1、第 38 讲 轨迹问题（第课时）参 数 法交 轨 法转 移 法 （ 代 入 法 ）待 定 系 数 法 （ 定 义 法 ）直 接 法求 轨 迹 方 程 的 方 法求 轨 迹 方 程 的 步 骤轨 迹 方 程 的 意 义重点：1掌握轨迹方程的意义和求解步骤；2掌握求轨迹方程的基本方法。难点：1灵活选择恰当的方法；2去掉不合题意的点。1掌握求轨迹方程的基本方法；2灵活选择恰当的方法或交叉使用多种方法求轨迹方程。多以综合题的面目出现。1曲线的方程与方程的曲线曲线的方程：在坐标平面内的曲线 ，方程 ，如果有：l0),(yxf曲线 上所有点的坐标都满足方程 ；坐标满足方程 的所有点，l 0),(yxf都在
2、曲线 。那么把方程 叫做曲线 的方程，而把曲线 叫做方程 的曲0),(yxf l线。这样研究曲线的几何问题就可以转化为研究这曲线方程的代数问题了。2求曲线的轨迹方程的步骤 建立适当的坐标系，设曲线上的任一点坐标为 ；),(yxM 由曲线上的点 应该满足的条件列出等式并化简得出方程；),(yx证明所得的方程是这曲线的方程。注意：区分题目的要求是“求轨迹方程”还是“求轨迹” ，对于后者，在求出轨迹方程以后，还要进一步指出方程所表示的曲线的类型。当所求的轨迹不是整条曲线时，应该指明是曲线的那一部分。神经网络 准确记忆！重点难点 好好把握！考纲要求 注意紧扣！命题预测 仅供参考！考点热点 一定掌握！轨
3、迹问题3求曲线的轨迹方程的方法求曲线的轨迹方程常用的方法有：直接法，待定系数法，转移法，交轨法，参数法。 直接法所谓直接法，就是根据动点满足的几何条件或者等量关系，直接列出包含已知量和动点坐标的等式，化简后就是所求的轨迹方程。例平面上有定长线段 ，动点 到 的距离是到 的距离的二倍。求 点的轨迹方程。BCACA解：在线段 上取一点 ，使 。以 为原点， 所在的直线为 轴，建立O2OBx直角坐标系。设 ( ,0)、 ( ,0)、 ，Caa2)(yx， ,即 ，AB 22)(yax故所求的轨迹方程为 。04点评：本题使用直接法。 待定系数法（也叫定义法）如果根据题目的条件可以判别轨迹的类型与形式时
4、，可以根据曲线的各种标准方程写出轨迹方程。有时需要先在方程中使用系数，然后再根据题条件求出系数。例设椭圆的中心在原点，椭圆在 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此x焦点和长轴上较近的那个顶点的距离是 ，求椭圆方程。510解：设椭圆长轴为 ，焦距为 ，顶点为 、 、 、 ，a2cAB根据椭圆的标准方程可知 ，由已知 有 ， ，1FB41Oca2由得 ，50解之得 ， ，ca故所求的椭圆方程为 。12yx例抛物线 的内接三角形的一个顶点在原点，三边上的高都通过抛物线的焦 点，py2求此三角形外接圆的方程。解：设所求的方程为 ，02FEyDxy已知原点在圆上，则上面方程的常数项 ，故所求的
5、方程为 ，2x又已知圆过 、 及 ，A)(1， B)(2， ABO ， ，12x2y又 ， ，OBE1EOAk 焦点坐标为 ， ，解之得 ， ，)0,(pF201pxypx251y1把 、 的坐标代入圆的方程，求得 ， ，AD90E故所求的方程为 。092pxyx 转移法（也叫代入法）如果动点 依赖于已知曲线上的另一点 而运动，且 点的坐标也可以用动点Q)(1yx， P的坐标 来表示，那么只需把 点的坐标用 来表示后再代入已知曲线的方程，1、 1yx、所得即为动点 的轨迹方程。所谓“转移”就是把 的坐标 通过 点转移到曲线的方Q1、 P程中去。例已知圆 及点 (4，0)，当 点在已知圆周上移动
6、时，求线段 中点42yxAA的轨迹方程。解：设动点 的坐标为 ，Q)(1，根据中点公式可得 点的坐标为 ，P)24(1yx， 点在圆上， 点坐标应适合圆得方程，把 点坐标代如圆方程得 ，)21即 ， （这是 之间的关系，也就是 点)2(211yx1、 Q运动时需要满足的条件，当然就是 点的轨迹方程）故所求的轨迹方程为 。)(2yx点评：习惯上写轨迹方程时， 、 一般不带下标，所以最后的结果要去掉下标。 交轨法假若能够确定动点同时在两条曲线上，可以利用这两条曲线的方程，消去参数得出所求的轨迹方程。有时可能需要自行添加一条曲线以造成能使用此法的条件。例过点 ( ， )作圆 的任意割线，交圆于 、
7、两点，求 的中P212yxMN点 的轨迹。Q解：如图，连接 ，则 ， 点可以看成动直线 与动直线 的交点。OQMNOQ的方程为 ， 的方程为 ，MN)(ky xky ， ，1 点的轨迹方程为 Q)3(21(2OQMNkxy 结合消去 、 得 点的轨迹方程为 ， )(yxyx即 （ ， ）1)2()(2yx 1212如图， 点的轨迹是在圆 内的一段弧,如粗实线所示。Qyx 参数法有时可以由题设条件，引进一个中间变量（参数）来表示动点的坐标，从而求出轨迹方程。例如图，有边长为 2 的等边 ，顶点 在纵轴上移动， 在横轴上移动，求第三个PABB顶点 的轨迹方程。P分析：点 的坐标 和 之间的关系不易
