1、第十一章 振动1第十一章 振动思考题11-1 从运动学角度看什么是简谐振动?从动力学角度看什么是简谐振动? 一个物体受到一个使它返回平衡位置的力，它是否一定作简谐振动?答：从运动学角度看，物体在平衡位置附近作来回往复运动，运动变量(位移、角位移等) 随时间 t 的变化规律可以用一个正( 余)弦函数来表示，则该物体的运动就是简谐振动。从动力学角度看，物体受到的合外力(合外力矩)与位移(角位移)的大小成正比，而且方向相反，则该物体就作简谐振动。根据简谐振动的定义可以看出，物体所受的合外力不仅要与位移方向相反，而且大小应与位移大小成正比。所以，一个物体受到一个使它返回平衡位置的力，不一定作简谐振动。
2、11-2 试说明下列运动是不是简谐振动：(1)小球在地面上作完全弹性的上下跳动；(2)小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动；(3)曲柄连杆机构使活塞作往复运动；(4)小磁针在地磁的南北方向附近摆动。答：简谐振动的运动学特征是：振动物体的位移(角位移)随时间按余弦或正弦函数规律变化；动力学特征是：振动物体所受的合力(合力矩)与物体偏离平衡位置的位移( 角位移) 成正比而反向；从能量角度看，物体在系统势能最小值附近小范围的运动是简谐振动，所以：(1)不是简谐振动，小球始终受重力，不满足上述线性回复力特征；(2)是简谐振动，小球只有在“ 小幅度”摆动时才满足上述特征；(3)不是简谐振动活塞所
3、受的力与位移成非线性关系，不满上述动力学特征；(4)是简谐振动，小磁针只有在“ 小幅度”摆动时才满足上述特征。11-3 下列表述是否正确，为什么?(1)若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动；(2)简谐振动过程是能量守恒的过程，因此，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。答：(1)正确。当该合力的方向总是指向平衡位置，并且其大小总是正比于位移的大小时，物体所作的周期运动是简谐振动；当该合力的方向总是指向平衡位置，但合力的大小并不仅仅正比于位移的大小时，物体所作的振动就不一定是简谐振动，比如阻尼振动、受迫振动等。(2)不正确简谐振动是一种无阻尼的理想的可逆过程，振动
4、过程中没有机械能的耗散，能量是守恒的而有阻尼的振动，总能量虽守恒，但振动的机械能并不守恒。第十一章 振动211-4 若把单摆或弹簧振子放到月球上去，它们的振动周期会发生变化吗?答：由单摆的周期 可知，把单摆放到月球上去以后，由于其重glT2力加速度 g 发生了变化，所以单摆的振动周期就变长了。而由弹簧振子的振动周期 可知，在月球上弹簧振子的振动周期不会变，因为弹簧振子的kmT2振动周期不涉及地球或月球的因素，只与弹簧振子本身的因素有关。11-5 在振动中，为什么要用相位来表示振动物体的运动状态?答：在力学中，物体在某一时刻的运动状态是用位移、速度和加速度来描述的。在振动中，其特点是运动状态变化
5、的周期性，对于这种运动，已知相位可以确定位移、速度和加速度，但是，只用位移、速度和加速度这些物理量无法反映其周期性的特征。对于简谐振动，当振幅和振动频率一定时，振动物体在任一时刻相对平衡位置的位移及其速度都由相位来决定。在一个周期内，相应的相位在 02 之间，物体所经历的运动状态在各点都不相同；在下一周期则重复上述各运动状态。所以，物体经历两个相同的运动状态，必须间隔一个周期或周期 T 的整数倍时间，相应地相位间的差则为 2 或 2 的整数倍。这样，用相位来既可以决定物体的运动状态，又可以反映出这种运动的周期性特征。另外，在比较两个同频率简谐振动的运动状态变化的步调时，用相位表示更一目了然，具
