1、142、为什么在高中数学课程中加入算法的内容？（1） 时代的需求20 世纪数学发生了很大的变化，有两个重要的标志，一个是数学的应用，这一点在前面我们已经作了介绍。另一个方面，就是数学与计算机科学的同步发展。数学对计算机科学发展的作用是毋庸置疑的，计算机之父有两个人，一个是冯.诺伊曼，一个是图灵，他们都是伟大的数学家。对于计算机来说，无论是软件还是硬件都离不开算法的设计，算法严格地说是数学的一个分支，它有自己的体系，它渗透到很多数学分支，尤其是应用数学分支。计算机的应用也是一样的，它离不开程序设计，程序设计就是算法设计。从另一个角度，计算机的飞速发展对数学的发展起了极大的推动作用，它开拓了数学研
2、究的领域，丰富了数学研究方法，加强了数学与其他学科的联系，拓展了数学的应用范围。所有这一切，算法起了重要的作用。了解算法的基础知识和基本应用，对一个人的发展是非常重要的。（2） 与传统的内容有密切的联系算法并不是一个十分陌生的东西，虽然，在传统的数学内容中没有出现过这个名称，但是，它的思想反复体现在传统的数学内容中，可以说渗透到大部分内容之中。例如，求解一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程组，求解不等式，求解线性规划问题，几何作图，几何证明，等等，都可以说是算法问题。了解了算法的基本知识，会对这些问题又一个新的认识。（3） 能引起学生的兴趣算法的特点是可以操作、可以检验，在条件允许的学校可
3、以让学生在计算机上实现，这些都是受学生欢迎的，它会使学生产生成就感。四个实验省的很多教师告诉我们，学生对算法很喜欢，容易教，学生爱学，学生还有很多的创造；有一些学生过去不太喜欢数学，通过学习算法，经过操作，验证，渐渐地喜欢了数学，数学成绩也有了一定的提高。（4） 对教师没有太大的难度对教师来说，过去对算法不太熟悉，在大学的学习中没有专门学习过算法的知识，有一定的畏惧，这是很正常的。实际上，算法的内容对教师来说，难度不大，经过培训，不会有困难，有些地、市、县教研室采取了一些有效的措施，例如，分成小组，分工备课，集体研讨，教案共享，很好地解决了这个问题。很多教师告使我们，教了一遍下来，心里就踏实了
4、，积累了一些经验，我们正在及时地总结这些经验，将通过一定方式，告诉大家。（5） 会对未来的数学课程产生很大的影响算法进入高中，这是一件大事，会产生一系列连锁的反映。我们估计下面的一些情况会引起数学教育工作者的关注和研究。我们已经了解到有一批硕士、博士研究生开始研究这些问题。这些研究成果一定会反映在下一轮数学课程改革中。1） 大学课程设计中，会对算法的内容给与更多的关注。有一些学校已经开设“算法”的选修课；有的学校把“算法”和相关的课程有机地结合起来，例如，计算方法课程融入的大量的算法内容；有一些学校在尝试把“算法”内容与计算机程序设计有机的结合起来。“算法”在大学数学教育中会成为关注的问题之一
5、。在师范大学2数学课程中必然会给与更为特别的关注。2）“算法”的内容会以某种方式渗透到初中和小学，这一点是需要认真研究的课题。3）“算法”的内容进入高中，给出一个明确的导向，数学教育将更加关注“通性通法”，强化基本技能（skill）,淡化技巧（trick）。4）“算法”是培养逻辑推理能力的非常好的载体。它与平面几何有很多相同的东西。例如，不需要很多的准备知识；可以产生丰富的问题；这些问题会很有趣的，也会有一定的挑战性。另外，还有几点好处是平面几何所不具备的。例如，算法的思想方法会渗透到几乎每一个数学内容中，不仅是中学，在大学数学教育中依然会发挥重要的作用。但是，平面几何在后继学习中有用的方法和
