1、北京天问教育 远程考研政治保过 不过全额退款天问教育 1欲索取更多考研资料，请上北京天问教育网站官网！2004 年上海交通大学 数学分析一（14）设 ，证明limna22li1anann证 因 ，故利用 Stolz 公式， ，2nxA1limlinnyyxx得 12 112()li lilili2nnnnaaaa二（14）证明 在 上不一致连续.si()x,0证 因 ， ， ，2n2ny22sini1nxy，102nxy故 在 上不一致连续.2si(),0三（14）设 在 上连续，且 ，证明 ，使(xfa2, )0(f)af0xa,)(0xf证 作 （ ） ，则 在 上连续，()g,()g,因
2、 ，故 ，)0(f2af()(g情形 1 若 ，则取 ，则 ，00x)(0xf)(0af情形 2 若 ，则因 ，故由介值定()2(2ag理知，存在 ，使得 ，即 .0,xa0)g)(0xf)(0f四（14）证明不等式 ，xsinx2,证 作 ， ，则因i()f0,北京天问教育 远程考研政治保过 不过全额退款天问教育 2，22cosincos()(tan)0xxf x故 在 上严格单调减少，而 ，if0,0lim()1xf，2lim()xf因此，在 上，有 ，即 .0,2sin()1xfx2sinx五 (14) 设 收敛,且 在 上一致连续，证明dax)(f,a= 0.)(limxfx证 因 在
3、 上一致连续，故 ， ，使得当)(xf, 0且 时，有 ，12,ta12t12()ft令 ，则由积分第一中值定理得，(1)danufx，使得 .,nx(1)d()annufxf因 收敛，故级数 收敛，从而 ，即()dafx1n0nu，也即 ，故对上述的 ，存在 ，使得()0nf)0nf NA当 时， .N(2x取 ，则当 时，因XaX0,(1),kxak故存在惟一的 ，使得 ，易见 ，且A,xakN，从而kx北京天问教育 远程考研政治保过 不过全额退款天问教育 3()()2kkfxffx六（14）设 ， ， ，证明级数21nx12dnx,收敛.1nn解. ，因 ，故只要112dln|l()nx
4、xn 21nSk证收敛即可.12 1l()nnkkkSxk21()nk七（14）设 在 上连续， = 0 , ， ，)(f,0f nnxfg)1,2证明 在 上一致收敛.xgn1八（12）设 在 上连续，证明 .()f, 10lim()dnnf)(f证 （1） （令 ，则 ， ntx10()fx1ntft（2）因 在 上连续，故 ，使得 ，()f,0M()x， （3） ，记 ，不妨设 ，则,1x3a01a，11000()d()d3anntftftt（4）111()dnnnaaatftftfftftft111)nnnatftftft11(d()dnna aftftft北京天问教育 远程考研政治保
5、过 不过全额退款天问教育 4（5）因 在 上连续，故 在 上一致连续，故对上述的()fx1,0()fx1,0正数 ， ，当 且 时，有2,21()3(1)fxfa（6）因 ，记 ，则存在正整数 ，使1limnain,MN得当 时，有 ，N1n（7）当 时，有 ，从而当 时，有(,)ta111nnntta11()d()d3nna aftftft（8）由（3）和（7）知，当 时，有N10()d(1)ntftf110 2()d()d(1)3annatftftf九（12）设 0， ，证明 1 11nnlim2n证 （1）要证 1 ，只要证 ，lim2nalina即只要证 ，即证1li()n21li()
6、n（2）因 ，故 ，1nan10nna21nna111 22()()nn nnn因此只要证 ，即只要证2lim0nalima北京天问教育 远程考研政治保过 不过全额退款天问教育 5（3）由 知， 单调增加，假如 有上界，则10nnanana必有极限 ，由 知， ，因此 ，矛盾.n1n 10这表明 单调增加、没有上界，因此 . （证完）alimna十（28）计算下述积分：1 ，其中 D 是矩形区域 ，2dDyx x120y解 记 21(,)|1,0,y，2|1 22 2dddDDDyxxyx1 12 2210()()xyy3 3211d()dx3 32 210044()x143006dcosdxt(sin)t这 里2403t4011cos42sd2tt403insi8ttt北京天问教育 远程考研政治保过 不过全额退款天问教育 614358232 ，其中 S 是曲面2d()ddSyzxzyxy上 的那部分正侧.24x0解 记 （取下侧） ，2(,)|4,0yzxy，则 ，由高斯公式知，(,)|0VxVS2 2d()dd()d0S Vyzzxxzyz 242 204()()Vxzyxyz4201)y4306