6、有明显的优越性。例如，若 大于零或小于零，就表示振12动物体 2 超前振动物体 1 或落后于振动物体 1；若 0 则表示两个物体的振动是同步的。因此，在振动学中，用相位来表示运动状态。11-6 已知物体在作简谐振动时机械能守恒，请从机械能守恒的角度出发导出做简谐振动的弹簧振子所满足的运动微分方程。设振子的质量为 m，弹簧的劲度系数为 k。解：由于机械能守恒，有常 量221kxm两边同时对时间求导，得0)(d22t即txktm由于 ， ，令 ，将这些关系带入上式，得2dtxt20d2xt11-7 两个轻弹簧与物体相连，如图所示，弹簧的劲度系数分别为 和 ，物体1k2的质量为 m。若不考虑任何摩擦
7、，该系统的振动周期是第十一章 振动3多少？解：取平衡位置为坐标原点，x 轴方向向右。设物体扰动后向右移动了一段距离 x，弹簧 1 被拉长了 ，弹簧 2 被压缩了 。由于对系统而言，两个1l2l弹簧的伸长( 或压缩 )量相同，即 。但由于两个弹簧的劲度系数不同，xl故对物体的作用力不同,分别为 和 。两个弹簧对物体的总作用力为k。据牛顿运动定律，物体沿 x 方向的运动方程为k)21221d)(tm即 0d212xkt或2xt由此可见，该系统作简谐运动。其周期 T 应为 21km11-8 一个弹簧振子振动的振幅增大到两倍时，振动的周期、频率、最大速度、最大加速度和振动能量都将如何变化？答：若弹簧振
8、子振动的振幅增大到原来的两倍时，振动的周期和频率不变，最大速度和最大加速度增加二倍，振动能量增加四倍。11-9 如图所示，对两个完全相同的弹簧振子，如将一个拉长 10cm，另一个压缩 5cm，然后放手，试问两物体在何处相遇。解：设两个弹簧振子的振动方程分别为1cos()xAt2当相遇时， ，此时只有 才1 2t能满足此条件。而当 时，由两振t动方程可知 ，因此，两物体在平20x衡位置处相遇。11-10 设向右的方向为正方向，试指出在怎样的位置时简谐振动的质点 （1）位移为零；（2）位移最大；（3）速度为零；（4）速度为负最大值；（5）加速度为零；（6）加速度为正最大。答：（1）考虑简谐振动质点
9、位移表达式 cos()xAt10cm5cmmm题 11-10 用图第十一章 振动4可得 ， ，时，位移为零。2t3（2） 同理，当 ， ，时，位移最大。0t2（3） 考虑简谐振动质点速度表达式 sin()vAt可得 时，速度为零。0t（4） 同理，当 ， ，时，速度为负最大值。t5（5） 考虑简谐振动质点加速度表达式 2cos()at当 ， ，时，加速度为零。2t3（6） 同理，当 ， ，时，加速度为正最大。t311-11 弹簧振子的简谐振动方程为 ，指出振动物体在下列)cs(tAx位置时的位移、速度、加速度和所受弹性力的大小和方向：（1）正方向端点；（2）平衡位置且向负方向运动；（3）平衡位
10、置且向正方向运动；（4）负方向端点。答：（1）振动物体位于正方向端点的状态如下：位移最大，方向指向正方向，速度为零，加速度最大、方向指向负方向，所受弹性力最大、方向指向平衡位置。（2）振动物体在平衡位置且向负方向运动的状态如下：位移为零，速度最大、方向指向负方向，加速度为零，所受弹性力的大小为零。（3）振动物体在平衡位置且向正方向运动的状态如下：位移为零，速度最大、方向指向正方向，加速度为零，所受弹性力的大小为零。（4）振动物体位于负方向端点的运动状态如下：位移最大、方向指向负方向，速度为零，加速度最大、方向指向正方向，所受弹性力的大小最大、方向指向平衡位置。11-12 有两个摆长不同的单摆作
11、简谐振动，设 。把这两单摆向右拉BA2l开一个相同的小角度 ，然后释放任其自由摆动，问：(1)这两单摆在刚释放时相位是否相同?(2)当单摆 B 到达平衡位置并向左运动时，单摆 A 大致在什么位置和向什么方向运动?A 比 B 的相位超前还是落后?超前或落后多少?(3)自释放后，A、B 经过多长时间后以相反的相位相遇?A、B 经过多长时间后以同相位相遇?答：作简谐振动单摆的周期为 ，因 ，所以， glT2BA2lBA2T。(1) 两单摆的初始状态相同，故两简谐振动系统的初相位相同。设角位移向右为正，并以释放之时为计时起点，则初相位均为 0。(2) 单摆 B 由右向左运动到平衡位置时，需时 ，单摆
