1、集合间的基本运算教学设计（人教版高中数学必修一第一章 1.1.3）授课人：伊西凡学号：2013012402数学与统计学院 2013 级集合间的基本运算教学设计（授课内容：高中必修一第一章 1.1.3）教师 伊西凡授课对象高中一年级课题 集合间的基本运算计划课时30 分钟章节名称人教版高中数学必修一第一章 1.1.3教学分析教材分析集合知识是高中知识的基础，让学生掌握集合语言描述数学是非常重要的，本节课为学生运用集合语言提供了平台学情分析学生已经学过了集合的基本概念及相关性质；高一的认知水平从形象到抽象因此借助维 N 图等方式过渡更自然。教学目标1.理解两个集合交集与并集的含义，特别是概念中“或
2、” “且”的理解，会求两个简单集合的交集与并集。2.能用维 N 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。3.学习中还要注意结合实例，运用数轴、不等式等表示集合及运算，从而更直观明了的解决有关集合的运算问题。教学重点 并集交集概念的理解，尤其是“或”与“且”的区分教学难点 运用交并集与集合的联系教学准备教学方法1. 利用 Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。2. 利用数轴等方法解决集合问题，使得学生更容易接受集合的运算性质的运用。教学过程设计活动名称 教师教学引入课题复习：同学们好，在前面几次课中，我们学习了集合的概念以及集合间的基本关系，我们了解到了什么是
3、集合以及子集的相关性质。那么这一节课，我们将要学习除了子集之间这样的关系之外，集合间还有什么样的运算？引入：那么我们比如说。集合 A 中有 2、3、4 这三个元素；集合 B 中有 1、2、3 这三个元素；那么 2、3这两个元素是不是既在 A 中又在 B 中啊？那么也就是说它既是 A 的子集又是 B 的子集，那么像这样的情况，我们把由 2、3 两个元素组成的集合称为集合 A 与集合B 的交集也是我们这节课要学习的集合间的基本运算。设计目的对前几节课集合的定义与性质以及子集的相关知识进行简单概括性的回忆，使得学生更易于接受新的知识。同时运用简单的例题引入课程，使学生更易于理解交集的概念。探究新知新
4、课讲解交集定义：由集合 A 和集合 B 所组成的公共元素构成的这样的集合，我们把它称为交集，我们用AB=x xA 且 xB来表示，也就是既在集合 A中又在集合 B 中的元素。区分交并集：那么如果我们又有一个集合，集合D=1、 2、 3、4那么我们能不能说 D 是 A 与 B 的交集囊？显然不能，因为我们集合 A 中没有 1 这个元素而我们的集合 B 中没有 4 这个元素，但是集合 D 中，我们可以观察到是不是包含了集合 A 和集合 B 中所有的元素了？因此针对于这种情况，我们把集合 D 称为集合A 与集合 B 的并集。并集定义：由所有属于 A 或属于 B 的元素组成的集合，我们称为并集。用符号
5、语言记作：AB=x xA 或 xB注意这个或字，我们的交集是xA 且 xB ，而并集是 xA 或 xB，同学们注意一下它们之间的区别与联系。那么随意给我们两个集合，我们可以很轻松的找出他们的交集与并集。例题：就比如说：A =x-1 大于 x 小于 2 ，B=x0 大于 x 小于 3，那么，我们 A 并 B 是什么情况呢，A 交 B 又是什么情况呢？请同学们思考一下那么对于这种情况，我们可以借助于数轴来进行表示。那么 A 并 B 意味着 A 与 B 的所有的元素的和即我们线条覆盖住的部分，也就是大于-1 小于 3，即 AB=xx大于-1 小于 3那么 A 交 B 就是既属于 A 又属于 B 的部
6、分，也就是我们线条重合的部分，则 A 交 B=x 大于 0小于 2，当我们遇到实数集的交集或并集的时候我们往往借助于数轴来进行表示他们交集与并集的情况，这就是交集与并集的概念。那了解了这样一个概念之后我们知道 A 交 B 是一个既属于 A 又数与 B 的一个交集，那么 B 交 A 也是一个既属于 A 又数与 B 的一个交集构成的，所以我们可以说对于交集来说，我们是有一定的运算性质的：交并集运算性质：即 AB=BA,类似的AB=BA，所以交集与并集都满足交换律。那么我们A 与他本身的交集依旧是它本身，A 与它本身的并集也是他本身；因为空集是没有一个元素的，所以我们A=A,那么同样有 A=A；这就
