1、任意角的概念和弧度制一、选择题(共 11 小题,每小题 5.0 分,共 55 分) 1.如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动,那么从 3 时整(300) 开始,在 1 分钟的时间内,3 根针中,出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有( )A 1 次 B 2 次 C 3 次 D 4 次2.若角 , 的终边关于 y 轴对称,则 与 的关系一定是 (其中 kZ) ( )A B C 2k D (2k1)2 23.已知 为第二象限的角,则 所在的象限是 ( )a2A 第一或第二象限 B 第二或第三象限 C 第一或第三象限 D 第二或第四象限4.集合|k k ,kZ中的角所表示的范围( 阴影部分
2、)是( )4 2A 答案 A B 答案 B C 答案 C D 答案 D5.设扇形的周长为 6,面积为 2,则扇形的圆心角是(单位:弧度) ( )A 1 B 4 C D 1 或 46.一扇形的周长为 16,则当此扇形的面积取最大时其圆心角为( )A 1 B 2 C 3 D127.已知扇形的周长是 10 cm,面积是 4 cm2,则扇形的半径是 ( )A 1 cm B 1 cm 或 4 cm C 4 cm D 2 cm 或 4 cm8.一半径为 r 的圆内切于半径为 3r、圆心角为 (0 )的扇形,则该圆的面积与该扇形的面积之2比为( )A 34 B 23 C 12 D 139.终边与坐标轴重合的
3、角 的集合是( )A |k360,kZ B |k 18090 ,k ZC |k 180,kZ D |k 90,kZ10.已知 是第一象限角,则角 的终边不可能落在( )a3A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限11.如果 是第三象限的角,则下列结论中错误的是( )A 为第二象限角 B 180 为第二象限角 C 180 为第一象限角 D 90 为第四象限角二、填空题(共 4 小题,每小题 5.0 分,共 20 分) 12.在 2 时到 3 时之间,分针和时针成 120角的时刻是_.13.若角 的终边与角 的终边相同,则在 0,2上,终边与角 的终边相同的角是_.85 a414.在
4、直径为 10 cm 的轮上有一长为 6 cm 的弦,P 为弦的中点,轮子以每秒 5 弧度的角速度旋转,则经过 5 s 后 P 转过的弧长为 _cm.15.圆 O 的半径为 1,P 为圆周上一点,现将如图放置的边长为 1 的正方形( 实线所示,正方形的顶点 A 与点 P 重合)沿圆周逆时针滚动,则点 A 第一次回到点 P 的位置时,点 A走过的路径的长度为_.三、解答题(共 15 小题,每小题 12.0 分,共 180 分) 16.射线 OA 绕点 O 顺时针旋转 100到 OB 位置,再逆时针旋转 270到 OC 位置然后再顺时针方向旋转 30到 OD 位置,求AOD 的大小17.设时钟的时针
5、在 2 点和 3 点之间,时针和分针什么时候重合?18.如果钟表的指针都做匀速转动,钟表上分针的周期和角速度各是多少?分针与秒针的角速度之比为多少?19.若角 的终边与 角的终边关于直线 yx 对称,且 (2,2),求角 的值.320.已知一扇形的周长为 40 cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?21.已知一扇形的圆心角是 ,所在圆的半径是 R.(1)若 60,R10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;(2)若扇形的周长是一定值 c(c0),当 为多少弧度时,该扇形有最大面积?22.已知 是第三象限角,则 是第几象限角?a323.已知 是第二象限角,
6、试确定 2, 的终边所在的位置.a224.已知角 x 的终边落在图示阴影部分区域,写出角 x 组成的集合25.已知角 的终边在直线 xy0 上3(1)写出角 的集合 S;(2)写出 S 中适合不等式360720的元素26.在与角 10 030终边相同的角中,求满足下列条件的角(1)最大的负角;(2) 最小的正角;(3)360720的角27.如图,圆周上点 A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知 A 点 1 分钟转过 (0180) 角,2 分钟到达第三象限,14 分钟后回到原来的位置,求 .28.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为 1 的圆) 上爬动,若两只蚂蚁均从点 A(1,0)同时逆时