12、B84ABTt的相位变化了 ，而单摆 A 的相位变化为 ，小于 B 的相位2t 2A第十一章 振动5变化。t 时刻，单摆 A 由右向左运动，尚未到达平衡位置。随着时间的推移，A 的相位将越来越落后于 B 的相位。(3) 设 A、B 以相反的相位相遇，需时为 ，有1tA1t可得 glTt1)2(同理，设 A、B 以同相位相遇，需时为 ，则有t2AB可得 glTt A2 )1()1(11-13 弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐振动，同一弹簧振子在周期性驱动力持续作用下的稳态受迫振动也是简谐振动，这两种简谐振动有什么不同?答：无阻尼自由振动(简谐振动)的振幅由 决定，振动周期由20xA决定，即 A 和
13、 T 由系统的初始状态 、 和系统本身的固有性质决02T 0定，其中的 是简谐振动系统的固有角频率。而弹簧振子在周期性驱动力持续作用下的稳态受迫振动的振幅由2204mFA决定，由此可知，系统的振幅不再由系统的初始状态 和 决定，而依赖于振0x子的性质、阻尼的大小和周期性驱动力的特征。稳态受迫振动的振动频率也不决定于系统本身的固有性质，而由驱动力的频率 决定。21T11-14 当火车行驶时，每当车轮通过两根铁轨接缝时，总会发生一次撞击，不仅会产生噪声，也会使车厢发生受迫振动。单位时间内车轮受到冲击的次数就是外来驱动力的频率。因此，当火车行驶到某个速率时，就会发生激烈的颠簸，这个速率就称为火车的危
14、险速率。此时，若驱动力的周期与车厢的固有周期相同，车厢会发生共振。过去，我国原有铁路的轨长一般为 l=12.6 m。如果车厢与载荷的总质量 M=55t，车厢下的减震弹簧每受 F=10 kN(即 1t 质量的重力)的载荷就被压缩d=0.8 mm，车厢的固有频率是多少？火车的危险速率是多少？若将轨长增长 1 倍，火车的危险速率可以提高到多少？答：已知车厢与载荷的总质量 M=55t，车厢下的减震弹簧每受 F=10 kN(即1t 质量的重力) 的载荷就被压缩d=0.8 mm，由此可算出车厢的固有周期为第十一章 振动6s。所以，危险速率 。 42.02FdmkT -1hkm08Tl当前，我国铁路提速已超
15、过 140 因此，加速过程中必然要经过危-1hk险速率区。但若把轨长增长 1 倍。危险速率将提高到 216 。可见，使用-长轨有利于高速行车。11-15 何谓拍现象，出现拍现象的条件是什么？如果参与叠加的两个振动的频率相差很大，能否出现拍现象？两个频率都较大，但频率之差都很小的两个同方向简谐振动合成所产生的合振动其振幅周期性变化的现象叫做拍。出现拍现象要求两个分振动的角频率都较大且非常接近，其差值很小时，即 远小于 和 。如果参与叠加1212的两个振动的频率相差很大，不能出现拍现象。练习题11-1 一个质量为 m 的物体由串接的两个弹簧相连，如图所示，设两个弹簧的劲度系数分别为 和 ，忽略弹簧
16、的质量。证明，振动系统的振动频率为1k2)(221证明：设在运动过程中，物体 m所受的力为 f，当物体 m 发生位移 x 时，两个弹簧的位移分别为 练习题 11-1 用图，m 所受的弹性力应为21)(21xkxf其中，k 为两个弹簧的等效劲度系数。设 和 分别为弹簧 和 中的弹性力，据胡克定律分别有1f21k2，xf22xkf于是2121)(kfkf由于忽略了弹簧质量， ，由上式可得21ff21kk 称为两个串连弹簧的等效劲度系数。于是振动系统的振动频率为mk)(221mx第十一章 振动711-2 放置在水平桌面上的弹簧振子，其简谐振动的振幅 A= ，m10.22周期 T = 0.5s，求起始