6、结果不是很多的。又例如，“算法”强调了一种构造性的证明，突出“实现”，这种思想在数学上受到越来越大的重视，尤其在计算机的作用越来越大的时代更加重视。“算法”这种证明方式是通过框图的形式展示，一个问题的算法框图可以把解决这个问题的过程非常清晰的、非常直观的、非常简洁的、非常准确的表示出来。这对学习和掌握数学的思维过程是非常有用的。对“算法”在数学教育中的地位和作用应该成为数学教育研究的重要方面。43、如何理解算法在高中课程中的定位？在高中数学课程中，算法内容的设计分为两部分。一部分主要介绍算法的基础知识，可以称作算法的“三基”：算法基本思想，算法基本结构，算法基本语句。通过一些具体的案例介绍算法
7、的基本思想，使学生了解：为了解决一个问题，设计出解决问题的系列步骤，任何人实施这些步骤就可以解决问题，这就是解决问题的一个算法。这是对算法的一种广义的理解。对算法的理解，更多地是与计算机联系在一起，计算机可以完成这些步骤。算法的基本结构一般有三种：顺序结构，分叉结构，循环结构。前两种结构很容易理解，循环结构稍微有点难，这里用到函数思想，难在理解反映循环过程的循环变量。在教学过程中，一定要通过具体的案例，结合具体的情境引入概念，会使问题变得很简单。介绍算法语句的时候，要区分算法语言和基本的算法语句。我们知道，现在使用的算法语言是很多的，例如，basic 语言，q-basic 语言，c-语言，等等
8、。在高中的数学课程中，不要求介绍算法语言，仅仅需要了解基本语句，例如，输入语句，输出语句，赋值语句，条件语句，循环语句，等等。在不同的语言中，这些语句的表示可能不一样，数学课程要求采用公认的统一表示，称为伪代码。很容易把伪代码翻译成任何一种算法语言。描述算法有三种语言：自然语言、框图语言、基本算法语句。算法的另一部分设计，是把算法的思想融入相关数学内容中。实际上，算法思想是贯穿在高中数学课程始终的基本思想。例如 ，二分法求方程的解；点到直线的距离、点到平面的距离、直线到直线距离；立体几何性质定理的证明过程；一元二次不等式；线性规划；等等内容中，都运用了算法思想。用算法思想学习和认识数学对于提高
9、数学素养是很有用的，希望老师予以重视。344、如何理解赋值？赋值是算法中的难点之一， 理解赋值对于理解算法是非常重要的。赋值就是把数值赋予给定的变量。例如，a:=5,就表示变量 a 被赋予的值是 5，即a=5，这个被赋值的变量可以与其他的值进行运算。对于被赋值的变量 a，还可以赋予其它的值取代原来的值。我们可以用磁带录音来比喻赋值，在我们录音时，是把磁带上旧的录音材料冲掉之后，才能把新的录音材料加载上去。同样的道理，我们这里的赋值也是先把原来的值清零之后，再把新的值赋上去。下面我们通过一个例子来说明如何设置变量和给变量赋值。例：设计一个算法，从 5 个不同的数中找出最大数。解：记这 5 个不同
10、的数分别为 a1,a2,a3,a4,a5,算法步骤如下：1、比较 a1 与 a2 将较大的数记作 b.（在这一步中，b 表示的是前 2 个数中的最大数）2、再将 b 与 a3 进行比较，将较大的数记作 b.（执行完这一步后，b 的值就是前 3 个数中的最大数）3、再将 b 与 a4 进行比较，将较大的数记作 b.（执行完这一步后，b 的值就是前 4 个数中的最大数）4、再将 b 与 a5 进行比较，将较大的数记作 b.（执行完这一步后，b 的值就是前 5 个数中的最大数）5、输出 b，b 的值即为所求得最大数。分析：上述算法的 4 个步骤中，每步都要与上一步中得到的最大数 b 进行比较，得出新
11、的最大数。b 可以取不同的值，b 就称之为变量。在第 1 步到第 4 步的算法过程中，我们都把比较后的较大数记作 b，即把值赋予了 b，这个过程就是赋值的过程，这个过程有两个功能，第一，我们可以不断地对 b 的值进行改变，即把数值放入 b 中；第二，b 的值每变化一次都是为下一步的比较服务。45、如何理解函数在循环结构中的作用？（1）循环结构是算法的一种基本结构。例如，设计算法，输出 1000 以内能被 3 和 5 整除的所有正整数。解决这个问题，我们首先要引入变量 a 表示待输出的数，则 a=15n (n=1,2,3,66).n 从 n 从 1 变到66，反复输出 a，就能输出 1000 以
