1、三角函数知识归纳与典型例题1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半x轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3. 终边相同的角的表示： （1） 终边与 终边相同( 的终边在 终边所在射线上) ，注意：2()kZ相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.例 1
2、与角 的终边相同，且绝对值最小的角的度数是 ，合 弧度。825 536（2） 终边与 终边共线( 的终边在 终边所在直线上) .()k（3） 终边与 终边关于 轴对称 .x2()kZ（4） 终边与 终边关于 轴对称 .y（5） 终边与 终边关于原点对称 .（6） 终边在 轴上的角可表示为： ； 终边在 轴上的角可表示为：,y； 终边在坐标轴上的角可表示为： .,2kZ,2kZ例 2 的终边与 的终边关于直线 对称，则 _ _。6xyk,34、 与 的终边关系 ：由“两等分各象限、一二三四”确定.例 3若 是第二象限角，则 是第_一、三_象限角25.弧长公式： ，扇形面积公式： ，1 弧度(1r
3、ad) . |lR21|2SlR573例 4已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。答案：2 ）2cm6、任意角的三角函数的定义：设 是任意一个角，P 是 的终边上的任意一点(,)xy（异于原点） ，它与原点的距离是 ，那么 ，20rxysin,cosxrr， ， ， 。三角函tan,0yxcoty()secr0y数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关。例 5 （1）已知角 的终边经过点 P(5，12)，则 的值为 。cosin713（2）设 是第三、四象限角， ，则 的取值范围是_（1， _.m432sin )2（3）若 ，试判断 的符号答
4、：负0|cos|sin| )tan(cos)cot(si7.三角函数线的特征是：正弦线 MP“站在 轴上(起点在x轴上)” 、余弦线 OM“躺在 轴上(起点是原点)” 、正切线xxAT“站在点 处(起点是 )”.三角函数线的重要应用是1,)AA比较三角函数值的大小和解三角不等式。例 6 （1）若 ，则 的大小08sin,cota关系为_（ ）tansi（2）若 为锐角，则 的大小关系为,t_ ,（ ）it（3）函数 的定义域是_,)3sin2lg(co1xy答案： (,3kkZ8.特殊角的三角函数值：30 45 60 0 90 180 270 15 75sin2120 1 0 1624co31
5、1 0 1 0tan1 30 0 2- 32+cot31 0 0 2+ 2-9. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系： 222222sincos1,tansec,1otcs（2）倒数关系：sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1,（3）商数关系： iota,ti同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函
6、数值的绝对值。例 7 （1）函数 的值的符号为_大于 0 ,sintacoyy T A x BSOMP （2）若 ，则使 成立的 的取值范围是_ ,20xx2cossin12答案： ,4,3（3）已知 ， ，则 _ ,5sinm)(54cosmtan125（4）已知 ，则 _ ；1tasin335_ _;2csisi2 1（5）已知 ，则 等于 （ B ）0n60taA、 B 、 C、 D 、 ；21a21a2a21（6）已知 ，则 的值为_ 1 。xf3cos)( )3(sinf10.三角函数诱导公式（ ）的本质是：奇变偶不变（对 而言，指 取奇数或偶kk数） ，符号看象限（看原函数，同时可
7、把 看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成 2k + , ；(2)转化为锐角三角02函数。例 8 （1） 的值为_ _ ；97costan()si21463（2）已知 ，则 _ _，550i( )70co(54若 为第二象限角，则 _ _。18tan6s)si( 2 10311、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sinsincosisinicos令 22222co coin1sitat +stan s1n cointata1n令 例 9 （1）下列各式中，值为 的是 （ C 1） A、 B、 C 、 D 、15sinco 221co
8、sin251tan.；302（2）命题 P： ，命题 Q： ，则 P 是 Q 的 （ ）0ta(A)0taAA、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件；（3）已知 ，那么 的值为_ _ 35sincos()sin2cos725；（4） 的值是_ 4 _；1308sii(5)已知 ，求 的值（用 a 表示）甲求得的结果是 ，乙求得的tan0tan5 31a结果是 ，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是_甲、乙都对 ;2112. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数