7、是交集与并集它的运算。同时我们还要注意 AB 是 A 与 B 的公共元素所以 AB 属于 A，而 AB 是 A 与 B 所有的元素，因此ABAAB。所以这个时候，他与子集是有联系的，那么我们想一下如果 AB=A 是不是意味着 A 为 B 的子集。当然这个结论反过来也是成立的。那类似于并集也是一样的。如果 AB=A 也就有 B 属于 A，当然反过来也是成立的。所以我们要注意这是他的运算定律，当然我们还要注意另外一个原理。这就是容斥原理。容斥原理：我们如果把元素 A 中的元素个数记为cardA 的话，那么我们可以知道集合 AB 的元素个数也就是 card（AB） ，它与集合 A 集合 B 与集合
8、AB 的元素个数是存在联系的，他就等于 cardA+cardB- card（AB） ，也就是说减去他们中间公共元素的个数，简单来说就是，集合 A 的元素个数，加上集合 B 的元素的个数，是不是我们中间重复多算了一个集合 A 与 B 的公共元素，因此我们减去多余的那个，这就是容斥原理，我们要注意了解。 （可以用维 N 图进行讲解）设计目的对交集的概念进行总结后进行简单的小练习，运用数轴进行描述交集，使学生加深对交集定义的理解。同时对并集进行类比式教学，使学生学会自主性学习。最后通过 Venn 图引入容斥原理，加深学生对交并集集合中元素的理解，为以后习题做准备。例题讲解实战演练例题：设 A=xx
9、2+ax+b=0，B= A=xx 2+cx+15=0且 AB=3、5，AB=3，求实数a、b、c 的值。分析：对于这个问题，我们需要考虑 AB=3，也就是说 3 即为 A 的解，又为 B 的解。我们知道集合 A 中有 a、b 两个参量，而集合 B 中只有 c 一个参量，因此，我们可以先把 c 求出来，那么我们的集合 B 就可以确定了，那由此我们可以根据运算把集合 A 确定下来，并由此求出 a、b 的值。那么接下来我们来进行求解。求解（方法一）：AB=33B 且 3A(代入 x=3)q+3c+15=0c=-8（那么 c=-8 之后则集合 B 可的出解）B= xx 2+cx+15=0=3、5（那集
10、合 B 中有两个元素）由于 AB=3、5，AB=3（意味着集合 A 中只有一个元素 3，集合 A 中不可能有元素 5，否则他的交集就不止只有 3,；当然也不可能有其他的元素，否则他的并集就不止 3、5 两个元素。所以我们得出集合 A 中的元素就是 3，而且我们集合 A 是一个一元二次方程的解集，如果有解，且为单解，即有两个等根也就是判别式=0，那然后我们把 3 带回去进行求解，当然这是一种比较麻烦的方法。求解（方法二）：我们可以选择用两外一种方法，也就是我们一元二次方程根与系数的关系。也就是如果我们方程 x2+ax+b=0 有两个相同的等根，那我们可以用韦达定理，也就是 ） 。1+2=， 12
11、=针对于这个题目，由韦达定理3+3=-a，3*3=b。a=-6，b=9（那么就解出来了）。综上所述，a=-6，b=9，c=-8总结：那么我们看这个题目，它给出了 AB 的方程以及他们的交集和并集，那么我们首先运用的应该是交集，因为他可以同时满足集合 A 与集合 B 的性质，最后结合并集的情况进行求解。设计目的运用例题，对所学的知识进行加深，同时结合初中所学知识一元二次方程判别式，一元二次方程根与系数的关系（维恩定理） ，扩宽学生的整体思路，使得学生对初中所学知识与高中所学知识进行链接，同时为下一单元所学内容函数打下坚实的基础。深入探究链接高考例题：若 ，是否存在实B=x 2-3x+22 21）
12、 2（ 01） 2则无解。1或 12综上所述 a 的取值范围是 或 a=012设计目的运用数轴进行例题讲解，使得学生更利于理解高考题目，使得学生真实接触高考题目。同时对题目进行分情况讨论，使得学生的思路更加细腻。1 a a2 22a2 a1归纳总结知识升华所以在这个里面，我们遇到的是并集与子集的相关问题，我们要充分运用子集以及相关性质，以及运用我们的数轴以及举例的方式把相关集合一一列举出来，但是无论用哪种方法，我们都是对交并集性质的理解，以及它们的运算性质得出的相应结论。这是我们这一节课所学的内容，那么这节课就到这里，同学们再见。设计目的 总结所学内容，整体把握所学新知识布置作业 课后习题 A 组 6,、7、8 题设计目的 巩固所学知识，复习总结教学反思