17、状态为下列情况的简谐振动方程：（1） 振动物体在正方向端点；（2） 振动物体在负方向端点；（3） 振动物体在平衡位置，向负方向运动；（4） 振动物体在平衡位置，向正方向运动；（5） 振动物体在 处，向负方向运动；m10.2x（6） 振动物体在 处，向正方向运动。(特别说明：本章各表达式中各量用数值表示时，除特别指明外，均用国际单位制单位。)解：设振动方程为 cos()xAt据题意知简谐振动的振幅 A= 、周期 T = 0.5s，由此可算出10.22。于是，该简谐振动的振动方程可具体表达为24Tm(4)t在起始状态： （1） 当振动物体在正方向端点时，将 、 带入上式得0s2x.02co此时，必
18、有 。于是，该状态下的振动方程为0(m)4xt.（2）当振动物体在负方向端点时，将 、 带入上式得0s2x.，c此时，必有 。于是，该状态下的振动方程为m02os(4)xt.（3）当振动物体在平衡位置向负方向运动时，将 、 带入上式0stx得 cs.此时，有 。由于振动物体向负方向运动208inv由此可知， ，于是，该状态下的振动方程为m2cos(42)xt.（4）当振动物体在平衡位置向正方向运动时，将 、 带入上式0stx得 0.由 ，可定得 。于是，该状态下的振动方程为08sinv.3m2cos(42)xt.（5）当振动物体在 处向负方向运动时，将 、10st带入上式得1mx. 0即 ，由
19、 ，可定出 。于是，该状态下的振动38sinv.3方程为m2cos(4)xt.第十一章 振动8（6）当振动物体在 处向正方向运动时，将 、m10.2x 0st带入上式得01mx.cos.由此可知 。由 ，可定出 。于是，该状态438sinv.43下的振动方程为m02(4)xt11-3 质量为 10 g 的小球与轻弹簧组成的系统，按 m)38cos(5.0tx的规律而振动，式中 x 以 m 为单位，t 以 s 为单位试求：(1) 振动的角频率、周期、振幅、初相、速度及加速度的最大值；(2) t =1s、2s、10s 时刻的相位各为多少? 解：（1）将所给方程与简谐振动的标准方程比较，得 30.5
20、m,s,2./,srad12.58-1 AT因为)co()in(mttAtxscosd2 aa于是，-1m6.A-22m316A（2）t =1s 时，相位为/58)( tt =2s 时，相位为3/492)(tt =10s 时，相位为/1108t11-4 一个弹簧振子沿 x 轴作简谐运动，已知弹簧的劲度系数 k=15.8 Nm-1，物体质量 m=0.1kg，在 t=0 时物体对平衡位置的位移 =0.05 m，速度0x。 写出此简谐运动的表达式。-10s628.解：要写出此简谐运动的表达式，需要知道它的三个特征量 A、 和 。角频率决定于系统本身的性质，其为)srad(457.12.081-kA
21、和 可由初始条件决定。 m)(10.57.12)6(. 220 xA第十一章 振动9 43,1arctn05.71268arctnarctn0 x由于 0，所以取 。由此，以平衡位置为原点所求简m5.os0Ax 4谐运动的表达式应为)cos(.72tx11-5 一个质点沿 x 轴作简谐运动，振幅 A=0.05 m，周期 T=0.2s。以质点正越过平衡位置向负 x 方向运动时开始计时。(1) 写出此质点的简谐运动的表达式；(2) 求在 t=0.05 s 时质点的位置、速度和加速度；(3) 另一个质点和此质点的振动频率相同，但振幅为 0.08 m，并和此质点反相，写出这另一质点的简谐运动表达式；解
22、: (1)取平衡位置为坐标原点，以余弦函数表示简谐运动，则 A=0.05 m，。由于 t=0 时 x=0 且 0，所以 。因此，此质点-1srad02T2简谐运动表达式为)1cos(5.)co(tAx(2) t= 0.05 s 时，)(05.0.20.105. 此时质点正在负 x 轴向最大位移处。2.1sin(5.)sin( t此时质点瞬时停止。)sm(3.49)05.co(0.)1()co( -222 tAa此时质点的瞬时加速度指向平衡位置。(3)由于频率相同，另一反相质点的初相与此质点的初相差为 (或 )，这另一质点的简谐运动表达式应为)210cos(8.)cos(ttx11-6 经验证明