12、内的所有能被 3 和 5 整除的正整数。像这样的算法结构称为循环结构，其中反复执行的部分称为循环体。变量 n 控制着循环的开始和结束，称为循环变量。上述例子的算法中，需要反复进行相同的操作，如果按照顺序结构来描述，算法显得十分繁琐，不利于阅读，如果采取循环结构来描述，算法就显得简洁、清楚。所以，循环结构是一种简化算法叙述的结构。4（2）循环结构是理解算法的另一个难点，难点在于对于循环变量的理解。循环结构中的循环变量分为两种形式，一种是控制循环次数的变量，例如，输出1000 以内能被 3 和 5 整除的所有正整数这个循环结构中，n 就是控制循环次数的循环变量。另一种是控制结果精确度的变量，例如用
13、二分法算法求方程 f(x)=0 在区间0,1上的一个近似解的流程图，要求精确度为 。在这个算法过程中，精确度 就是控制结果精确度的循环变量。循环变量使得循环体得以“循环” ，循环变量控制了循环的“开始” 和“结束” ，是刻画循环结构的关键。（3）循环结构中循环变量体现了函数的思想。 “循环”的过程是依赖于循环变量取值的变化而一步步实现的，这种依赖关系体现了函数的思想。在算法设计中，选择适当的循环变量是得到好算法的关键。46、如何理解周期现象与三角函数的关系？（1）我们生活在周期变化世界中，大到地球、月亮，小到原子、电子都在周期地运动，时间在年复一年，月复一月，日复一日地变化，所有的生物都会生老
14、病死，等等。研究周期变化规律是我们必须直面的问题。周期函数是定量地反映周期变化规律的基本概念，简单地说经过一定数量重复原来的变化。即 f (x+k) = f (x)时，函数 y =f (x) 是一个周期函数。在教学中，教师应指导学生收集和整理其他学科、日常生活中的周期变化的实例。物理、化学、生物、地理等学科中，有很多生动的周期变化的实例，通过这些实例体会周期现象的规律性，对于理解相应学科的内容很有帮助，例如，交流电的变化等等。（2）三角函数本身是最基本的周期函数，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们是描述周期现象的一个重要工具，其中正弦函数和余弦函数更为重要，很多周期现象的规律都可
15、以由它们直接描述。正如前面所说，三角级数可以表示的函数范围是很大的。三角级数的理论产生了很多重要的数学和应用数学的分支，例如，调和分析，小波分析，等等。小波分析已经成为图像压缩技术的基础，有巨大的应用前景。（3）在传统的数学课程中，三角学的内容占有很大的成分，早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学。直到 15 世纪，雷格蒙塔努斯在 1464 年完成的论各种三角形，这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作全书共 5 卷，前 2卷论述平面三角学，后 3 卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表。三角学一词的英文是，来自拉丁文最先使用该词的是文艺复兴时期
16、的德国数学家皮蒂斯楚斯（，15611613），他在 1595 年出版的三角学：解三角形的简明处理中创造这个词其构成法是由三角形（）和测量（）两字凑合而成要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的 1722 年英国数学家棣莫弗（ ）得到以他的名字命名的三5角学定理（） ，并证明了是正有理数时公式成立。他的工作是三角学的研究进入了新的时代。1748 年欧拉（）证明了是任意实数时公式也成立，他还给出另一个著名公式 。这个工作对三角学的发展起到了重要的推动作用。近代三角学是从欧拉的无穷分析引论开始的他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他还创用小写拉丁字母
