1、2017 年全 国高 中数学 联赛A 卷 一试 一、填 空题 1. 设 ) (x f 是定义在 R 上 的函数，对任 意实数 x 有 1 ) 4 ( ) 3 ( = + x f x f . 又当 7 0 x 时， ) 9 ( log ) ( 2 x x f = ，则 ) 100 ( f 的值为_. 2.若 实数 y x, 满足 1 cos 2 2 = + y x ，则 y x cos 的取值 范围是_. 3.在平 面直 角坐 标系 xOy 中 ，椭 圆 C 的方 程为 1 10 9 : 2 2 = + y x ，F 为C 的 上焦 点，A 为C 的 右顶点，P 是 C 上 位于 第一 象限 内
2、 的动 点， 则四 边形OAPF 的面积的 最大 值为_. 4.若一 个三 位数 中任 意两 个相邻 数码 的差 不超 过 1 ，则称 其为 “平 稳数 ”. 平稳 数 的个 数是 5. 正三 棱锥 ABC P 中， 1 = AB ， 2 = AP ，过 AB 的平面 将 其 体积 平分 ，则棱 PC 与 平面 所成角 的余 弦值 为_. 6.在平 面直 角坐 标系 xOy 中， 点集 1 , 0 , 1 , ) , ( = = y x y x K .在 K 中随 机取 出三 个点 ， 则这 三点中 存在 两点 之间 距离 为 5 的概 率为_. 7.在 ABC 中， M 是边 BC 的中点，
3、 N 是线段 BM 的中点.若 3 = A ， ABC 的面积为 3 ，则 AN AM 的最小 值为_. 8. 设两个严格递增的正整数数列 n n b a , 满足： 2017 10 10 = b a ，对任意正整数 n ，有 n n n a a a + = + + 1 2 ， n n b b 2 1 = + ，则 1 1 b a + 的 所有 可能 值为_. 二、解答 题 9.设 m k, 为实数 ，不 等式 1 2 m kx x 对 所有 b a x , 成立.证明 ： 2 2 a b . 10.设 3 2 1 , , x x x 是 非负 实数 ， 满足 1 3 2 1 = + + x
4、x x ，求 ) 5 3 )( 5 3 ( 3 2 1 3 2 1 x x x x x x + + + + 的最 小值和 最大 值. 11. 设复 数 2 1 , z z 满足 0 ) Re( 1 z ， 0 ) Re( 2 z ，且 2 ) Re( ) Re( 2 2 2 1 = = z z （ 其中 ) Re(z 表示 复数 z 的实部 ）. （1 ）求 ) Re( 2 1 z z 的 最小 值； （2 ）求 2 1 2 1 2 2 z z z z + + + 的最 小值. 2017 年全 国高 中数学 联赛A 卷 二 试 一.如 图 ，在 ABC 中， AC AB = ， I 为 ABC
5、 的内 心， 以 A 为圆心 ， AB 为半径 作圆 1 ，以 I 为圆心 ， IB 为半径 作圆 2 ， 过点 I B, 的圆 3 与 1 , 2 分别交于点 Q P, （不同于点 B ）. 设 IP 与 BQ 交 于点 R .证 明： CR BR 二.设 数列 n a 定 义为 1 1 = a ， , 2 , 1 , , , , 1 = + = + n n a n a n a n a a n n n n n . 求 满足 2017 3 r a r 的正整 数 r 的个数. 三.将 33 33 方 格纸 中每 个小 方格染 三 种颜 色之 一， 使得 每种颜 色 的小 方格 的个 数相 等.