23、，当车辆沿竖直方向振动时，如果振动的加速度不超过1m/s2，乘客不会有不舒服的感觉。若车辆竖直振动频率为每分钟 90 次，为保证乘客没有不舒服的感觉，车辆允许振动的最大振幅为多少？解：由已知可得 9023(rad/s)6当 时，加速度方程为tAxcos 22dcos xaAtt第十一章 振动10根据题意知，车辆允许振动的最大振幅为 Am，且 ，则212210()934mA11-7 质量 m=10g 的子弹，以 1000ms-1 秒的速度射入置于光滑平面上的木块并嵌入木块中，致使弹簧压缩而作谐振动，若木块质量M=4.99kg，弹簧的劲度系数为 8103Nm-1， 求振动的振幅，并写出振动方程。解
24、: 子弹射入木块是完全非弹性碰撞。设 u 为子弹的速度， 为子弹射入木块后木块与子 练习题 11-7 用图弹的共同速度。据动量守恒定律，有 )(Mu由此解出（m s-1）0.21)9.40()(2m因为不计摩擦，在弹簧被压缩的过程中机械能守恒，即有22)(1klM其中，l 为子弹打入时弹簧的压缩量。由此解出(m)2310.5108.9.4)( kml因此，木块运动的振幅为m2.5lA角频率为（rads -1）401.9.483Mk取物体静止时的位置为坐标原点，向右为 x 轴正方向，如本题图所示，则 t =0时的初始条件即为， ms-10x0.2将其带入简谐运动的标准方程，可写出cos1.52要
25、满足该式，必有 。考虑到速度要满足in40要求 为负，故应取 。于是，物体的运动方程为sinmM kxO第十一章 振动11)240cos(10.52tx11-8 一个质量为 5g 的物体作简谐振动，其振动方程为 36cos5cm4xt求：（1）振动的周期和振幅；（2）起始时刻的位置；（3）在 1s 末的位置；（4）振动的总能量。解：（1）由振动方程可知振动的振幅为 ，振动的频率为6cA204(s)5T（2） 将 带入振动方程得振动起始时刻的位置为0t36cos2(cm)4x.（3） 将 带入振动方程得振动物体在 1s 末的位置为1stcs(51)85(c)x.（4） 由振动方程可得速度方程为
26、36sincm/s4vt由此可知最大速度为 。于是，振动的总能量为50(c)./mJ)(1025.3.015212 4mvkAE11-9 一个质量为 10 g 的物体作简谐振动，其振幅为 24 cm，周期为 4.0s。当 t =0 时，位移为 +24 cm。求：(1) t =0.5 s 时，物体所在位置；(2) t=0.5s 时，物体所受力的大小与方向；(3)由起始位置运动到 x=12 cm 处所需的最少时间；(4)在 x=12 cm 处，物体的速度、动能以及系统的势能和总能量。解：因为 ，A=24cm=0.24m，考虑到 ，242T 0,0Ax可得 0，故该简谐振动的表达式为mcos.0tx
27、（1）当 t =0.5 s 时，物体所在位置为第十一章 振动120.17(m)5.2cos4.0x(2) 由于 t=0.5s 时，物体的加速度为2-22 s49cs.d ta所以，物体所受力为(N)10.49.0132mF力的方向指向平衡位置。（3）物体在起始位置时的相位 ，物体在 x=12cm 处的相位由0.12=0.24cos( 可知)2/(t32t因为物体是由最大位移处向平衡位置方向运动， 0，由旋转矢量法容易判断应取 ，即有332t由此得所需最小时间为t=2/3=0.67(s)(4) 在 x=12 cm 处，物体的速度为 )sm(326.0sin24.0d1-tx动能为J)(0.5).