17、、表示三角形三条边，大写拉丁字母、表示三角形三个角，从而简化了三角公式使三角学从研究三角形解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科而由于上述诸人及 19 世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论传统的三角学主要研究测量、和三角形内的各种边角关系，反映“静态的关系”，传统三角学的内容随着时代的发展逐步消弱。在高中课程中，解三角形是属于三角学的内容。三角学与三角函数的定位不同，三角函数是动态的，研究周期变化。成为了“分析学”的主要内容。47、初中、高中三角函数有什么差异？（1）初中讲授的三角函数是静态的，主要讨论直角三角形的边角关系，通过边的比
18、值反映角的大小，而不是从函数的角度来认识。正弦、余弦、正切都是在给定直角三角形中定义的，因此角度只限制在 0 到 90 度。可以说，解直角三角形是初中这部分内容的定位。（2）高中是从函数的角度来研究三角函数的，因此它强调的是变化规律。如何研究变化的规律？我们以正弦函数为例，有以下几个过程是需要特别注意。从一般角的概念给出正弦函数的定义；从单位圆正弦函数的图像；从正弦函数的图像理解反映正弦函数变化的基本性质：周期（频率） 、单调区间、零点、极值点等；从研究正弦函数的两个基本图形：单位圆、正弦函数图像正弦函数的基本公式：例如，sinx = sin(x+ 2n )，等等；从对基本正弦函数 y =si
19、nx 理解影响一般正弦函数 y = Asin( x+ )变化的参数：周期 （频率 ） ，位相 ，振幅 A 等；2从对一般正弦函数 y = Asin( x+ )变化的参数初步理解深入认识它们几何意义和物理意义。等等。对上述过程的理解并不完全在正弦函数学习中完成的。教师应该把三角函数的学习与高中课程其他内容学习有机地结合起来，例如，与物理的电学知识，与三角恒等变换，等等内容结合起来。（3）在高中三角函数的学习中，有两件事是非常重要的，一个是图形直观，一个是数形结合。例如，学习正弦函数时，图形直观通过两个图体现，单位圆，和正弦6函数图像，两个图是贯穿始终的。单位圆在以往的教学中，没有引起足够的重视。
20、欧拉在三角函数领域的工作就是从单位圆开始的，单位圆不仅仅是为说明定义和绘制图像，在学习三角函数的整个过程中，它都会为我们提供很好的几何直观。在讲授三角函数时，教师很重视数形结合，这是很好的教学传统。48、为什么弧度比角度难理解？有人说弧度是“糊涂” ，为什么弧度比较难理解？(1) 角的大小是一个量，就像长度，重量，速度，温度等等量一样。物理中，我们知道，一个量的度量常常用不同的方法来测量，不同的测量方法最基本的差异是使用不同的测量单位。例如，温度有两种我们熟悉的度量单位，摄氏和华氏，中国人习惯使用摄氏温度，西方则习惯使用华氏温度，很多人甚至并不知道摄氏温度和华氏温度的单位是如何确定的。“角度”
21、容易被接受的原因之一是用“自己”测量“自己” ，并且日常生活中我们经常用这个单位，久而久之，就不太容易接受其他的角度单位了。（2）用“弧度”来度量角，需要一个过程。首先，需要确定长度单位，用这个长度单位做一个圆，我们知道圆弧是有长度的，例如，整个圆周的长度是 2 。接着用长度单位来测量弧的长，我们把长度为 1 的弧所对应的角作为角的弧度单位，称为一弧度角，这样我们就确定了度量角的新的单位。最后，我们还必须说明：选择的长度单位不同，但得到的一弧度角都是相同的，弧度指的是一个比值，它不依赖于圆半径的大小，这需要用到相似的概念。即，需要证明任何两个圆是相似的，这要用到极限的思想。对于这一点在中学是不