6、 若相 邻连个 小方 格的 颜色 不同 ，则称 它们 的公 共边 为“ 分隔边 ”. 试 求分 隔边 条数的 最 小值. 四.设 n m, 均是 大于 1 的 整数， n m ， n a a a , , , 2 1 是 n 个不超 过 m 的互不 相同 的正整 数， 且 n a a a , , , 2 1 互素. 证明：对任意实数 x ，均存在一个 ) 1 ( n i i ，使得 x m m x a i ) 1 ( 2 + ，这里 y 表示 实数 y 到与 它最 近的整 数的 距离. 2017 年全 国高 中数学 联赛A 卷 一试 答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 1
7、0. 11. 2017 年全 国高 中数学 联赛A 卷 二 试 答案 一. 二. 三. 四. 2016 年 全国 高中数 学 联 合竞 赛一 试（A 卷） 参 考答 案及 评分 标准 说 明： 1. 评阅 试卷 时，请 依据 本评 分标准. 填空题只 设 8 分和 0 分两档； 其他 各题的 评 阅， 请严格 按照 本评分 标准 的评分 档次 给分， 不要 增加其 他中 间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参 考本 评分标 准适 当划分 档次 评分 ， 解答 题中第 9 小题 4 分 为一 个档次 ， 第 10 、 11 小题 5 分为一 个档次
8、 ，不 要增加 其他 中间档 次 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分 1. 设实数 a 满足 3 9 11 a a aa = ， 即 2 1 9 11 1 a ，所以 2 10 4 , 93 a 又 0 a ，故 2 3 10 , 33 a 2. 设复数 , zw 满足 3, 7 4i z z wz w ，其 中 i 是虚数单位， , zw 分 别表示 , zw 的共轭复数，则 22 z wz w 的模为 答案： 65 解 ：由 运算性质 ， 22 7 4i z w z w z w zw zw ， 因为 2 z 与 2 w 为实数， Re 0 zw zw ， 故 22
9、 7, 4i z w zw zw ，又 3 z ，所 以 2 2 w 从而 22 2 2 4 2 9 8 8i 1 8i z w z w z w zw zw 因此， 22 z wz w 的模为 22 1 8 65 3. 正实数 , uvw 均不等于 1， 若 log log 5 uv vw w ，log log 3 vw uv ，则 log w u 的值为 答案： 4 5 解 ：令 log , log uv va wb ，则 11 log , log vw uv ab ， log log log log u u uv vw v v w a ab ， 条件化为 11 5, 3 a ab b ab
10、 ， 由此 可 得 5 4 ab 因此 14 log log log 5 w wv u vu ab 4. 袋子 A 中装有 2 张10 元纸 币和 3 张1 元纸币 ，袋子 B 中 装有 4 张 5 元纸币 和 3 张1 元纸币现随 机从 两个袋子中各取出两张 纸币，则 A 中剩下的纸币 面 值 1 之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为 答案： 9 35 解 ： 一种取法符合要求， 等价于从 A 中取走的两张纸币的总面值 a 小于从 B 中取走的两张纸币的总面值 b ，从 而 5 5 10 ab = ，即 从 B 中取走的两张纸币不能 都是1 元纸币，相应有 22 73 C C 18 =
11、种取法因此，所求的概率为 22 57 3 18 54 9 = C C 10 21 35 5. 设 P 为一圆锥的顶点， , ABC 是其底面圆周上的三点， 满足 90 ABC ， M 为 AP 的中点若 1, 2, 2 AB AC AP ，则二面角 M BC A 的大小 为 答案： 2 arctan 3 解 ：由 90 ABC 知， AC 为底面圆的直径 设底面中心为O ，则 PO 平面 ABC 易知 1 1 2 AO AC ，进而 22 1 PO AP AO 设 H 为 M 在底面上的射影，则 H 为 AO 的中 点在底面中作 HK BC 于点 K ， 则由三垂线定理 知 MK BC ，从而
