1、三次函数性态的五个要点厦门六中 黄银旺三次函数的一般形式为 y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (不妨 a0,a、b、c、dR) ，近几年的全国各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数式的取值范围的探究等函数性态，凸显“在知识网络交汇点上命题”的理念，本文结合相关试题阐述三次函数性态的要点。要点 1.三次函数 y=f(x)在(-,+)上的极值点的个数简析：若函数 f(x)在点 x0的附近恒有 f(x0)f(x) (或 f(x0)f(x)，则称函数 f(x)在点 x0处取得极大值（或极小值） ，称点 x0为极大值点（或极小值点） 。据此有
2、结论：三次函数 y=f(x)在(-,+)上的极值点要么有两个，要么不存在极值点。论证如下：令 f（x）=3ax 2+2bx+c，y=f（x）的极值点就是方程 f /（x）=0 的实根。当 =4b 2-12ac0 时，方程 f/（x）=0 有两个不等的实根，记为x1、x 2，则 x1、x 2是 f（x）在(-,+)上的两个极值点；当 =4b 2-12ac =0时，该方程有两个等根：x 1=x2=x0，由下表可知y=f（x）在(-,+)上单调增，此时 y=f（x）没有极值点；x (-,x 0) x0 （x 0，+)f/（x）+ 0 +f(x) 当 =4b 2-12ac0 时， f/（x）=0 无实
3、根，f(x)没有极值点，结论得证。试题链接：错解剖析例 1.（2004 年湖北高考文考卷）已知 b-1，c0，函数 f（x）=x+b 的图象与函数 g（x）=x 2+bx+c的图象相切， （）求 b与 c的关系式（用 c表示b） ；（）设函数 F（x）=f（x）.g（x）在(-,+)内有极值点，求 c的取值范围。解：（）依题意，函数 f（x）=x+b 的斜率为 1，g（x）=1，得 2x+b=1，故 x=（1-b）/2 为切点的横坐标，将 x=（1-b）/2 分别代入 f（x） 、g（x）的函数解析式，得 f（1-b）/2=g（1-b）/2，化简为（b+1） 2=4cb-1，c0，b=-1+2
4、c 1/2 （）F（x）=f（x）.g（x）=x 3+2bx2+（b 2+c）x+bc，F（x）=3x 2+4bx+b2+c=0，令 3x2+4bx+b2+c=0，=16b 2-12（b 2+c）=4（b 2-3c） ，当 =0 时，则 F（x）=0 有两个等根 x0；当 0 时，F（x）=0 有两个不等的实根 x1、x 2（ 设 x1x 2） ，综上所述，当且仅当 0 时，函数 F（x）在(-,+)上有极值点。由 =4（b 2-3c）0 得 b- 3c 或 b3c。b=-1+2c，-1+2c3c 或-1+2c3c，解之得 0c7-43 1/2或c7+43 1/2，故所求 c的范围是（0，7-
5、43 1/2 7+43 1/2，+）点评：第一小问解的好，但第二小问的解答却出了一点错误，错因剖析如下：把函数有极值的问题转化为一元二次方程 F/（x）= 3x 2+4bx+b2+c=0有实根，即 0。忽略了极值存在必须检验 F（x）的符号这一重要细节，若 =0，则 F（x）=0 有一对等根 x0，F /（x）的取值符号如下表：x (-,x 0) x0 （x 0，+)F/（x） + 0 +F(x) 可知 x=x0不是函数 F(x)的极值点。（）正确解法如下：F（x）=f（x）.g（x）=x 3+2bx2+（b 2+c）x+bc， 令 F（x）=3x 2+4bx+b2+c=0当 =16b 2-1
6、2(b2+c)0 时， F（x）=0 有两个不等的实根 x1、x 2（ 令x1x 2） ，F（x）的取值变化如下表：x (-,x 1) x1 （x 1，x 2） x1 （x 1，+)F/（x） + 0 - 0 +F（x） x=x 1是函数 F(x)的极大值点，x=x 2是它的极小值点。 由 =4（b 2-3c）0 得 b- 3c 或 b3c，b=-1+2c代入得 0c 或 c 。 347347.当 =0 时， F /（x）=0 有一对等根 x0，F /（x）的取值规律如下表：x (-,x 0) x0 （x 0，+)F/（x） + 0 +F(x) 函数 F(x)此时不存在极值点。综上所述可知，当
7、且仅当 0 时，F（x）在(-,+)上有极值点，c 的取值范围是（0， ）（ ，+）347347点评与反思：洞察极值存在的细节，是成功解好本题的关键。 要点 2.三次函数 y=f（x）的图象与 x 轴交点个数交点个数的本质是多项式 ax3+bx2+cx+d在实数集上怎样进行因式分解，记ax3+bx2+cx+d=a（x-x 1） （x-x 2） （x-x 3） ，（）若 x1x 2x 3，则交点为 3个；（）若 x1、x 2、x 3中有两个相等，不妨 x1=x2x 3，则交点为 2个。（）若 x1=x2=x3，则交点为 1个；（）若 f（x）=a（x-x 0） （x 2+dx+e） ，且 有 d
8、2-4e0，y=f（x）的图象与x轴只有一个交点。试题链接例 2.（2000 年春季高考题）已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（ ）A .b（-，0） B.b（0，1）C .b（1，2） D. b（2，+）略解：设 f（x）=a（x-1） （x-2）=a（x 3-3x2+2x）b=-3a，c=2a，d=0 ，又 a0，b0,选（A ）再看一题：如图，函数 yf（x）的图象如下，则函数 f（x）的解析式可以为（ ）f（x）（xa） 2（bx）f（x）（xa） 2（xb）f（x）（xa） 2（xb）f（x）（xb） 2（xa）不难知，选（A）又如运用“序轴法”解一元三次
