1、数学分析专题研究学习辅导（四）第一章 集合与映射(四)序关系与基数学习目标通过这部分内容的学习，要理解序关系和偏序集的概念，了解最大（小） 、极大（小）元的概念，知道良序集；理解有关定理，掌握有关定理的证明方法和有关例题的处理方法。理解等式、基数等概念，知道 定理。Bernsti内容提要(一) 序关系序关系(偏序关系)： 集合X中满足传递性的二元关系.偏序集（半序集）(X，)：集合X中含有偏序关系时，称X为偏序集.上(下)方有界的： 若有bX，对 aA，恒有a b(ba)，则称b为A的上(下)界.其中，A为半序集X的子集.有界: 当A 既上方有界又下方有界时，称A为有界.最大(小)元maxA
2、(minA): 当aA且a是A 的上(下)界，则称a为A的最大(小)元.上(下)确界supA(infA): 在A的上(下)界集中若有最小(大)元，则称之为A的最小(大)上( 下)界.极大(小)元： 若对任何xA，ax (ax)都不成立，则称 a为A的极大(小)元.全序集： 满足反对称性和可比性的半序集(X，)为全序集，为全序关系.序完备： 每个有上(下)界的非空子集必有上(下)确界的全序集.(二) 基数等势XY: X与Y 之间存在一个从X到Y上的双射.结论1： 等势关系是等价关系.基数(势) ： 按等势的等价关系将集合分类，与集合A等势的集合类的特征以 表A示，称为基数.设 ， ，若 A，使
3、B ，则规定 ；若A与B不等势时，规定B11 .结论2： 若 且 ，则 = .结论3： 对于基数 ， ，在下述三种关系中有且仅有一个成立：= , , 结论4： 若A B C，且AC，则BC .结论5： 基数的大小关系是序关系.概念理解(一) 关于序关系实数之间的小于等于关系，集合之间的包含关系都具有传递的性质，我们把具有这种性质的关系称为序关系. 因此，我们在学习本节内容时应该理解序关系和偏序集的概念，了解最大（小）元、极大（小）元的概念，知道良序集；理解有关定理，掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。1序关系“”不能单纯地理解为实数集中元素之间的“小于”关系，它表示序关系中有序元素偶
4、所含元素的顺序. 若(a , b) ，则 ab 的含义是 a 小于 b 或 a 在序上排在b 的前面，也可以是 b 大于 a 或 b 在序上排在 a 的后面. 例如，集合 A=a , b , c 的幂集 = ，a ，b，c， a，b，a，c ，b，c，A2a，b，c满足传递性，如 b a，b ，a，b a，b，c，则 b a，b，c ，所以，幂集 是半序集.A2注意，在半序集(X，)中的任意两个元素 a 与 b，不是一定有关系 ab 或 ba 的也就是说任意两个元素之间不一定有可比性. 例如集族 中的元素a，c 与b，c之间不A2存在包含关系.若半序集(X，)还满足反对称性和可比性，则称为全序
5、关系，(X，)为全序集. 例如，自然数集 N 上的小于等于关系 是全序关系. 集合 A = , a , a , b , a , b , c , a , b , c , d上的包含关系 是全序关系. 2半序集(X，)中最大元与极大元是不一样的. 若集合A X，则A的最大元应该大于等于A中其它各元素. A的极大元应该不小于A中其它各元素，即它大于等于A中的一些元素，而与A中另一些元素无关系. 最大元不一定存在，如果存在，必定唯一 . 在非空有限集合A中，极大元必定存在，但不一定唯一. 类似地，最小元与极小元也有这种区别. 例如，集合 A=a , b , c 的幂集 = ，a ，b，c， a，b，a
6、，c ，b，c，A2a，b，c上的包含关系 是序关系，半序集( ， )中的最大元与极大元都是a , b , c ，A最小元与极小元都是 . 3若集合 A X，则集合 A 的最大元一定是 A 的上界，而且是 A 的最小上界 (上确界sup A). 同样，集合 A 的最小元一定是 A 的下界，而且是 A 的最大下界(下确界 inf A). 反之不成立，因为集合 A 的上界和下界不一定是 A 中的元素.集合 A 的上界、下界和最小上界、最大下界可能在 A 中，可能不在 A 中，但是一定在X 中. 而且 A 的上界和下界不一定存在，不一定唯一；A 的最小上界和最大下界不一定存在，如果存在必定唯一.(二
7、) 关于基数集合的大小，尤其是无限集的大小如何区别呢？为了讨论这个问题，需要建立一个衡量集合大小的标准，一般用集合的“势”或“基数”来表示一个集合的大小. 一个集合的基数用 表示. 有限集合的基数就是这个集合元素的个数. A比较两个集合的大小，尤其是无限集的大小，需要引入集合间大小“相等”的概念. 一般用集合间的“等势”来表示两个集合的大小“相等”. 在有限集中，两个集合是等势的即表示这两个集合的元素个数是相等的，也就是说这两个集合的基数是相等的. 将这个概念推广到无限集中，若两个无限集是等势的则它们有相同的基数. 典型例题例 1 设集合 A=2, 3, 4, 6, 8, 12, 24，D A
8、 为 A 上的整除关系. （1）写出集合 A 中的最大元，最小元，极大元，极小元；（2）写出 A 的子集 B=2, 3, 6, 12的上界，下界，最小上界，最大下界 . 思路 最大元与极大元是不一样的. A 的最大元应该大于等于 A 中其它各元素. A 的极大元应该不小于 A 中其它各元素，即它大于等于 A 中的一些元素，而与 A 中另一些元素无关系. 最大元不一定存在，如果存在，必定唯一. 在非空有限集合 A 中，极大元必定存在，但不一定唯一. 类似地，最小元与极小元也有这种区别. 集合 B 的最大元一定是 B 的上界，而且是 B 的最小上界. 同样，集合 B 的最小元一定是 B 的下界，而
9、且是 B 的最大下界. 解 （1）因为DA=(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (2, 12), (2, 24), (3, 3), (3, 6),(3, 12), (3, 24), (4, 4), (4, 8), (4, 12), (4, 24), (6, 6), (6, 12),(6, 24), (8, 8), (8, 24), (12, 12), (12, 24), (24, 24)是序关系，所以(A，D A)是半序集. 由 DA 可以看出，24 大于等于集合 A 中的所有元素，即 A 中的最大元是 24. 2 与 3 不大于 A 中的其它元素，且 2 与 3 无关系；因此 A 中无最小元. 由此可得 A 中极大元也是 24，极小元是 2 与 3. (2）由定义 4.4 可知，集合 B 的上界是 12 与 24，无下界；最小上界是 12，无最大下界.