12、 MKH 为二面角 M BC A 的平面角 因 1 2 MH AH ，结合 HK 与 AB 平行知， 3 4 HK HC AB AC ，即 3 4 HK ， 这样 2 tan 3 MH MKH HK 故二面角 M BC A 的大小为 2 arctan 3 6. 设函数 44 ( ) sin cos 10 10 kx kx fx ，其中 k 是一个正整数若对任意实数 a ， 均有 () 1 () fx a x a fx x R ，则 k 的最小值为 答案：16 解 ：由条件知， 2 2 2 22 ( ) sin cos 2sin cos 10 10 10 10 kx kx kx kx fx 2
13、1 12 3 1 sin cos 2 54 5 4 kx kx ， 其中当且仅 当 5 () m xm k Z 时 ， () fx 取到最大值 根据 条件知， 任意一个长 为1 的开区间 ( , 1) aa 至少包含一个最大值点，从而 5 1 k ，即 5 k 反之，当 5 k 时，任意一个开区间 ( , 1) aa 均包含 () fx 的一个完整周期， 此时 () 1 () fx a x a fx x R 成立 综上可知，正整数 k 的最小值为 5 1 16 2 7. 双曲线 C 的方程 为 2 2 1 3 y x ，左、右 焦点 分别 为 1 F 、 2 F 过点 2 F 作一 直线与 双
14、曲 线 C 的右半支 交于 点 , PQ ，使得 1 90 F PQ ，则 1 F PQ 的内切圆 半径是 答案： 71 解 ： 由 双曲线的性质 知 ， 12 2 13 4 FF ， 12 12 2 PF PF QF QF 因 1 90 F PQ ，故 22 2 1 2 12 PF PF F F ，因此 22 2 12 1 2 12 2( ) ( ) PF PF PF PF PF PF 22 2 4 2 27 从而直角 1 F PQ 的内切圆半径是 1 1 12 12 1 11 ( ) ( ) ( ) 71 2 22 r F P PQ FQ PF PF QF QF 8. 设 1234 , a
15、aaa 是1, 2, ,100 中的 4 个互不相同的数，满足 222 222 2 1 2 3 2 3 4 12 23 34 () () ( ) aaa aaa a aa aa a ， 则这样的有序数组 1234 (, , , ) aaaa 的个数为 答案： 40 解 ： 由柯西不等式知， 222 222 2 1 2 3 2 3 4 12 23 34 () () ( ) aaa aaa a aa aa a ，等 号成立的充分必要条件是 3 12 234 a aa aaa ， 即 1234 , aaaa 成等比数列 于是问题等 价 于 计算满足 1234 , , , 1, 2, 3, ,100
16、aaaa 的 等比数列 1234 , aaaa 的 个数设 等比数列的公比 1 q ， 且 q 为有理数 记 n q m ， 其中 , mn 为互素的正整数， 且 mn 先考虑 nm 的情况 此时 3 3 1 41 3 an n aa mm ， 注意到 33 , mn 互素，故 1 3 a l m 为正整数 相应地， 1234 , aaaa 分别等于 3 2 23 , m lm n lm n ln l ，它们均为正 整数这表明，对任意 给 定的 1 n q m ，满足条件并 以 q 为公比的等比数列 1234 , aaaa 的 个数 ，即为 满 足不等式 3 100 nl 的正整数l 的个数，
17、即 3 100 n 由于 3 5 100 ， 故仅需考虑 34 2, 3, , 4, 23 q 这些情况， 相应的等比数列的个 数为 100 100 100 100 100 12 3 3 1 1 20 8 27 27 64 64 当 nm 时，由对称性可知，亦有 20 个满足条件的等比数列 1234 , aaaa 综上可知，共有 40 个满足条件的有序数组 1234 (, , , ) aaaa 3 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分 解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 9. （本题满分 16 分） 在 ABC 中， 已知 23 AB AC BA BC CA CB 求 sinC
