1、第二章综合检测时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半以上推理运用的推理规则是( )A三段论推理 B假言推理C关系推理 D完全归纳推理答案 D解析 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故 为完全归纳推理2数列 1,3,6,10,15，的递推公式可能是( )A.Error!B.Er
2、ror!C.Error!D.Error!答案 B解析 记数列为 an，由已知观察规律：a 2 比 a1 多 2，a3 比 a2 多 3，a4 比 a3 多 4，可知当 n2 时，a n 比 an1 多 n，可得递推关系Error!(n2， nN *)3有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D不是以上错误答案 C解析 大小前提都正确，其推理形式 错误故应选 C.4用数学归纳法证明等式 123(n3) (nN *)时，验证(n 3)(n 4)2n1，左边应取的项是( )A1 B12C123
3、D1234答案 D解析 当 n1 时，左1 2(1 3)124，故应选 D.5在 R 上定义运算：xyx(1y)若不等式( xa) (xa) 1 对任意实数 x 都成立，则( )A1a1 B0a2C a 12 32D a32 12答案 C解析 类比题目所给运算的形式，得到不等式 (xa) (xa)0不等式恒成立的充要条件是 14(a 2a1) 0， 0，c 1 c c c 1所以 0，所以 a 时，f(2 k1 )f(2 k)12 13 1n n2_.答案 12k 1 12k 2 12k 1解析 f(2 k1 )1 12 13 12k 1f(2k)1 12 13 12kf(2k1 ) f(2k
4、) .12k 1 12k 2 12k 115观察sin 210cos 240 sin10cos40 ；34sin 26cos 236sin6cos36 .两式的结构特点可提出一个猜想的等式为34_答案 sin 2 cos2(30)sincos(30 ) 34解析 观察 401030 ，36630 ，由此猜想：sin2cos 2(30) sin cos(30) .34可以证明此结论是正确的，证 明如下：sin2cos 2(30) sin cos(30) sin(302 )sin30 1 cos(602 )cos2 1 cos22 1 cos(60 2)2 12 12sin(302 )12 121
5、 2sin(302)sin30 sin(302)12 12 12 sin(30 2) sin(302) .34 12 12 3416设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a、bP，都有ab、ab、ab、 P(除数 b0) ，则称 P 是一个数域例如有理数集 Q 是数域；数集abF a b |a，bQ也是数域有下列命题：2整数集是数域；若有理数集 QM，则数集 M 必为数域；数域必为无限集；存在无穷多个数域其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)答案 解析 考查阅读理解、分析等学 习能力整数 a2，b4， 不是整数；ab如将有理数集 Q，添上元素 ，得到数集 M，则取 a
6、3，b ，abM；2 2由数域 P 的定义知，若 aP，bP(P 中至少含有两个元素)，则有 abP，从而a2b，a3b，anbP，P 中必含有无穷多个元素，对设 x 是一个非完全平方正整数(x1)， a，bQ， 则由数域定义知，Fab |a、bQ 必x是数域，这样的数域 F 有无穷 多个三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分 12 分)已知：a、b、cR，且 abc1.求证：a 2b 2c 2 .13证明 由 a2b 22ab，及 b2c 22bc， c2a 22ca.三式相加得 a2b 2c 2abbcca .3(a 2b 2c
7、 2)(a 2b 2c 2)2(abbcca)( abc) 2.由 abc1，得 3(a2b 2c 2)1，即 a2b 2c 2 .1318(本题满分 12 分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论2cos ，4 22cos ，8 2 22cos ，16 2 2 2证明 2cos 2 4 22 22cos 2 28 1 cos42 1222 2 22cos 216 1 cos822 1 122 22 2 2 219(本题满分 12 分)已知数列a n满足 a13，a nan1 2an1 1.(1)求 a2、a 3、a 4；(2)求证：数列 是等差数列，并写出数列a n的一个通项公式1an
