1、精解三角函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数 .幂函数 y = x 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax无周期，一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数 y=sin x 的最小正周期在单位圆中，设任意角 的正弦线为有向线段 MP.正弦函数的周期性动点 P 每旋转一周，正弦线 MP 的即时位置和变化方向重现一次.同时还看到，当 P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会
2、重现.因此，正弦函数 y=sinx 的最小正周期 2.2、y=sin （ x）的最小正周期设 0，y =sin（x ）的最小正周期设为 L .按定义 y = sin （x+L ） = sin（x+ L） = sinx .令 x = x 则有 sin （x + L） = sin x因为 sinx 最小正周期是 2，所以有例如 sin2x 的最小正周期为sin 的最小正周期为3、正弦函数 y=sin（x +） 的周期性对正弦函数 sinx 的自变量作“一次替代” 后，成形式 y = sin （ x+）.它的最小正周期与 y = sinx 的最小正周期相同，都是 .如 的最小周期与 y = sin（
3、3x）相同，都是 .于是，余弦函数 的最小正周期与 sinx 的最小正周期相同，都是 2.二、复合函数的周期性将正弦函数 y = sin x 进行周期变换 xx，sinx sinx后者周期变为而在以下的各种变换中，如（1）初相变换 sinx sin（ x+）；（2）振幅变换 sin（x +） Asin（ x+）；（3）纵移变换 Asin（ x +） Asin（ x+）+m；后者周期都不变，亦即 Asin（ x +） +m 与 sin（x）的周期相同，都是 .而对复合函数 f （sinx）的周期性，由具体问题确定.1、复合函数 f（sinx） 的周期性【例题】 研究以下函数的周期性：（1）2 s
4、inx； （2）（2） 的定义域为2k ，2k+ ，值域为0，1，作图可知， 它是最小正周期为2 的周期函数.【解答】 （1）2sin x 的定义域为 R，值域为 ，作图可知，它是最小正周期为 2 的周期函数.【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，loga x，sinx， ，sin（sinx）都是最小正周期 2 的周期函数.2、y= sin3 x 的周期性对于 y = sin3x =(sinx)3，L =2 肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin3x 没有比 2 更小的周期，故最小正周期为 2.3
5、、y= sin2 x 的周期性对于 y = sin2x = (sinx)2，L=2 肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2？可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin2x 的最小正周期为 ，不是 2.4、sin 2n x 和 sin2n-1 x 的周期性y = sin2x 的最小正周期为 ，还可通过另外一种复合方式得到.因为 cos2x 的周期是 ，故 sin2x 的周期也是 .sin2x 的周期，由 cosx 的 2 变为 sin2x 的 . 就是因为符号法 “负负得正”所致.因此，正弦函数 sinx 的幂符合函数 sinmx，当 m=2n 时，sin m x 的最小正周
6、期为 ；m = 2n1 时，sinmx 的最小正周期是 2.5、幂复合函数举例【例 1】 求 y =|sinx|的最小正周期 .【解答】 最小正周期为 .【例 2】 求的最小正周期.【解答】 最小正周期为 2.【例 3】 求 的最小正周期.【解答】 最小正周期为 .【说明】 正弦函数 sinx 的幂复合函数 .当 q 为奇数时，周期为 2；q 为偶数时，周期为 .三、周期函数的和函数两个周期函数，如 sin x 和 cosx ，它们最小正周期相同，都是2. 那么它们的和函数，即 sinx + cos x 的最小正周期如何？和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种
7、情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？1、函数 sinx + sin2 x 的周期性sin x 的最小正周期为 2，sin2x 的最小正周期是 ，它们之间谁依谁，或依赖一个第三者？列表如下.表上看到函数 sinx+sin2x 的最小正周期是 2.2、函数 sinx + sin2x 的周期性依据上表，作 sinx+sin2x 的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为 2. 由 sinx，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的 2 倍. 从图上看到，sinx+sin2x 仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数 sinx+sin x 的周期性sinx 的最小正周期为 2，sin x 的最小正周期是 3. 们之间的和 sinx + sin x 的最小正周期也由“较大的” 决定吗？即“和函数”的周期为 3 吗？不妨按周期定义进行检验. 设则 x0 +3=因此 3 不是 sinx + sin x 的最小正周期.通过作图、直观看到，sinx +sin x 的最小正周期为 6，即 sinx 和 sin x最小正周期的最小倍数.