18、的最大值 解 ：由数量积的定义及 余弦定理知， 222 cos 2 bca AB AC cb A 同理得， 222 2 acb BA BC ， 2 22 2 abc CA CB 故已知条件化为 222 222 222 2 () 3 () bca acb abc ， 即 222 23 abc 8 分 由余弦定理及基本不等式，得 22 2 2 2 22 1 ( 2) 3 cos 22 ab a b abc C ab ab 36 ab ba 2 2 36 3 ab ba ， 所以 2 7 sin 1 cos 3 CC = ， 12 分 等号成立当且仅当 : : 3: 6: 5 abc 因此sinC
19、的最大值是 7 3 16 分 10. （本题满分 20 分） 已知 () fx 是 R 上的奇函数， (1) 1 f ， 且对任意 0 x ， 均有 () 1 x f xf x x 求 1 11 11 1 1 (1) 100 2 99 3 98 50 51 ff f f f f f f 的值 解 ：设 1 ( 1, 2, 3, ) n af n n ，则 1 (1) 1 af 在 () 1 x f xf x x 中取 * 1 () xk k N ， 注意到 1 1 1 1 11 k k x xk ， 及 () fx 为奇函数，可知 1 1 11 1 1 f ff k k kkk ， 5 分 即
20、 1 1 k k a ak 从而 11 1 1 11 11 ( 1)! nn k n kk k a aa a kn 10 分 因此 50 50 49 101 11 0 11 ( 1)! (100 )! ! (99 )! ii ii i aa i i ii 4 98 49 49 99 99 99 99 99 00 1 1 1 11 2 C CC 2 99! 99! 2 99! 2 99! i ii ii 20 分 11. （本题满分 20 分） 如图所示，在平面直角 坐标系 xOy 中， F 是 x 轴正半轴上的一个动点 以 F 为焦点、O 为顶点作抛物线C 设 P 是第一象限 内C 上的一点，
21、 Q 是 x 轴负半轴上一点， 使得 PQ 为 C 的切线，且 2 PQ 圆 12 , CC 均 与直线 OP 相 切于点 P ， 且均与 x 轴相切 求点 F 的坐标， 使圆 1 C 与 2 C 的面积之和取到最小值 解 ： 设抛物线C 的方程是 2 2 ( 0) y px p ， 点 Q 的坐标为 ( , 0)( 0) aa ，并 设 12 , CC 的圆心分 别为 11 1 2 2 2 ( , ), ( , ) Ox y Ox y 设直线 PQ 的方程为 ( 0) x my a m ，将其与 C 的方程联立，消去 x 可知 2 2 20 y pmy pa 因为 PQ 与 C 相切于点 P
22、 ， 所以上述方程的判 别式为 22 4 42 0 p m pa ， 解得 2a m p 进而可知，点 P 的坐标为 ( , ) (, 2 ) PP x y a pa 于是 2 2 1 0 1 2 2( 2) P a PQ m y pa a p a p 由 2 PQ 可得 2 42 4 a pa 5 分 注意到OP 与 圆 12 , CC 相切于点 P ， 所以 12 OP O O 设 圆 12 , CC 与 x 轴 分别相切于点 , MN ， 则 12 , OO OO 分别是 , POM PON 的 平分线，故 12 90 O OO 从而由射影定理 知 2 12 1 2 1 2 y y O
23、M O N O P O P OP 222 2 PP x y a pa 结合，就有 22 12 2 43 y y a pa a 10 分 由 12 , O PO 共线，可得 1 1 11 1 2 22 2 2 2 2 P P y pa y y OP OM y y y PO O N y pa y ， 化简得 5 1 2 12 2 2 y y yy pa 15 分 令 22 12 Ty y ， 则 圆 12 , CC 的面积之和为 T 根据题意，仅需考虑T 取到 最小值的情况 根据、可知， 2 22 1 2 12 1 2 12 4 ( )2 2 2 T y y yy y y yy pa 22 22