28、(121 423k mE系统的势能为 J)(17802042322p xx总能量为J)(9.1)78.5( 44pk E11-10 有一个在光滑水平面上作简谐振动的弹簧振子，劲度系数为 k，物体质量为 m，振幅为 A。当物体通过平衡位置时，有一质量为 的泥团竖直落在m物体上并与之粘结在一起。求：(1)系统的振动周期和振幅；(2)振动总能量损失了多少?解: (1) 振子通过平衡位置时的速度达到最大值，设其为 ，由机械能守恒2m21kA第十一章 振动13可得 mkA当 在平衡位置处竖直落在 m 上时为完全非弹性碰撞，此时由 m 与 组成的m 系统在水平方向合外力为零，动量守恒，有 m)(u即m)(
29、u其中， 为碰撞后的速率。mu设碰撞后系统的振幅变为 ，碰撞后系统的机械能仍守恒，因此有A2m2)(1uk由此解得 mkAkkmukA A系统的周期为 kmT2（2）碰撞前后系统振动总能量的变化为 2222 1111 kAmAkAE负号表示能量损耗，这是非弹性碰撞所致。11-11 一个落地座钟的钟摆是由长为 l 的轻杆与半径为 r 的匀质圆盘组成，如图所示，试建立钟摆的运动微分方程。如摆动的周期为 1s，导出 r与 l 间的关系。分析：匀质圆盘受重力绕钟摆的转轴作小角度转动时，由转动定律钟摆的运动可视作简谐振动。本题应注意对钟摆所受力矩的分析、小角度近似以及钟摆的转动惯量。第十一章 振动14解
30、：圆盘所受力矩为 练习题 11-11 用图)(sin)(rlmgrlgM由转动定律可得 )(d2rltJ即22t其中 ，J 由转动惯量的平行轴定理可知为 ，rlmg)(2 22)(1rlmrJ此即钟摆的运动微分方程。将 J 带入 的表达式，可得2 22)(rlg由题意 ，于是可得 r 与 l 间的关系为s12T 0)()432(2rlgl11-12 如图所示，一个立方形木块浮于静水中，其浸入部分的高度为 a，用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入部分的高度为 b，然后放手让其运动。试证明，若不计水对木块的粘滞阻力，木块的运动是简谐振动，并求出振动的周期和振幅。解：当木块浮于水中静止时，此时的水
31、面即为木块的平衡位置。以该平衡位置为坐标原点 O，向下的方向作为坐标轴正方向。当木块在某时刻向下位移为 x 时，木块所受浮力增加，重力不变，合外力等于浮力的增量。于是，木块所受的合力为 FxSg其中，S 为木块的截面积，xS 为下沉的体积增量， 为水的密度，g 为重力加速度，负号表示合力与位移方向相反。由牛顿第二定律可得 2dxmStab练习题 11-12 用图Ox第十一章 振动15由题意知木块的质量 ，于是，上式可写为maS2dxSgt整理得 2dxta将其与简谐振动的运动微分方程相比较可知木块的运动为简谐振动，并且其振动的圆频率为g于是，周期为 2Ta振幅为 Ab11-13 如图所示,两轮
32、的轴互相平行，相距为 2d，其转速相同，转向相反。将质量为 m 的匀质木板放在两轮上，木板与两轮间的摩擦系数均为 。当木板偏离对称位置后，它将如何运动?如果是作简谐振动，其周期是多少?练习题 11-13 用图分析：研究对象是木板在竖直方向，木板受力平衡无运动。当质心 C 偏离对称位置 O 后，所受两轮的支持力大小不等。因木板无转动，故对质心 C 力矩平衡；因木板所受水平方向摩擦力大小不等，方向相反，由水平方向的合力可判断木板的运动模式。解：取图示坐标系，由受力分析可知，竖直方向受力平衡，有 021mgN设 C 偏离 O 距离为 x，由力矩平衡得)()(21xdx在水平方向有第十一章 振动162