9、变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦” ；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如 ， ，()()2()()， ， 等） ，2()()2例 10 （1）已知 ， ，那么 的值是_ _ tan51tan()4tan()432；（2）已知 ，且 ， ，求0229cos()2si()的值；答案：cos()4907（3）已知 为锐角， ， ，则 与 的函数关,sin,csxy3cs()5yx系为_ ；2331(1)55y(2)三角函数名互化(切割化弦)，例 11 （1）求值 ；（答案：1
10、sin0tan0（2）已知 ，求 的值；答案：co2,()23tan(2)18(3)公式变形使用（ 。tttt例 12 （1）已知 A、B 为锐角，且满足 ，则tantatn1AB_ _；cos()2(2)设 中， ， ，则此三角C3tant 34siAco形是_ 等边 _三角形；(4)三角函数次数的降升(降幂公式： ， 与升幂21ccos21sin公式： ， )。21coss1in例 13(1)若 ，化简 为_ 3(,)2cssi2；（2）函数 的单调递增区间为_553f(x)sincoxsx3(R)12k,kZ)(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。例 14 （1）化简 ；（
11、）tan(cosi)sintaco（2）求证： ；（ ）21taissi（3）：化简 （ ）42co2tan()si()xx1cos2x(6)常值变换主要指“1”的变换（ in22etantcotxx等） ，tansi4例 15已知 ，求 .（ ）tan222siicos35(7)正余弦“三兄妹 ”的内存联系“知一求二” ，c nxx、例 16 （1）若 ，则 _，特别提醒：这里sioti21t；2,t（2）若 ，求 的值。 ；1(0,)sinc2tan473（3）已知 ，试用 表示 的值。2sini1tak()42ksinco1k13、辅助角公式中辅助角的确定： (其中 角所在2sincos
12、axbabx的象限由 a, b 的符号确定， 角的值由 确定)在求最值、化简时起着重要作用。t例 17 （1）若方程 有实数解，则 的取值范围是_2,2sin3cosx_.；（2）当函数 取得最大值时， 的值是_ _；2yitanx32（3）如果 是奇函数，则 = 2 ；si2cs()fxxt（4）求值： _32_ ；0i640o1in32214、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数 和余弦函数 图象的作图sinyxcosyx方法：五点法：先取横坐标分别为 0， 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接3,起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。15、正弦函数 、余弦函数 的性质：sin()
13、yxRcos()yxR（1）定义域：都是 R。（2）值域：都是 ，对 ，当 时， 取最大值 1；当1,sinyx2kZy时， 取最小值 1；对 ，当 时， 取最大3xkZcosyxk值 1，当 时， 取最小值1。k例 18 （1）若函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 _，sin(3)6yabx2321a；b答案： 或,2a1（2）函数 （ ）的值域是_ 1, 2 xxfcos3sin)(2,；（3）若 ，则 的最大值和最小值分别是_7_ 6yin、_5_；（4）函数 的最小值是_2_，2()2cosi()3sifxxxicosx此时 ；1kZ（5）己知 ，求 的变化范围；21cosincosi
14、nt 10,2（6）若 ，求 的最大、最小值。si22iniy，1maxyin特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？（3）周期性： 、 的最小正周期都是 2 ；siyxcosx和 的最小正周期都是 。()si()fA()fA|T例 19(1)若 ，则 _ 0 ；3sinx12(3(3)fff(2) 函数 的最小正周期为 _ _；4()cof2cosx4inx(3) 设函数 ，若对任意 都有 成立，)5i(R)()(21xfxf则 的最小值为_ 2 _；|21x（4）奇偶性与对称性：正弦函数 是奇函数，对称中心是sin()yx，对称轴是直线 ；余弦函数 是偶函数
15、，,0kZxkZcos()yxR对称中心是 ，对称轴是直线 （正(余) 弦型函数的对称轴,02Z k为过最高点或最低点且垂直于 轴的直线，对称中心为图象与 轴的交点） 。例 20 （1）函数 的奇偶性是_偶函数 ；52ysinx（2）已知函数 为常数） ，且 ，则 5_；31f(x)abi(a,b57f()f()（3）函数 的图象的对称中心和对称轴分别是)coscs2xy_、_； ；8k(,(Z)28kx(Z)（4）已知 为偶函数，求 的值。3f(x)in)6kZ（5）单调性：上单调递增，在sin2,2yxkZ在单调递减； 在 上单调递减，32,kcosyx2,kkZ在 上单调递增。特别提醒，