24、2 22 4 (4 3 )(2 ) (4 3 ) 2(4 3 ) 44 1 aa aa aa 作代换 2 1 ta 由于 2 4 44 2 0 t a pa ，所以 0 t 于是 (3 1)( 1) 1 1 3 4 23 4 23 4 tt T tt t tt 上式等号成立当且仅当 3 3 t ，此时 1 11 3 at 因此结合得， 2 1 31 2 1 33 33 1 3 pa t t a ， 从而 F 的坐标为 1 ,0 ,0 2 33 p 20 分 6 2016 年 全国高中 数学联合竞赛加 试 （A 卷） 参考答案及评分 标准 说 明： 1. 评 阅试 卷时 ，请严格 按照 本评分
25、标准 的评分 档次 给分. 2. 如 果考 生的 解答方法 和本 解答不 同， 只要思 路合 理、步 骤正 确，在 评卷 时可 参 考本 评分标 准适 当划分 档次 评分, 10 分为一个 档次 ，不要 增加 其他中 间档 次. 一 、 （本 题满 分40 分） 设实 数 1 2 2016 , , aa a 满足 2 1 9 11 ( 1, 2, , 2015) ii a ai + = 求 22 2 2 1 2 2 3 2015 2016 2016 1 ( )( ) ( )( ) aa aa a a a a 的最大值 解 令 22 2 2 1 2 2 3 2015 2016 2016 1 (
26、)( ) ( )( ) P aa aa a a a a = 由已知得，对 1, 2, , 2015 i = ，均有 2 22 1 11 11 0 9 ii i i aa a a + + 若 2 2016 1 0 aa ，则 0 S 10 分 以下考虑 2 2016 1 0 aa 的情况约定 2017 1 aa = 由平均不等式得 1 2016 2016 2016 22 2016 11 1 11 11 () 2016 2016 ii i i i ii P aa a a + = = = = 2016 2016 2016 2 11 1 11 (1 ) 2016 2016 i i ii ii i a
27、a aa = = = = = 20 分 2 2016 1 1 (1 ) 1 1 1 2016 2016 2 2016 4 4 ii i aa = + = = ， 所以 2016 1 4 P 30 分 当 1 2 2016 1 2 aa a = = = = 时 ， 上 述不等式等号成立，且有 2 1 9 11 ii aa + ( 1, 2, , 2015) i = ，此时 2016 1 4 P = 综上所述，所求最大值为 2016 1 4 40 分 二 、 （本 题满 分 40 分） 如图所示， 在 ABC 中， , XY 是直线 BC 上两点 （ , X BCY 顺次排列）， 使 得 BX A
28、C CY AB 设 ACX ， ABY 的外心分别为 12 , OO ，直线 12 OO 与 , AB AC 分别交于点 , UV 证明： AUV 是等腰三角形 V U O 2 O 1 Y B C A X 证法 一 作 BAC 的内角平分线交 BC 于点 P . 设三角形 ACX 和 ABY 的外 接圆分别为 1 和 2 . 由内角平分线的性质知， BP AB CP AC = . 由条件可得 BX AB CY AC = . 从而 PX BX BP AB BP PY CY CP AC CP + = = = + ， 即 CP PX BP PY = 20 分 故 P 对圆 1 和 2 的幂相等，所以
29、 P 在 1 和 2 的根轴上 30 分 于是 12 AP O O ， 这表明点 , UV 关于直线 AP 对称， 从而三角形 AUV 是等腰 三角形. 40 分 证 法 二 设 ABC 的外心为 O ， 连接 12 , OO OO 过点 12 , OO O 分别作直线 BC 的垂线，垂足分别为 12 , DD D 作 1 O K OD 于点 K 我们证明 12 OO OO 在直角三角形 1 OKO 中， 1 1 1 sin OK OO O OK 由外心的性质， 1 OO AC 又 OD BC ，故 1 O OK ACB 而 1 , DD 分别是 , BC CX 的中点，所以 11 111 2
