1、第二章 桁架,本章的主要论题有：,桁架的定义 有限元公式,2.1 桁架的定义,桁架是一种工程结构，它由直的杆件（member）组成，这些杆件在端点处通过螺栓、铆钉、销或焊接而连接在一起。平面桁架指的是所有杆件均在同一平面的桁架。施加在这种桁架上的力也必须在这个平面上。桁架的杆件通常被认为是二力杆。也就是沿杆的方向的内力大小相等、方向相反。,负载压缩二力杆拉伸,在许多力学的问题中，都讨论了静定桁架问题。这类问题通过将桁架分成节点和截面的方法进行分析。但在这类问题中，桁架的杆被看作是刚体。但是有限元的方法允许我们在去除刚体这一限制的情况下解决这类问题。,2.2 有限元公式,二力杆的平均应力为：杆的
2、平均应变为：在弹性区域，应力和应变服从虎克定律：由以上三个方程我们得到：,所得方程和线性弹簧的方程 很相似。因此，统一横截面的中心受力的杆建模时可以有如下刚度的弹簧：如图所示有五个节点和六个单元的桁架模型：,一般来说，需要两个参考系来描述有限元问题：整体坐标 系统和局部参考坐标系统。选择固定的整体坐标系统XY：（1）代表每个节点，使用角度 记录每个单元的方向。（2）根据各自的整体部件应用约束并施加负荷。（3）来表示问题的解，即在整体方向上的每个节点的位移。同时，需要一个局部的或单元的坐标系统来描述各个杆 （单元）的二力杆行为。,整体位移和局部位移之间的关系为：,将以上方程写成矩阵形式有：其中：
3、,和 分别代表整体XY坐标和局部xy参考系下节点i和j的 位移。 是从局部变形转化到整体变形的变换矩阵。,类似地，局部力和整体力之间有以下关系：写成矩阵形式有：,其中是整体坐标下施加在节点i和j上的力的分量。代表局部坐标下施加在节点i和j上的力的分量。,注意：在局部坐标下y方向上位移和力为零。因为在假设 的二力条件下，杆只能沿轴向（局部坐标下x方向）伸长或 缩短。局部内力和位移通过刚度矩阵有以下关系：其中 ，写成矩阵形式：,将 和 替换成 和 ，有：其中 是变换矩阵 的逆矩阵，为：将上边方程两边都乘以 ，得到：,相乘后得到以上方程表示了施加的外力、单元刚度矩阵和任意单元的节 点的整体位移之间的关系。,桁架的任意杆的刚度矩阵为：,