7、针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过 角,黑蚂蚁每秒爬过 角(其中 0 180) ,如果两只蚂蚁都在第 14 秒时回到 A 点,并且在第 2 秒时均位于第二象限,求 , 的值.29.如图,一长为 dm,宽为 1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚,翻滚到第四次时被一小3木块挡住,使木块底面与桌面所成角为 ,试求点 A 走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积.6(圆心角为正)30.若 是第二象限角,试分别确定 的终边所在位置.a3答案解析1.【答案】D【解析】从 3 时整(300)开始,在 1 分钟的时间内,3 根针中,出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有:当秒针转到大约 45的位置时,以及大
8、约 225的位置时,秒针平分时针与分针当秒针转到大约 180的位置时,时针平分秒针与分针当秒针转到大约 270的位置时,分针平分秒针与时针综上,共 4 次2.【答案】D【解析】可以取几组特殊角代入检验.3.【答案】D【解析】由 2k 2k ,kZ.2得 k k ,kZ.4 a2 2 k k ,k Z.2 a2 4 k k ,k Z.2 a2 34当 k 为偶数时,令 k2m, mZ,则 2m 2 m ,mZ.2 a2 34 为第二象限角.a2当 k 为奇数时,令 k2m 1,m Z,则 2m 2m ,m Z.2 a2 4 为第四象限角.a2综上所述, 为第二或第四象限角.a24.【答案】C【解
9、析】当 k 2m,mZ 时,2m 2m ,m Z;当 k2m1,mZ 时,4 22m 2m ,mZ,所以选 C.54 325.【答案】D【解析】设扇形的半径为 x,所以弧长为 62x ,扇形的圆心角为 ,因为扇形的面积为 2,所以6-2xx(62x) x2,解得 x1 或 x2,所以扇形的圆心角为 4 或 1.126.【答案】B【解析】设圆心角为 ,半径为 r,则 l2r16, l162r.S lrr 28r(0r8) ,当且仅12当 r4 时,扇形的面积取最大,此时 l162r8.圆心角 为 2.7.【答案】C【解析】设扇形的半径为 r,弧长为 l,根据题意得,2rl10, lr4,解由组成
10、的方12程组得,r4,l2 或 r1,l8(舍去).即扇形的半径为 4 cm.8.【答案】B【解析】设O 与扇形相切于点 A,B,则 AOr,CO2 r,ACO30,扇形的圆心角为 60 , 扇形的面积为 3r3r r2, 圆的面积为 r2,圆的面积与该扇形的3 123 32面积之比为 23.9.【答案】D【解析】终边为 x 轴的角的集合 M |k180,kZ,终边为 y 轴的角的集合 P|k18090 , kZ,设终边为坐标轴的角的集合为 S,则 SMP |k 180,kZ |k180 90,kZ|2k90,kZ| (2k1)90,k Z| n90 ,n Z10.【答案】D【解析】 是第一象
11、限角,k360k36090,kZ , 360 36030.k3 a3 k3当 k3 m,mZ 时,m360 m36030 , 角 的终边落在第一象限 .a3 a3当 k3 m1, mZ 时,m360120 m360150,角 的终边落在第二象限.a3 a3当 k3 m2, mZ 时,m360240 m360270,a3角 的终边落在第三象限,故选 D.a311.【答案】B【解析】若 是第三象限角,则 360k180 360k270;则 360k90360k180,360 k270180 360k 360此时为第四象限角12.【 答案】2 点 32 分或者 2 点 54 分811 611【解析】