30、22 DD CD CD CX BC BX 因此 11 1 1 1 2 sin sin 2 BX O K DD BX OO R AB O OK ACB AB R ， 这里 R 是 ABC 的外接圆半径同理 2 CY OO R AC 10 分 由已知条件可得 BX CY AB AC ，故 12 OO OO 20 分 由于 1 OO AC ，所以 12 90 AVU OO O 同理 21 90 AUV OO O 30 分 又因为 12 OO OO ，故 12 21 OO O OO O ，从 而 AUV AVU 这样 AU AV ， 即 AUV 是等腰三角形 40 分 K D 2 D D 1 O V
31、U O 2 O 1 Y B C A X P V U O 2 O 1 Y A C B X三 、 （本 题满 分 50 分） 给定空间中 10 个点, 其中任意四点不在一个平面 上将某 些点之 间用线段 相连， 若得到 的图形 中没有三 角形也 没有空间 四边形， 试确定所连线段数目的最大值 解 以这 10 个点为顶点, 所连线段为边, 得到一个 10 阶简单图 G . 我们证 明 G 的边数不超过 15 设 G 的顶点为 1 2 10 , , vv v ， 共有 k 条边， 用 deg( ) i v 表示顶点 i v 的度. 若 deg( ) 3 i v 对 1, 2, ,10 i = 都成立，
32、则 10 1 11 deg( ) 10 3 15 22 i i kv = = = 假设存在 i v 满足 deg( ) 4 i v 不妨设 1 deg( ) 4 vn = ， 且 1 v 与 21 , n vv + 均相 邻 于是 21 , n vv + 之间没有边， 否则就形成三角形所 以 ， 12 1 , n vv v + 之间恰有 n 条边 10 分 对每个 j （ 2 10 nj + ） ， j v 至多与 23 1 , , n vv v + 中的一个顶点相邻 （否则设 j v 与 ( ) ,2 1 st vv s t n 数列 n a 定义为 1 2 a = , 1 1 n nn p
33、a aa n = + , 2, 3, n = 这里 x 表示不小于实数 x 的最小整数 证明：对 3, 4, , 1 np = 均有 1 1 n n pa + 成立 证明 首先注意， n a 是整数数列 对 n 用数学归纳法 当 3 n = 时， 由条件知 2 2 ap = + ， 故 ( ) 2 2 11 pa p += + 因 p 与 2 p + 均是素数， 且 3 p ， 故必须 31 p + 因此 2 31 pa + ， 即 3 n = 时结论成 立 对 31 np ， 设对 3, , 1 kn = 成立 1 1 k k pa + ， 此时 11 1 kk pa pa kk + = ，
34、 故 22 12 2 1 11 1 11 kk kk k pa pa p a pa pa kk + += + += + + ( ) ( ) 2 11 1 k pa p k k + + = 10 分 故对 31 np ，有 ( ) ( ) 12 3 1 12 11 1 1 12 nn n pn pn pn pa pa pa n nn + + + += += + ( ) 2 123 1 123 pn pn p pa nn + + + = + ， 20 分 因此 ( ) ( ) ( ) 1 21 1 2 n n pn np pa C pnp + + += + 由此知（注意 n pn C + 是整数）
35、 ( ) ( ) ( ) 1 21 n n p n p pa + + 40 分 因 np ， p 素数，故 ( ) ( ) , ,1 nn p n p += = ， 又 2 p + 是 大于 n 的 素数，故 ( ) , 21 np+= ，从而 n 与 ( ) ( ) 2 pnp + 互素，故由 知 1 1 n n pa + 由数学归纳 法知，本题得证 50 分 2015 年 全国 高中数 学 联 合竞 赛一 试（A 卷） 参 考答 案及 评分 标准 说 明： 1. 评阅 试卷 时，请 依据 本评 分标准. 填空题只 设 8 分和 0 分两档； 其他 各题的 评 阅， 请严格 按照 本评分 标
