1、本 章 回 顾,知 识 网 络 (学生用书P26)常用逻辑用语,规 律 方 法 (学生用书P26) 一四种命题及其关系 1.四种命题的概念 可以判断真假,用文字或符号表述的语句叫做命题.数学中,通常把命题表示为“若p,则q”的形式,其中p为条件,q是结论.条件p的否定记为非p,结论q的否定记为非q.则四种命题的结构形式为: 原命题:若p,则q;逆命题:若q,则p;否命题:若非p,则非q;逆否命题:若非q,则非p,也就是说,交换原命题的条件和结论可得逆命题;同时否定原命题的条件和结论可得否命题;交换原命题的条件和结论,并且同时否定,可得逆否命题.,2.四种命题之间的关系,原命题与逆否命题等价,逆
2、命题与否命题等价.,3.四种命题的真假关系 四种命题的真假有且只有下面四种情况,由上表可知,两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.因此这两个命题是等价命题.两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.因此四种命题中真命题的个数是偶数.,二充分条件必要条件充要条件 1.判定充分条件必要条件充要条件既不充分也不必要条件,最根本的方法是根据定义,运用“”(如下表):,2.命题的充要关系还可以利用集合间的包含关系来判定.设满足条件p的集合为A=x|p(x),满足条件q的集合为B=x|q(x),则 (1)若ABp是q成立的充分条件; (2)若A=Bp是q成立的充要条件; (3)若ABp是q成
3、立的充分不必要条件;同时q是p成立的必要不充分条件; (4)若AB且BAp是q成立的既不充分也不必要条件.,3.有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论.由“条件”“结论”是证命题的充分性,由“结论”“条件”是证命题的必要性.也就是说证明分两个环节:一是充分性;二是必要性.如果证明中每一步都可逆,也可用等价符号“”证明.,三简单的逻辑联结词 1.逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解 (1)“或”与日常生活用语中的“或”意义不同:日常生活用语带有“不可兼有”的意思,如吃饭或睡觉;而数学中的这一逻辑联结词含有“同时兼有”的意思.如x5或x9. (2)集合中的“交”“并”“补”与逻辑
4、联结词“且”“或”“非”密切相关. (3)“p或q”的否定是“非p且非q”,“p且q”的否定是“非p或非q”.,2.判断由简单命题与逻辑联结词构成的复合命题的真假,首先判断简单命题p和q的真假,再用真值表来判断,规律:“p或q”只有pq都为假时,才为假,其它情况均为真;“p且q”只有pq都真时为真,其它情况为假,“非p”与p的真假相反.,四全称量词与存在量词 1.常见的全称量词有:“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”.常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等. 2.同一个全称命题特称命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法,在实际应用中
5、可以灵活选择. 3.全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. 4.一个命题的否定与否命题的区别,否命题与命题的否定不是同一概念,否命题是对原命题“若p则q”既否定其条件,又否定其结论;而命题p的否定即非p,只是否定命题的结论. 命题的否定与原命题的真假总是相对立的,即一真一假;而否命题与原命题真假无必然联系.,数学思想方法 (学生用书P27) 1.等价转化思想 等价转化思想在本章中应用非常广泛,如命题真假可转化为对应集合间包含关系,原命题与其逆否命题等价等.在解决问题时,从命题的等价问题入手,有时更好理解,更容易解决.,分析:非p是非q的什么条件等价于q是p的什么条件.转化为集合间
6、的关系更易表达.,例2:已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件. 分析:设f(x)=x2+(2k-1)x+k2,则方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的实数根转化为函数f(x)的图象与x轴的交点在x=1的右侧.如图所示. 其充要条件是0,对称轴在x=1的右侧,且函数值f(1)0,解之可得.,2.分类讨论思想 分类讨论的目的就是把复杂问题分解为若干个能够简单明确的小问题求解.可以培养逻辑思维能力,是高考中考查的重点之一.,例3:已知p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负数根;q:不等式4x2+4(m-2)x+10的解集为R,若p或q为真命题,
7、p且q为假命题,求m的取值范围. 分析:先以pq为真命题求出相应的m的取值范围,再将p或q为真,p且q为假转化为pq一真一假,分两种情况讨论.,例4:若m0或n0,则m+n0,试判断此命题的真假. 分析1:m0或n0,包括三种情况,应分类讨论. 解法1:m0或n0,包括下列情形: m0且n0;m0且n0;m0且n0. 由是推不出m+n0的,如取m=-2,n=3, 则m+n=-2+3=10. 故原命题是假命题.,分析2:因为原命题的判断较困难,可判断它的逆否命题. 解法2:原命题的逆否命题是: 若m+n0,则m0且n0,这是假命题.如取m=-2,n=3,则m+n=-2+3=10. 而m0. 故原
8、命题是假命题.,专题一 逻辑连结词 可以判断真假的语句叫做命题,不含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题称为简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的新命题称为复合命题,复合命题的形式有“pq”“pq”“非p”.,例5:分别指出下列各命题的构成形式,并指出此命题的真假: (1)8或6是30的约数; (2)矩形的对角线垂直平分; (3)方程x2-x+1=0没有实数根. 分析:明确概念,熟记真值表.,解:(1)“p或q”的形式:其中p:8是30的约数,q:6是30的约数.原命题为真命题. (2)“p且q”的形式,其中p:矩形的对角线互相垂直,q:矩形的对角线互相平分.原命题为假命题. (3)“非p”的形
9、式,其中p:方程x2-x+1=0有实数根.原命题为真命题.规律技巧:“垂直平分”是指“垂直且平分”,是“p且q”的形式.,例6:已知命题p:xR,使tanx=1,命题q:x2-3x+20的解集是x|1x2,下列结论:命题“pq”是真命题;命题“pq”是假命题;命题“pq”是真命题;命题“pq”是假命题,其中正确的是( ) A. B. C. D.,答案:D,专题二 全称量词与存在量词 这一部分为新增内容,为体现新课标精神,高考中一定会考查,多以选择题填空题的形式出现,解答题可与函数方程相结合.,例7:(2010山东模拟)下列命题中是假命题的是( ) A.,R,使cos(+)=cos+sin B.
10、x0,有ln6x+ln3x+10 C.mR,使f(x)=(m-1)xm2-4m+3是幂函数,且在(0,+)上递减 D.R,函数y=sin(2x+)都不是偶函数 答案:D,解析:对于A,当=0,=0时,有cos(+)=cos+sin成立,所以A中命题成立; 对于B,令ln3x=t,则原不等式等价于t2+t+10(tR),由于0,所以该不等式恒成立,即B中命题为真; 对于C,若函数f(x)为幂函数,则m-1=1,即m=2,此时f(x)=x-1,它在(0,+)上递减,所以C中命题为真; 对于D,当 时,y=sin(2x+)=cos2x,此时为偶函数,所以此命题为假命题.,例8:设集合M=0,1,N=11-a,lga,2a,a,以下对“是否存在实数a,使MN=1”的判断正确的是( ) A.存在,且有四个值 B.存在,且有两个值 C.存在,且有一个值 D.不存在 答案:D,解析:选D. 由MN=1,得1N. 若11-a=1,则a=10,此时lga=1,即11-a=lga,所以a=10不合题意. 若2a=1,则a=0,此时lga无意义,所以a=0也不合题意. 若a=1,则lga=0,此时MN=0,1,所以也不合题意. 综上知,不存在实数a,使MN=1,故选D.,