22、要求的。（3） “弧度”与“角度的区别在于，角度是“自己”量“自己” ，弧度是用“其它的东西”量角，用“长度”量角，这是容易造成不习惯的地方。也正是由于这一点，弧度给我们带来了很多好处。当我们用三角函数刻画很多自然现象时，例如，y=sinx，在这里，x 不仅可以是角度，也可以是时间，或是其他什么量。在计算上也可以带来很大的方便，比如，当 x 趋于 0 时， = 1，我们知xsinlm道这是非常重要的一个极限，它确保了三角函数的可导性。这个结果成立是由于我们使用了弧度，弧度把长度的单位和角度的单位统一起来。49、如何用解析几何思想理解三角函数定义？（1）在前面我们强调了单位圆在学习三角函数中的作
23、用。首先，单位圆的作用反映在对任意角的理解，从锐角，直角，钝角，平角，周角，一直到任意角，它们会很清晰地反映在单位圆中。 （2）一般三角函数的定义是借助于单位圆给出的。如图所示：7在单位圆中，给定一个角 x，角的终边与单位圆相交于一点 M，这一点 M 的坐标（a，b）就完全地确定了所有三角函数的值。即sinx = b，cosx = a，tanx = （a 不为 0） ，等等。b点 M 的坐标蕴含着丰富的含义，包括代数的和几何的含义。如，b 是一个数，它的符号表示点 M 所处的位置，当 b 大于 0，点 M 处于一或三象限，当 b 小于 0，点 M处于二或四象限，b 等于 0，点 M 处在 y
24、轴上；这样， a、b 都大于 0，则 M 点位于第一象限，角是第一象限的角。数形结合在这里体现得十分清楚，正弦函数的几何意义就是点 M 纵坐标 b 的几何意义。它较正弦函数线更直接、更准确，因为，正弦函数线很难体现正负关系。对于正弦、余弦函数作图来说，运用解析几何的坐标思想也要方便一些。对正切函数，需要做一个转化，把点 M（a，b）转换为点（1， ） ，这个点的纵坐标就直接、ab准确的反映了正切的几何意义。而正切函数线很难体现正负关系。(3) 三角函数线的使用是历史的原因造成的，在前面介绍了一点历史，早期的三角学是“静态”数学，函数思想、解析几何的思想的产生比“静态”的三角学要晚。在现代的数学
25、教育中，应该强化解析几何的思想，在一些教材中，淡化了三角函数线，强调了解析几何的思想，这将会变成趋势。50、在中学数学中为什么要引入向量？有人说，中学数学中引入向量，用向量来处理几何问题，是因为用向量比用综合几何的方法简单、容易。这种看法是不全面的。虽然有许多问题，用向量处理确实比用综合几何方法简单，但也可以找到用综合几何的方法处理更简单的问题。向量之所以被引入到中学，这是因为向量在数学中占有重要的地位。向量作为一8个既有方向又有大小的量，在数学中是一个最基本的概念。在现代数学的发展中起着不可替代的作用。是代数、几何、泛函分析等基础学科研究的基本内容。向量是代数的对象。运算及其规律是代数学的基
26、本研究对象。向量可以进行多种运算，如，向量的加法、减法，数与向量的乘法（数乘） ，向量与向量的数量积（也称点乘） ，向量与向量的向量积（也称叉乘）等。向量的这些运算包含了三种不同类型的代数运算。向量的运算具有一系列丰富的运算性质。与数运算相比，向量运算扩充了运算的对象和运算的性质。向量是几何的对象。向量可以用来表示空间中的点、线、面。如果，以坐标系的原点为起点，向量就与空间中的点建立了一一对应关系；一点和一个非零向量可以唯一确定一条直线，它通过这个点且与给定向量平行；同样，一个点和一个非零向量，可以唯一确定一个平面，它过这个点且与给定向量垂直。在高维空间中，这种表示十分有用，还可以表示曲线，曲