36、准 的评分 档次 给分， 不要 增加其 他中 间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时 可 参 考本 评分标 准适 当划分 档次 评分， 解答 题中第 9 小题 4 分 为一 个档次 ， 第 10 、 11 小题 5 分为一 个档次 ，不 要增加 其他 中间档 次 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分 ，满分 64 分 1. 设 , ab 为不相等的实 数，若 二次函数 2 () f x x ax b 满足 () () fa fb ，则 (2) f 的值为 答案：4 解：由 已 知条 件及 二 次函 数图像 的轴 对称 性， 可得 22 ab
37、a ，即 20 ab ，所以 (2) 4 2 4 f ab 2. 若 实数 满足 cos tan ，则 4 1 cos sin 的值为 答案：2 解：由 条件 知， 2 cos sin ，反 复利 用此结 论， 并注 意到 22 cos sin 1 ，得 22 42 1 cos sin cos sin sin sin 2 (1 sin ) (1 cos ) 2 2 sin cos 2 3. 已知复 数数列 n z 满足 11 1, 1 i ( 1, 2, ) nn z z z nn ，其中 i 为虚 数单位， n z 表示 n z 的共轭 复数 ，则 2015 z 的 值为 答案： 2015
38、1007i 解：由已 知得 ，对 一切 正整 数 n ，有 21 1 1i 1 i 1 1i 2 i nn n n z z nz nnz ， 于是 2015 1 1007 2 2015 1007i i zz 4. 在矩形 ABCD 中， 2, 1 AB AD ，边 DC 上（包 含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延 长线上 （ 包含 点 B ）的 动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的 最小值 为 答案： 3 4 解 ：不妨设 (0, 0), (2, 0), (0,1) ABD 设 P 的 坐标为 ( , 1) t （ 其中 02 t ） ，
39、 则 由 DP BQ 得 Q 的坐标 为 (2, ) t ，故 ( , 1), (2 , 1) PA t PQ t t ， 因此 2 2 1 33 ( ) (2 ) ( 1) ( 1) 1 2 44 PA PQ t t t t t t 当 1 2 t 时， min 3 4 PA PQ 5. 在正 方体 中随 机取 3 条棱 ， 它们 两两 异面 的概 率为 答案： 2 55 解： 设正 方体 为 ABCD EFGH ，它 共有 12 条 棱， 从 中 任意 取出 3 条棱 的方 法共 有 3 12 220 C 种 下 面 考虑使 3 条棱 两两 异 面的取 法数 由于 正方 体 的棱共 确定
40、3 个互不 平行的方 向（ 即 AB 、 AD 、 AE 的方向）， 具 有 相同 方向 的 4 条棱 两两 共面 ， 因此 取 出的 3 条棱 必属于 3 个 不同的 方向 可 先取 定 AB 方向的棱 ，这 有 4 种取 法 不妨设 取的 棱就是 AB ，则 AD 方向 只能取 棱 EH 或棱 FG ，共 2 种可能 当 AD 方 向取 棱 是 EH 或 FG 时， AE 方向取 棱分别 只能是 CG 或 DH 由上可 知，3 条 棱两 两异面 的 取法 数为 42 8 ，故所 求概 率为 82 220 55 6. 在平 面直 角坐 标系 xOy 中， 点集 (, ) 3 6 3 6 0 K xy x y x y 所对 应的平 面区 域的 面积 为 答案：24 解：设 1 (, ) 3 6 0 K xy x y 先 考 虑 1 K 在 第 一象 限中 的部 分，此时 有 36 xy ，故 这些 点对 应于图 中的 OCD 及其 内部 由 对称性 知， 1 K 对 应的 区域是 图中 以原 点 O 为中心 的菱形 ABCD 及 其内 部 同理， 设 2 (, ) 3 6 0 K xy x y ，则 2 K 对 应的区 域是 图中 以 O 为中心 的菱形 EFGH 及