12、当分针在时针前面时,设转成 120的时间为 x,则(6 )x60120, x 32 .12 36011 811当时针在分针前面时,设转成 120的时间为 y,则(6 )y60120120,解得 y 54 ;12 60011 611所以 2 时和 3 时之间时针与分针成 120的时间为 2 点 32 分或者 2 点 54 分.811 61113.【 答案】 , , ,25 91075 1910【解析】由题意得 2k , (kZ).85 a4 25 k2令 k0,1,2,3, 得 .a4 25,910,75,191014.【 答案】100【解析】P 到圆心 O 的距离 OP 4(cm),又 P 点
13、转过的角的弧度数 5525(rad),弧52-32长为 OP254 100(cm).15.【 答案】(2+2)2【解析】由图可知:圆 O 的半径 r1,正方形 ABCD 的边长 a1,以正方形的边为弦时所对的圆心角为 ,3正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示,当点 A 首次回到点 P 的位置时,正方形滚动了 3 圈共 12 次,设第 i 次滚动,点 A 的路程为 Ai,则 A1 |AB| ,6 6A2 |AC| ,6 26A3 |DA| ,6 6A4 0,点 A 所走过的路径的长度为 3(A1A 2A 3A 4) .2+2216.【 答案】 AOB100,BOC270,COD30,所以AO
14、DAOB BOCCOD100270(30)140.【解析】17.【 答案】设 2 点 x 分时针和分针重合,相对于 0 点分针成 6x 度,时针成 30 度,则(2+x60)306x,故 x10 .(2+x60) 1011【解析】18.【 答案】钟表的指针都做匀速转动,钟表上分针转动一周,需要 1 个小时,1 小时后重复出现,即周期为 1 小时.分针转动一周是 2 弧度,所花时间是 3 600 s.钟表上分针的角速度为 (rad/s).1800秒针转动一周是 2 弧度,所花时间是 60 s,钟表上秒针的角速度为 rad/s.30故分针与秒针的角速度之比为 .160【解析】19.【 答案】如图,
15、设 角的终边为 OA,OA 关于直线 yx 对称的射线为 OB,则以 OB 为终边的一个3角为 ,4-(3-4)=6所以以 OB 为终边的角的集合为 .| 2k+6,kZ又因为 (2,2) ,所以22k 2 ,且 kZ,6所以 k 1 或 k0.当 k1 时, ;当 k0 时, .116 6所以角 的值为 或 .116 6【解析】20.【 答案】设扇形的圆心角为 ,半径为 r,弧长为 l,面积为 S,则 l2r40,l402r.S lr (402r)r20r r 2(r10) 2100.12 12当半径 r10 cm 时,扇形的面积最大,最大值为 100 cm2,此时 rad2 rad,lr
16、40-21010当扇形的圆心角为 2 rad,半径为 10 cm 时,扇形的面积最大为 100 cm2.【解析】21.【 答案】(1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓 ,60 ,R10,lR (cm).3 103S 弓 S 扇 S 10 1010sin 50 (cm2).12103 12 3 (3+33)(2)扇形周长 c2Rl2R R, ,C-2RRS 扇 R2 R2 (c2R)R12 12C-2RR 12R 2 cR 2 .12 (R-c4) c216当且仅当 R ,即 2 时,扇形面积最大,且最大面积是 .c4 c216【解析】22.【 答案】 是第三象限角, 180k360 270k3
17、60( kZ), 60k120 90a3k120(kZ).当 k3n( nZ)时,60n360 90n360(n Z), 是第一象限的角;当a3 a3k3 n1(nZ)时,180n360 210 n360(nZ), 是第三象限的角;当 k3n 2( nZ)时,a3 a3300n360 330 n 360(nZ), 是第四象限的角. 是第一、三、四象限的角.a3 a3 a3【解析】23.【 答案】因为 是第二象限角,所以 k36090 k360 180 ,kZ.所以 2k36018022k360360,k Z,所以 2 的终边在第三或第四象限或终边在 y 轴的非正半轴上.因为 k36090k36