8、 1解析 (1)由 anan1 2a n1 1 得an2 ，1an 1代入 a13，n 依次取值 2,3,4，得a22 ，a32 ，a42 .13 53 35 75 57 97(2)证明：由 anan1 2a n1 1 变形，得(an1)(a n1 1)(a n1)( an1 1)，即 1，1an 1 1an 1 1所以 是等差数列1an 1由 ，所以 n1，1a1 1 12 1an 1 12变形得 an1 ，22n 1所以 an 为数列a n的一个通项公式2n 12n 120(本题满分 12 分)已知函数 f(x)a x (a1)x 2x 1(1)证明：函数 f(x)在( 1，)上为增函数；
9、(2)用反证法证明方程 f(x)0 没有负根解析 (1)证法 1：任取 x1，x2(1，)，不妨设 x10， 且ax10，又x 110，x 210 ，f(x 2)f(x 1) x2 2x2 1 x1 2x1 1(x2 2)(x1 1) (x1 2)(x2 1)(x1 1)(x2 1) 0，3(x2 x1)(x1 1)(x2 1)于是 f(x2)f(x 1)ax 2ax 1 0，x2 2x2 1 x1 2x1 1故函数 f(x)在(1，)上为增函数证法 2：f(x) a xlna a xlnax 1 (x 2)(x 1)2 3(x 1)2a1，lna0，a xlna 0，3(x 1)2f(x)0
10、 在( 1，)上恒成立，即 f(x)在(1，)上为增函数(2)解法 1：设存在 x00，ax00，x0 2x0 1f(x 0)0.综上，x0，即方程 f(x)0 无 负根21(本题满分 12 分)我们知道，在ABC 中，若 c2a 2b 2，则ABC 是直角三角形现在请你研究：若 cna nb n(n2) ，问ABC 为何种三角形？为什么？解析 锐角三角形 c na nb n (n2) ，ca, cb，由 c 是ABC 的最大边，所以要 证ABC 是锐角三角形，只需证角 C 为锐角，即证cosC0.cosC ，a2 b2 c22ab要证 cosC0，只要证 a2 b2c 2，注意到条件：a n
11、b nc n，于是将等价变形为：(a 2b 2)cn2 c n.ca，cb，n2，c n2 a n2 ，cn2 b n2 ，即 cn2 a n2 0，c n2 b n2 0，从而(a 2b 2)cn2 c n( a2b 2)cn2 a nb na 2(cn 2a n2 )b 2(cn2 b n2 )0，这说明式成立，从而式也成立故 cosC0，C 是锐角，ABC 为锐角三角形22(本题满分 14 分)(2010安徽理，20)设数列 a1，a 2，a n，中的每一项都不为 0.证明a n为等差数列的充分必要条件是：对任何 nN ，都有 1a1a2 1a2a3 .1anan 1 na1an 1分析
12、 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性证明 先证必要性设数列a n的公差为 d.若 d0， 则所述等式显然成立若 d0，则 1a1a2 1a2a3 1anan 11d(a2 a1a1a2 a3 a2a2a3 an 1 ananan 1)1d(1a1 1a2) (1a2 1a3) (1an 1an 1) 1d(1a1 1an 1) 1dan 1 a1a1an 1 .na1an 1再证充分性证法 1：(数学归纳法)设所述的等式对一切 nN 都成立首先，在等式 1a1a2 1a2a32a1a3两
13、端同乘 a1a2a3，即得 a1a 32a 2，所以 a1，a2，a3 成等差数列，记公差为 d，则a2a 1d.假设 ak a1(k 1)d，当 n k1 时，观察如下两个等式 ，1a1a2 1a2a3 1ak 1ak k 1a1ak 1a1a2 1a2a3 1ak 1ak 1akak 1 ka1ak 1将代入，得 ，k 1a1ak 1akak 1 ka1ak 1在该式两端同乘 a1akak1 ，得( k1) ak1 a 1ka k.将 aka 1(k1)d 代入其中，整理后，得 ak1 a 1kd.由数学归纳法原理知，对一切 nN，都有 ana 1(n1)d，所以a n是公差为 d 的等差数列证法 2：(直接证法)依题意有 ，1a1a2 1a2a3 1anan 1 na1an 1 .1a1a2 1a2a3 1anan 1 1an 1an 2 n 1a1an 1得 ，1an 1an 2 n 1a1an 2 na1an 1在上式两端同乘 a1an1 an2 ，得 a1(n1)a n1 na n2 .同理可得 a1na n(n1)a n1 (n2) 得 2nan1 n(a n2 a n)即 an2 a n1 a n1 a n，由证法 1 知 a3 a2 a2 a1，故上式对任意 nN *均成立所以 an是等差数列