16、别忘了 ！ k16、形如 的函数：sin()yAx（1）几个物理量：A振幅； 频率（周期的倒数） ；1fT相位； 初相；x（2）函数 表达式的确定：A 由最值确定；sin()yx由周期确定； 由图象上的特殊点确定，例 21 ， 的图象()i(0,f |)2如图所示，则 _ ；x15)2sin)3fx（3）函数 图象的画法：“五点法”设 ，令si(yAXx 0， 求出相应的 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变X,2换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数 的图象与 图象间的关系：sin()yxksinyx函数 的图象纵坐标不变，横坐标向左（ 0）或向右（ 0）平移 个单|位得 的图象
17、；six函数 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得到函数y 1的图象；sin函数 图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数x的图象；i()yA函数 图象的横坐标不变，纵坐标向上（ ）或向下（ ） ，sin() 0k0k得到 的图象。xk要特别注意，若由 得到 的图象，则向左或向右平移应平iyxsinyx移 个单位，|例 22 （1）函数 的图象经过怎样的变换才能得到 的图象？2sin()14yxsinyx；向上平移 1 个单位得 的图象，再向左平移 个2sin()4yx2sin()4yx8单位得 的图象，横坐标扩大到原来的 2 倍得 的图象，最后将纵坐标缩i小到原来的 即得 的
18、图象1siy(2) 要得到函数 的图象，只需把函数 的图象向_左_平移co()24xsin2xy23题 图29YX-223_ _个单位；2（3）将函数 图像，按向量 平移后得到的函数图像关于原点对称，72sin()13yxa这样的向量是否唯一？若唯一，求出 ；若不唯一，求出模最小的向量；a答案：存在但不唯一，模最小的向量 答：）(,)6（4）若函数 的图象与直线 有且仅有四个不同cosin02fxxyk的交点，则 的取值范围是 ；k1,)（5）研究函数 性质的方法：类比于研究 的性质，只需将i(yAsinx中的 看成 中的 ，但在求 的单调区间sin()yAsiyx()A时，要特别注意 A 和
19、 的符号，通过诱导公式先将 化正。例 23 （1）函数 的递减区间是_ 23sin(x)；（2） 的递减区间是_ ；124ylogc()（3）设函数 的图象关于直线 对称，)2,0(sin) Axf 32x它的周期是 ，则 （ ）A、 B、 在区间 上是减函数 )21,0()(的 图 象 过 点xf ()fx5,13C、 D、 的最大值是 A；)0,5(是的 图 象 的 一 个 对 称 中 心（4）对于函数 给出下列结论：图象关于原点成中心对称；sin3fxx图象关于直线 成轴对称；图象可由函数 的图像向左平移 个单位得到；122sinyx3图像向左平移 个单位，即得到函数 的图像。其中正确结
20、论是_ co；（5）已知函数 图象与直线 的交点中，距离最近两点间的距()sin()fx1y离为 ，那么此函数的周期是_ ；317、正切函数 的图象和性质：tay（1）定义域： 。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数|,2xkZ的定义域了吗？（2）值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是 ，它与直线 的两个相邻交点之间的距离是一ya个周期 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如 的周期都是 , 但xysin,i2
21、sinyx的周期为 ，而 ， 的周期cosx21|s(3)|,2i(3)2|66yx|ta|不变；（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是 ，特别提醒：正(余) 切,0kZ型函数的对称中心有两类：一类是图象与 轴的交点，另一类是渐近线与 轴的交点，但无xx对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。（5）单调性：正切函数在开区间 内都是增函数。但要注意,2kk在整个定义域上不具有单调性。如下图：18. 三角形中的有关公式： (1)内角和定理：三角形三角和为 ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角
22、 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理： (R 为三角形外接圆的半径).注意：正弦定2sinisinabcABC理的一些变式： ；csin,si,sin2abABCR； ；已知三角形两边一对角，求解三角2cR2si,si,iab形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3)余弦定理： 等，常选用余弦定理鉴定2222co,sbca三角形的形状.(4)面积公式： （其中 为三角形内切圆半径）.如11in()aShbCrr三 角 函 数 图 象 几 何 性 质 xOyx=1x=2x4邻 中 心 |x3-4|= T/2邻 渐 近 线 |x1-2|=T无 穷 对 称 中 心 :由 y=0或 y无 意 义 确 定y=Atan( x+ )x3 无 对 称 轴任 意 一 条 y轴 的 垂 线 与 正 切函 数 图 象 都 相 交 ,且 相 邻 两交 点 的 距 离 为 一 个 周 期 ！三 角 函 数 图 象 几 何 性 质 xOyx=1x=24邻 中 心 |x3-4|=T/2邻 轴 |x1-2|T/无 穷 对 称 中 心 :由 y=0确 定 无 穷 对 称 轴 :由 y=A或 -确 定y=Asin( x+ )x3 4T邻 中 心 轴 相 距