18、0180,k Z,所以 k18045 k18090,kZ,a2所以当 k2n ,nZ 时,n 360 45 n36090,即 的终边在第一象限;a2 a2当 k2 n1,nZ 时,n 360225 n360270,即 的终边在第三象限.a2 a2所以 的终边在第一或第三象限.a2【解析】24.【 答案】(1) x|k360135x k360135 ,k Z(2)x|k36030x k36060,k Zx|k360210xk360 240,kZx|2 k18030 x2k18060或(2k1)18030x(2k1)180 60,kZx| k18030xk18060,k Z【解析】25.【 答案】
19、(1)如图,直线 xy0 过原点,倾斜角为 60,在 0360范围内,终边落在射线 OA 上的角是 60,终边3落在射线 OB 上的角是 240,所以以射线 OA、OB 为终边的角的集合为:S1 |60k360,k Z,S 2 |240k360,kZ ,所以,角 的集合 SS 1S2 |60k360,k Z|60180k360,kZ| 602k 180,kZ |60(2k 1)180,k Z| 60 n 180,n Z(2)由于360720,即36060 n180720,n Z.解得 n ,n Z,所以73 113n2, 1,0,1,2,3.所以 S 中适合不等式360 720的元素为:60
20、2180300;60 1180120 ;60 018060;60 1180240 ;60 2180420;60 3180600.【解析】26.【 答案】(1)与角 10 030终边相同的角的一般形式为 k36010 030(kZ),由360k360 10 0300,得10 390k 36010 030,解得 k28,故所求的最大负角为50.(2)由 0k360 10 030360,得10 030k 360 9 670,解得 k27,故所求的最小正角为 310.(3)由 360k36010 030 720,得9 670k3609 310,解得 k26,故所求的角为670.【解析】27.【 答案】
21、A 点 2 分钟转过 2,且 1802270 ,又 14 分钟后回到原位,14k360(kZ), (kZ),且 90135 ,k1807 或 .7207 9007【解析】28.【 答案】由题意可知:14 ,14 均为 360的整数倍,故可设 14m360,mZ, 14n360,nZ,从而可知 180, 180,m,nZ.m7 n7又由两只蚂蚁在第 2 秒时均位于第二象限,则 2,2 在第二象限.又 0 180,从而可得 022 360,因此 2,2 均为钝角,即 902 2180.于是 4590 ,4590.45 18090,45 18090,m7 n7即 m , n .74 72 74 72
22、又 ,mn,从而可得 m2,n3.即 ( ),( ).3607 5407【解析】29.【 答案】在扇形 ABA1 中,圆心角恰为 ,弧长 l1 |AB| ,面积2 2 2 3+1S1 |AB|2 4. 在扇形 A1CA2 中,圆心角也为 ,弧长 l2 |A1C| 1 ,面积122 122 2 2 2 2S2 |A1C|2 12 .在扇形 A2DA3 中,圆心角为 ,弧长 l3 |A2D| ,面积122 122 4 2 6 3 3 3 3 33S3 |A2D|2 ( )2 ,点 A 走过的路程长 ll 1l 2l 3 ,点 A 走过的弧123 123 3 2 2 33 (9+236 )所在的扇形
23、的总面积 SS 1S 2S 3 .4 2 74【解析】30.【 答案】因为 是第二象限角,所以 k36090k360180(k Z).方法一 因为 k12030 k12060(k Z),a3当 k3 n(nZ)时,n36030 n36060 ;a3当 k3 n1(nZ)时,n360 150 n360180 ;a3当 k3 n2(nZ)时,n360 270 n360300.a3所以 是第一或第二或第四象限角.a3方法二 如图所示,作出三等分各个象限的从原点出发的射线,它们与坐标轴把周角等分成 12 个区域,从 x 轴的非负半轴起,按逆时针方向把这 12 个区域依次循环标上号码 1,2,3,4,则标号是几的区域就是 为第几象限角时 的终边落在的区域,所以 是第一或第二或第四象限角.3 a3【解析】