27、面。因此，向量可以描述、刻画和替代几何中的基本研究对象点、线、面，它也是几何研究的对象。向量是几何研究对象，这种认识很重要。在立体几何中，可用向量来讨论空间中点、线、面之间的位置关系；判断线线、线面、面面的平行与垂直，用向量来度量几何体：计算长度、角度、面积等。随着数学视野不断拓展，这样的观念会给我们越来越多的用处。向量是沟通代数与几何的一座天然桥梁。它不需要什么过渡。在数学中，我们有两座沟通代数与几何的桥梁，一是向量，一是坐标系。坐标系依赖于原点的选择。向量的优越性在于可以不依赖于原点，空间中每一点的地位是平等的，它不依赖坐标，因此，它比坐标系更一般、更重要。一方面，通过向量的运算可以解决几
28、何中的问题。比如，两直线是否垂直的问题，就可以转化为两个向量的点积是否为零的问题，这就实现了利用代数方法来解决几何问题。另一方面，对于代数问题，通过向量可以给予几何的解释。比如，两个向量的点积为零，那么就说明这两个向量所表示的直线是相互垂直的等等。向量具有丰富的物理背景。向量是连接数学和物理的一个桥梁。 物理学研究的基本量之一是矢量。物理学中的矢量既有大小和方向，又有作用点。如力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是物理学中研究的矢量，这些量贯穿于物理学的许多分支。矢量是现实存在的，在日常生活中可以观察、感受到的。物理中的矢量是数学中的向量的现实原型，为数学中的向量提供了丰富的物理背景。物
29、理中的矢量与向量的差别只在于，矢量不但有大小和方向，而且还要考虑作用点；而向量和作用点无关。向量是重要的数学模型。如果，用 V 表示向量的集合，则 V 对于向量的加法（+ ）运算满足结合律、交换律、有零元（存在零向量） ，有负元（每个向量都有与其方向相反、长度相等的向量） ，因此，V 对于向量的加法运算构成交换群，即（V，+ ）是交换群。V 中向量的加法、实数域 R 中的实数与向量的乘法（数乘.）运算满足线性空间的 8 条基本性质，因此，V、R 对于对向量加法、数与向量乘法运算构成线性空间，即(V,R,+,.) 是线性空间（向量空间） 。V 中向量的数量积运算可以刻画向量的长度，给 V 中的向
30、量赋以长度（向量 的长度用 表示）后，V、R 对于向量的加法、实数与向量的乘法（数乘.）运算构成线性赋范空间，即 (V， R，+ ，.， )是一个线性赋范空间。群、线性空间、线性赋范空间都是重要的数学模型，也是抽象代数、线性代数、泛函分析的重要研究对象。因此，向量为理解抽象代数、线性代数、泛函分析提供了基本的数学模型。向量有着广泛的应用。向量不仅在物理中有着大量的应用，而且高维向量被广泛9地用来描述多指标的对象，从而在各个领域，包括社会科学，都有着广泛的应用。向量简单易懂。向量被引入中学还因为它适合中学生的认知水平。向量的概念有着清楚的物理背景，学生很容易懂；向量的运算并不复杂，学生掌握起来没
31、有困难。学习向量非常有助于培养学生的数学能力和应用数学解决实际问题的能力。51、向量对于学生理解数学运算有哪作用？运算是数学学习的一个基本内容。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。从小学开始，学生所接触的运算对象就在不断地扩展，从整数到分数，从正数到负数，从有理数到实数、复数，从数到字母、到多项式等。数运算，字母、多项式运算，向量运算，函数、映射、变换运算，矩阵运算等是数学中的基本运算。从数运算到字母运算，是运算的一次跳跃。数运算可以用来刻画具体问题中的数量关系，解决一个一个的具体问题。而字母运算则可以刻画一类问题中的蕴涵的规律，解决一类问题。例如，a+(b+c)=(a+b)=c,就刻
32、画了数运算的一个基本规律结合律。同时，字母运算也是表达函数关系、刻画普遍规律的工具。从数运算进入字母运算，是学生数学学习中的一次质变，学生对运算的理解也会产生一个跳跃。从数运算，到向量运算，是运算的又一次跳跃。在代数中，对于三个集合A、B、 C，称映射 ABC 为 AB 到 C 的代数运算，特别地，称映射 AAA为 A 中的二元代数运算。数运算、多项式运算都是 AAA 型的代数运算，数与多项式的运算属于 ABB 型的代数运算。向量的加法、减法运算的特征是两个向量通过加法、减法运算得到第三个向量，即属于 AAA 型的代数运算；向量的数乘运算的特征是一个数与一个向量通过数乘运算得到一个向量，即属于