8、直接看出来，但是 和 都和 的变化有xyxyPD关，故可引进参数 ，那么 ，BD120O ，sin3cos120cos(BDOxin2siPy 点的参数方程为 ，siin3yx消去参数得 。012点评：本题的题目如果去掉“如图”两字，则应有两解。如另图所示。JJ 02 求轨迹方程 1 2 3 4 5 6 7直接法 待定系数法(定义法) 转移法(代入法) 交轨法 参数法 1 （2000 年高考春季北京题） 如图，设点 A 和 B 为抛物线 上原点以外042pxy的两个动点，已知 OAOB，OMAB.求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。解：如图，点 A，B 在抛物线 上，pxy42设 ，O
9、A、OB 的斜率分别为 、 。Byp,42 OAkB ,OAOAykk,2由 OAAB，得 162BAp依点 A 在 AB 上，得直线 AB 方程 pyxyyAAB42由 OMAB，得直线 OM 方程 xpA4设点 M ，则 满足、两式，将式两边同时乘以 ，并利用式整理得yx, px4.0422yxypxA由、两式得,2B由式知， 16yA能力测试 认真完成！参考答案 仔细核对！D 042pxyx因为 A、B 是原点以外的两点，所以 ,所以 M 的轨迹是以（2p，0）为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点。2如图，直角三角形两直角边分别为 和 ，当两锐角顶点 、 分别在互相垂直的坐abAB
10、标轴上移动时，求直角顶点 的轨迹方程。C分析：设 ， 、 、 、 四点共圆，由图OBA可知， ，因此可知动点 在倾斜角等于 并O经过原点的直线上，即轨迹方程为 ，由于 点可以在任xayC何象限，故所求的轨迹方程为 。b点评：本题使用定义法，利用了平面几何性质。解题错误：未考虑 点在二、四象限的情况。C3点评：本题使用待定系数法。4求以定圆 ： 上的定点(0，0)所引各弦的中点的轨迹方程。要求把Q22)(ayx结果化为普通方程。分析：如图，设圆 的半径为 ， 是弦，动弦中点为 ，OB),(yxP由于 点运动规律不明显，但 点依赖于 点运动，且 点坐标可以用 点坐标 来PPByx、表示，故本题宜用
11、转移法。解：设动弦中点为 ，动弦与圆的交点为 ，),(yx)(1，根据中点公式有 ， ，即 ， ，211x21y 点在圆上，所以 点坐标适合圆方程： ，BB2)(aa即 ，2)()(ayx故所求的轨迹方程为 。22)(yx（参数方程为 ， 为参数 ，极坐标方程为 ）21kay cosa点评：本题使用转移法。5求椭圆 的两垂直切线的交点的轨迹方程。要求把结果化为普通方程。2bax分析：易知两垂直切线的方程分别为 2bkaxy 21bkaxy由于动点是两直线和的交点，故可由消去参数 即可得到动点的轨迹。化为 222kxybka化为 +/ 得所求的轨迹方程为 。)1(2k22bayx点评：本题使用交
12、轨法。6如图，长度为 1 的线段 在 轴上移动，点 (0，1)与点 连成直线，点 (1，2) ABPAQ与点 连成直线，求 和 的交点 的轨迹方程。要求把结果化为普通方程。BPQR分析：如图， 和 的交点 的位置随着线段 在 轴上的位置而变化，故可以选Bx择 点的横坐标作为参数，并且由此可得 、 的坐标。A这样一来，要求交点 ，只要求出直线 和 的方程，Q然后再求出他们的交点即可。解：设 点坐标为( ，0)，则 点坐标为( ，0)，aB1a 的方程为 ， 的方程为 ，P1yx axy2联立解之得 的轨迹方程为 ，即 。Rayx20点评：本题使用交轨法。7(2000 年春季高考北京题)设点 A
13、和 B 为抛物线 y2=4px(p0) 上原点以外的两个动点，已知 OAOB ， OMAB，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。解法一：设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有121212214xyxyxyp得(y 1y 2)(y1+y2)=4p(x1x 2)若 x1x 2,则有 4,得 y12y22=16p2x1x2代入上式有 y1y2=16p 2 代入，得 4代入，得 pyxy421121所以 21214)(pxy即 4pxy 12=y(y1+y2)y 12y 1y2、代入上式，得 x2+y24px =0(x0)当 x1=x2 时，ABx 轴，易得 M(4p,
14、0)仍满足方程.故点 M 的轨迹方程为 x2+y24px=0(x0)它表示以(2p,0) 为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设 M(x,y)，直线 AB 的方程为 y=kx+b由 OM AB，得 k=由 y2=4px 及 y=kx+b，消去 y,得 k2x2+(2kb4p)x+b 2=0所以 x1x2= ,消 x,得 ky24py+4pb=0k所以 y1y2= ，由 OAOB，得 y1y2=x 1x2p4所以 = ,b=4kpk故 y=kx+b=k(x 4p),用 k= 代入，得 x2+y24px=0(x0)yx故动点 M 的轨迹方程为 x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0) 为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点.点评：本题使用“参数法”求轨迹方程