9、不等式 x（x-1） （x-2）0，易知 x的范围是：（0，1）（2，+） ，我们都要先得出三次函数的图象与 x轴的交点。要点 3.单调性问题试题链接例 3.函数 f（x）=x 3/3+ax2/2+ax-2 （a）在(-,+)上为单调增函数，求实数 a的取值范围。错解：令 f（x）=x 2+ax+a0 在(-,+)上恒成立 =a2-4a0 得 0a4x错因剖析：当 f（x）0 时，f（x）为增函数，但反之未必为真。举一反例：函数 f（x）=x 3是实数集 R上的增函数，但 f（0）=3x2 x=0=0。回过来看例 3，=a 2-4a0，得 a0，4为它的解。说明 1：设 f（x）在区间 D上可
10、导，则 f（x）在区间 D上递增（或递减）的充要条件是：f（x）0 （或 f（x）0） 注释说明 2：在本例题中，当 a=0时，f（x）=x 3显然在 R 上单调增；当 a=4时，f（x）x /3x x-（x x x-）/3+2/3（x） /3+2/3不难知函数 yx /3的图象按向量 a=（， ）平移就可得到 y=f（x）的图32象。可见 a=0、a=4 也是解。例 4.已知函数 f（x）x /3（m）x （m m）x在实数集上是增函数，求实数 m的取值范围。解：yf（x）在上是单调增函数f（x）x （m）xm m在上恒成立，= =m m得 m小结：三次函数 y=f(x)=ax3+bx2+c
11、x+d (不妨 a0,a、b、c、dR)为 R上的增函数，图象可分为两种形式：其一是由 yax 的图象平移而得；其二是由函数 yax（x 2sxt） （a，s,t且 t，s 23t）的图象平移而得。附注：yax（x 2sxt）ax 3asx atx yax asxat0 在 R上恒成立，0，得 s 2t。而 x2sxt0 在 R上恒成立，得 s2t。s2t 比 s2t更进一步。这也就是为什么附属条件不是 s2t而是 s2t 的原因。要点.三次函数 f（x）图象的切线条数试题链接例 5.已知曲线 y x 3/34/3，求曲线在点（，）处的切线方程解：f（x）x 2，f（），曲线在点（，）处的切线
12、斜率为 kf（）代入直线方程的斜截式，得切线方程为：y（x） ， 即 yx变式：已知曲线 yx 3/34/3，则曲线过点（，）的切线方程 。错解：依上题，直接填上答案xy错因剖析：如下图所示，在曲线上的点 A处的切线与该曲线还有一个交点。这与圆的切线是有不同的。 点（，）在曲线 yx 3/34/3 上，它可以是切点也可以不是。正确解法：设过点（，）的切线对应的切点为（x 0，x 03/34/3） ，斜率为 k=x02，切线方程为 y -（x 03/34/3 ）=x 02（x-x 0）即 y=x02x- 2x03/3+4/3 点（2，4）的坐标代入，得 4=2x02- 2x03/3+ 4/3，
13、2 x03-6 x02+8=0 ， x 03-3x02+4=0， 又x 03+1-（3x 02-3）=0（x 0+1） （x 02-x0+1）-3（x 0-1） （x 0+1）=0（x 0+1） （x 02-4x0+4）=0 x 0=-1或 x0=2切线的方程为 4x-4-y=0或 x-y+2=0点评：一个是“在点（2，4） ”、一个是“过点（2，4） ”，一字之差所得结果截然不同。要点 5.融合三次函数和不等式，创设情境求参数的范围. 试题链接：例 6.已知函数 f（x）= x3/3+ ax2/2+ax-2（a） ，设 A（x 1，f（x 1） ） ，B（x 2，f（x 2） ）是函数 f（
14、x）的两个极值点，若直线 AB的斜率不小于- 5/6 ，求实数 a的取值范围。解：k AB=f（x 1）-f（x 2）/（x 1-x2）=（x 13-x23）/3+a（x 12-x22）/2+a（x 1-x2）/（x 1-x2）=（x 12+x1x2+x22）/3+a（x 1+x2）/2+a-5/6 在实数集上恒成立。x12/3+（x 2/3+a/2）x 1+x22/3+ax2/2+a+5/60 在实数集上恒成立，2x12+（2x 2+3a）x 1+2x22+3ax2+6a+50=4x 22+12ax2+9a2-8（2x 22+3ax2+6a+5）=-12x22-12ax2+9a2-48a-4
15、00 在实数集上恒成立，即 12x22+12ax2-9a2+48a+400 在实数集上恒成立，=144a 2-48（-9a 2+48a+40）0，得实数 a的取值范围是 2-661/2/3a2+66 1/2/3。类似的试题再来一道：例 7.已知函数 f（x）=-x 3+ax2+b， （a，bR）图象上任意两点的连线斜率小于1，求证：a 23。证明：对任意 x1，x 2R，k=f（x 1）-f（x 2）/（x 1-x2）=-x12+x1x2+x22-a（x 1+x2） 1，即 x12+（x 2-a）x 1+x22-ax2+10，对 x1R 恒成立，=（x 2-a） 2-4（x 22-ax2+1）0 对 x2R 恒成立，即 3x22-2ax2+（4-a 2）0 对 x2R 恒成立，=4a 2-12（4-a 2）0， a23。得证。本文结合有关试题探讨了三次函数的性态，分析了命题的规律，未尽之处敬请指教。注：函数单调性的充要条件引自华东师范大学数学系编 数学分析上册，第三版第 123页 定理 6.3）