33、 ABB 型的代数运算；向量的数量积运算的特征是两个向量通过数量积运算得到一个数，即属于AAB 型的代数运算。向量运算不同于数的运算，它涵盖了三种类型的代数运算。与数运算相比，向量运算扩充了运算的对象和运算的性质。向量的数量积运算可以刻画向量的长度，从而使得我们可以通过代数运算刻画长度、面积、体积等几何度量问题。向量运算更加清晰地展现了三种类型的代数运算的特征以及代数运算的功能，同时，向量运算具有与数运算不同的一些运算律，这对于学生进一步理解其它数学运算、发展学生的运算能力具有基础作用。因此，从数运算到向量运算，是学生数学学习中的又一次质变，学生对运算的理解也会更上一层楼。在以后的学习中，运算
34、对象还要进一步拓展。向量的学习，为学生今后进一步学习其它数学运算，体会数学运算的意义以及运算在建构数学系统中的作用，奠定了基础。52、如何理解向量与物理中矢量的关系？数学与物理从本原上看有着天然的联系。10物理学研究的基本量之一是矢量。物理学中的矢量既有大小和方向，又有作用点。例如，力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是物理学中研究的矢量，这些量贯穿于物理学的许多分支。物理中的矢量是有固定起点（作用点）的有向线段，数学中的向量没有固定起点（作用点） ，是自由矢量。研究矢量既要用到有向线段，也要用到矢量的运算。数学中的向量及其运算是物理中矢量及其运算的抽象。如，两次接连的位移确定一个新的位
35、移，这正是向量加法的原型之一；力所做的功是由力与位移两个矢量所唯一确定的一个数，这正是向量数量积的原型之一。因此，向量体现了数学与物理的天然联系。53、如何把握向量的教学？基于高中数学新课程中对向量的定位，应从以下几个方面来把握向量的教学。（1）突出物理背景向量具有丰富的物理背景。力、位移、速度、加速度等物理量是向量的原型，这些物理量是学生在日常生活中能够经常感受到的，为理解向量的概念、向量的运算提供了直观、现实的背景。在教学中，应注重突出向量的这些物理背景。例如，在引入向量的加法运算时，可以位移的合成为背景，这种方式比较直观。假设一个人从 A位移到 B（可表示为 ） ，再从 B 位移到 C（
36、可表示为 ） ，则这两次位移的结果AB就产生了从 A 到 C 的位移（可表示为 ） （如图 1） ，这个位移是两次位移确定的总A位移，把它看成前两个位移的和是自然的。这就引入了向量的加法以及加法的三角形法则，有了三角形法则很容易引出平行四边形法则；在引入数与向量的乘法运算时，可以位移的倍数或速度的倍数为背景。位移与速度的倍数仍然表示位移与速度，这样可使学生对于数与向量的数乘运算的结果仍然是一个向量有直观的认识；在引入向量的数量积运算时，可以力做的功为背景。一个物体受到力 F 的作用，如果在力的作用方向上发生一段位移 S，我们就说这个力对物体做了功。如果力 F 的方向与位移 S 的方向相同，则功
37、的大小就等于力 F 的大小与位移 S 大小的乘积，即 。如果力 F的方向与位移 S 的方向成 角（如图 2 所示） ，则与位移 S 方向相同的分力为，物体在力 F1 的方向上产生了位移 S，因而对物体做的功为 。cos1F cosS总之，力所做的功是一个标量（即用一个数来表示） ，它是由两个向量力和位移所决定的，这正是向量的数量积的意义；在引入向量的一些运算律时，也可以以力做功为背景。当力扩大 倍时，力所做的功也相应扩大 倍，两个力的合力所做的功等于这两个力分别所做的功的和。由此可引出，向量的数乘运算与数量积运算满足结合律：（a）b =（ ab） ，向量的数量积运算对于向量的加法运算满足分配律：a（b+c ）= ab + a c。
