1、“双曲线的几何性质”探究学习课例摘要 ： 课程改革带来了教育实践的巨大变化，由讲授型为主的教学到今天的以学生探究活动为主、以学生为中心的教学模式，无疑是教育时间改革中的一大突破。科学探究是一种重要的学习方式，它对提高学生的科学素养具有不可替代的作用。本文主要就“双曲线的几何性质”这一课题进行的探究性教学的实践与反思。关键词：探究性学习 问题连续体对于数学基础知识的讲解我们往往采取讲授的方法，忽略了知识形成的过程，然而揭示基础知识的形成正好是培养学生数学思维能力的重要手段。因此改变教学模式，让学生参与数学的研究和知识获得过程在新的教学活动中显得由为重要。探究性的学习模式为学生提供了学生充分的思维
2、和创造空间，促进了学生的思维发展。一、设计思想研究圆锥曲线的几何性质突出的体现了解析几何解决的基本问题之一利用代数方法研究几何问题。双曲线的几何性质是在学习完了椭圆基本知识和双曲线的标准方程之后要研究的课题。在已有的知识技能基础上，通过对双曲线方程的分析寻求其几何性质有助于使学生深刻理解和体会解析几何的研究方法。椭圆与双曲线在研究的内容和方法上有着巨大的相似之处，在椭圆部分的教学中，我注意了从知识结构和研究方法上系统整理和提炼，使学生对研究圆锥曲线的方法有初步的了解和掌握，为学生自主学习和探究奠定了基础。为了突出解析几何利用代数方法解决几何问题的思想，培养学生探究能力，我将“双曲线的几何性质”
3、这部分内容进行了重组，第一课时主要探究双曲线的简单几何性质和一个重要几何特征（第二定义内容） ，至于相关应用等内容放在之后解决。二、教学过程设计 1. 课题的提出：通过复习椭圆的研究过程，从研究圆锥曲线的一般流程（定义标准方程几何性质及应用）角度提出课题。2. 课题的展开：（1） 自主探究，获取新知问题 1：可以从哪些方面研究双曲线的几何性质？如何研究？意图：从知识和方法两方面确定研究的方向。（学生双曲线 为例了解双曲线的简单几何性质，对课题进行12byax初步探究）（2）交流引导、完善知识问题 2：双曲线与椭圆在几何性质上有哪些区别？哪些问题你尚未解决？意图：通过对比加深认识之外，主要是力图
4、从区别入手发现问题，并培养学生提出问题的能力和探索意识。针对学生提出的问题，教师主要把握以下三个问题重点解决，深入课题完善知识：标准方程中 b 是否也有几何意义？由此介绍实轴、虚轴的概念。并为矩形框和渐进线的引入做铺垫， 如何画双曲线的草图？类比椭圆草图的画法，猜想画双曲线的草图是否也能借助“特殊矩形框”？学生观察，当仍困惑！因为利用矩形框无法确定双曲线的走向。教师提出问题：双曲线的走向有何特征呢？（学生仍然困惑）及时引导学生联系初中接触的双曲线实例？学生很快想到反比例函数图象，豁然开朗可利用渐进线刻画双曲线的走向和基本形状！于是渐进线的概念自然呈现出来。在此基础上，通过对图象的直观认识鼓励学
5、生大胆猜想，渐进线与矩形框的关系。从方程出发，以极限角度初步验证猜想，请学生根据渐进线的概念自主探究，证明猜想。揭示离心率的几何意义在渐进线的研究基础上，通过几何画板直观演示，请同学从代数角度简单分析。通过对以上三个问题的解决，深入研究，使学生对双曲线的简单几何性质有了全面完整的认识。3课题的深入类比联想，提出问题，深入探索。问题 3：椭圆有一个重要的几何性质到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率，双曲线是否也有这样的性质呢？ 类比椭圆第二定义的引入和探索方法从定义出发，将等式移项后进行一次平方得到aycxycx2)()(22 2)()(4ycxa整理得 即 从而解释)(22cxycx
6、ac2代数式子的几何意义。在这一研究方法的启发下，请学生自主探究双曲线的重要几何性质，引入双曲线第二定义的内容，深入对双曲线几何性质的研究。三、对新的教学方式的思考本节课通过对教材内容的重新编排和整合，始终贯穿“利用代数方法解决几何问题”的思想，使学生在任务和问题的驱动下，通过自主探究获取知识，从而实现教学目标。从学生的认知水平来看，对渐近线分析方法的接受、理解和掌握有一定的困难。同时渐进线的概念如何顺应学生思维的自然呈现，而不是生硬的介绍给学生也是教法中的一个困惑。因此，我将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难点。为突破该难点，我从“如何画双曲线草图”入手，分析作草图必须的条件，以“双曲线的走
7、向”为切入口，通过复习反比例函数图象，以旧引新，使双曲线的概念自然呈现。并通过学生讨论与交流，完成分析和证明过程。此外，我认为双曲线的第二定义是双曲线的一个重要几何性质，因此我将这部分内容安排为本课时的学生探究任务。双曲线的第二定义可看作是在研究双曲线标准方程过程中的一大收获，从研究方法上它切合本课时“利用代数方法研究几何问题”的主题思想；从知识内容上，这样的研究过程较传统例题引入更能使学生清楚的了解“准线”的来历，从而深刻揭示了知识的形成过程；从学生认知水平来看，因为有了椭圆部分学习的基础，学生有能力对这部分内容进行自主探究。因此对双曲线第二定义内容的处理也是本课时设计中的创新之处。在本课时的探究过程中，我主要在学生探究基础上了从学生提出的问题入手完善知识，注重了学生的主体地位。同时对本课时内容发学习主要通过学生的自主探究活动完成，有利于培养学生的探究意识和创新精神，切实提高学生的学习能力。
