则是将其与表内乘法进行沟通；把小数加减法转化成整数加减法；小数乘法则利用积的变化规律转化为整数乘法。可以这么说，教材中后续计算知识的学习，都是通过将其转化成原来的知识进行迁移的。图13 多位数乘多位数公式推导中体现。平面图形的面积公式的推导，往往是利用面积的可加性和全等形等积这两个公理。如，利用剪
9、拼法将平行四边形的面积计算问题转化为长方形的面积计算(图 14)；将三角形和梯形的面积计算归结为平行四边形的面积计算。 6张茹华.小学数学思想方法及其教学研究J,内蒙古师范大学学报教育科学版,2009(2): 97-98图11 稍复杂的方程图14平行四边形的面积推导数学广角中安排。作为一种重要的思想方法，教材还专门安排了数学广角的内容，以引导学生转化的思想解决实际问题。如三年级下册的等量代换（图15） ，解决这个问题里学生通过转化，建立 1 头牛和（ ）只羊的联系，进行解决这个问题。如果说这是以图式方式渗透，那么六年级上册的鸡兔同笼则通过文字结合。 （图 16）图15 等量代换4.极限思想极限
10、思想是研究变量在无限变化中的变化趋势的思想，是用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。 7教科书中极限思想主要体现如下。数与计算的无限多。教科书中数与计算领域的很多知识都会涉及到数量无限多的情况。如在学习“自然数” （图 17） 、 “循环小数” （图 18）这些概念时，让学生体会自然数是数不完的，循环小数的小数位数有无限多个。图17 自然数 图18 循环小数几何图形的无限延伸。许多几何概念中都具有无限性的，如直线 、射线、7朱秀英.例谈小学数学中的思想方法J，中国教育技术装备，2009（7）：109图16 鸡兔同笼角的边（图 19）、平行线的长度等等它们都是可以
11、无限延伸的。图19 直线、射线和角 图20圆的面积问题解决方法上的无限逼近。主要表现在推导圆面积公式（图 20）的过程中，通过“化圆为方” ，拼成近似的长方形，推出圆面积公式。 “如果分的份数越多，每一份就分越小，拼图形越来越逼近边长方形后。 ”简单的文字，引导学生在“有限分割”的基础上想象“无限细分” ，领会“将圆无限细分后拼成的是真正的长方形” 。5.数形结合的思想数形结合思想，就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。通过对图形的认识、数形转化，以提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易，化抽象为具体。 8有以下三种表现形式。数轴。数轴不但将抽象的“数”
12、直观形象化，而且也有助于理解运算，将运算直观形象化。教材中从第一册开始就渗透引导了数轴。如认识了小数之后，利用数轴找小数的位置，借助形理解小数的意义（图 21） 。线段图。线段图是理解抽象数量关系的形象化、视觉化的工具，教材中很多问题的解决都是依托线段图进行分析。例如求差、求和两步应用题，分数应用题（图 22） 。 面积模型。在分数的认识，分数的大小比较及分数运算，教材中总是将分数与图形结合起来。例如三年级上册的分数的大小比较（图 23） ，教材呈现分8刘加霞.“数形结合”思想及其在教学中的渗透（下）J,小学数学数学版,2008(5):44-46图22 分数应用题图21 利用数轴认识小数数对应
13、的图形，再让学生比较大小。六年级上册的分数乘法的运算（图 24） ，也是通过逐步呈现图形理解分数，乘号所表示的意义。直角坐标系。这部分的内容，只在六年级的教科书有涉及。如六年级上册学习“数对”时（图 25） ，将“座位”平面图抽象为比较形象的“直角坐标系” ，这是学生进第一次真正和直角坐标系面对面。对直角坐标系的初步认识，是学生在学习“正比例关系”时（图 26） ，借助于形象的图象，来深入理解抽象的函数关系。图25 位置与方向 图26 正比例函数6.函数思想函数思想，是指用函数的观点建立变量之间的关系，进而运用函数的性质去分析问题、转化问题和解决问题。 9函数思想在小学阶段强调的是“渗透”,让
14、学生感受到“于变化之中寻求不变,并把握规律的重要性” 。小学阶段所涉及的函数主要有：和、差不变时，两个“加数”之间是特殊的一次(线性)函数关系。例如，在“数的组成与分解” （图 27）中，两个加数之间之间是线性函数关系： y=-x+4(即 x+y=10)。9刘加霞.函数思想在小学数学教学中的渗透(上)J,小学数学数学版,2008（1):41图27 数的组成图23 分数的大小比较 图24 分数乘法正比例函数(y=kx，其中 k 是大于零的常数)。除了六年级专门的正比例函数学习，其他年级在探讨变化规律或数量关系时都有涉及。例如，当商不变时，被除数就是除数的正比例函数（图 28） ；单价不变时，总价
15、就是数量的正比例函数；正方形的周长是边长的正比例函数；按比(比值不变)分配时，一个量就是另一个量的正比例函数；等等。反比例函数(特殊的幂函数)。和正比例函数的渗透一样。当两个数的乘积不变时，一个因数是另一个因数的反比例函数。例如，积不变时，两个因数之间的关系（29） ；路程不变时，速度和时间是反比例关系；总量一定时，工作效率和工作时间是反比例关系等等。一元二次函数(y=a 2+bx+c，其中 a、b、c 是常数，且 a0)。例如，在正方形面积，圆的面积公式中，面积是边长(半径)的二次函数。可以说,函数思想无处不在,只要蕴藏着变化的规律,也即蕴涵着函数关系。7.统计思想数学课程标准首次将“统计与
16、概率”作为一个完整的知识板块纳入小学数学课程体系，于是统计教学得到了更多地关注，教科书中也更多地渗透了统计思想。小学数学中统计思想体现在：简单的数据整理和求平均数，简单的统计表和统计图。学生在会整理、制表、作图的同时要能从数据、图表中发现一些相关的问题，得出一些结论。 （详见表 3）图29 积的变化规律图28 商的变化规律8.模型化思想数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，是数学自身发展的阶梯。研究模型可以帮助学生探索数学的作用，产生对数学学习的兴趣。 10在小学阶段，数学模型是数学学习内容中的重要部分。小学生学习这些数学知识的过程，实际上就是对一系列数学模型的理解、把握的过程。教科书中数学模型的表现形式为一系列的概念、算法、性质、定律及公理等。例如，五年级下册质数和合数（图 30） ，先让学生写出 120 各数的因数。再根据它们的因数的个数有什么规律进行分析，完成表格。最后，抓住本质的东西再进行概括，并用数学语言进行描述“一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数(或素数)” 、 “一个数，如果除了 1 和它本身两个因数还有别的因数，这样的数叫做合数” 。这样就建立起了质数、合数这几个概念的模型。10孔企平，张维忠等.数学新课程与数学学习M.北京:高等教育出版社,2003图30质数和合数