33、21dtxmF其中， ， 。由上述关系可得1NF2xdgtx22其中， 。由上式可见，木板将沿 x 方向作简谐振动。所以，振动周dg期为 gT211-14 如图所示，绝热容器上端有一截面积为 S 的玻璃管，管内放有一质量为 m 的光滑小球作为活塞容器内储有体积为 V、压强为 p的某种气体，设大气压强为 。开始时将小球0p稍向下移，然后放手，则小球将上下振动。如果测出小球作简谐振动时的周期 T，就可以测定气体的比热容比 。试证明：练习题 11-14 用图24pSmV(假定小球在振动过程中，容器内气体进行的过程可看作准静态绝热过程。)分析：研究对象是小球。当小球偏离平衡位置时，绝热容器内气体状态发
34、生变化，小球两侧受力不平衡。由小球的受力分析以及容器内气体的绝热变化过程，得到小球作简谐振动的动力学方程后，自然可由振动周期得证。解：取坐标向下为正，坐标原点为小球受力平衡的位置设容器内气体状态为( p、V )。小球受力平衡：(1)00pSmg下压小球后放手，某一时刻，设小球偏离平衡位置 x，容器内气体状态为( )，1,Vp此时小球的运动方程为(2)210dtSpg容器内气体状态变化满足绝热过程方程：(3)V1其中， 。将其带入（3） ，得xSV1第十一章 振动17VxSp1因为 V，将上式以 xS 为小量展开，取前两项，得xS x1将该式和（1）式带入（2）式得 xmVpStx222d可见，
35、在满足 V 的条件下，小球作简谐振动，振动的角频率为xS2再由 ，得2T24TpSmV11-15 如图所示一个轻质直杆的一端固定于O 点，另一端连接一质量为 m 的摆球。杆可绕垂直于纸面的 O 轴摆动。当摆在铅垂位置时，与摆连接的两根水平放置的轻弹簧处于原长，弹簧与 O 点的垂直距离为 a。试用能量分析方法求证此振动系统在小角度摆动时为简谐振动，并求其固有频率。 （提示：先求出系统的机械能，再利用机械能守恒的原理得出振动方程）解：取通过摆球最低位置的水平面为重力势能的零势能面。当摆的位置为小角度 时，摆球的速度 ，轻弹簧的形变量为 。系统的机tlda械能包括摆球的动能、摆球的重力势能和弹簧的弹
36、性势能三个部分，即 )cos1()(212mglakmE由于系统机械能守恒，对上式两端求导，令其为零， 习题 11-15 用图得 0d)2(dd2 tmglkatltE整理得22lt第十一章 振动18亦即 0d2t其中， 。由此可见，系统作简谐振动。振动的固有角频率为22mlgka2mlgka固有频率为21lk能量分析方法特别适用于研究非机械振动的问题，因为那时已不宜采用受力分析的方法了。11-16 质量为 m=5.88 kg 的物体，挂在弹簧上，让它在竖直方向上作自由振动。在无阻尼情况下，其振动周期为 T=0.4 s；在阻力与物体运动速度成正比的某一介质中，它的振动周期为 T=0.5 s。求
37、当速度为 0.01 ms-1 时，物体在阻尼介质中所受的阻力。分析：由于有阻尼，使物体的振动“周期” 变长，从阻尼振动周期求得阻尼因子，即可得到阻力系数，进而求得阻力。解：由阻尼振动周期 ，得阻尼因子为20r2Trads-1320220 T阻力系数为kgs-1.52mC阻力为N3.0F11-17 要测定液体的阻尼因子 ，可以先将一个质量为 m 的物体挂在劲度系数为 k 的弹簧上，在空气中测得振动的频率 ，然后将物体置于待测液体中，1测出物体在液体中的振动频率 ，由这两个频率即可得到 。试说明测量原理。2解：物体在空气中振动时，可近似视为无阻尼的自由振动，其振动频率为第十一章 振动19mk210
38、1式中，k 为弹簧的倔强系数； 为体系无阻尼时的角频率。物体在液体中振动0时，由于阻尼作用，它的振动周期增大了，在阻尼较小的情况下，角频率为，故此时物体的振动频率为202120202 44 由此得到21v据此式即可得到 。11-18 一摆在空中振动，某时刻，振幅为 =0.03 m，经 s 后，振幅0A10t变为 m。问：由振幅为 时起，经过多长时间，其振幅减为01.A0.003 m?2分析：阻尼振动的振幅随时间衰减，快慢程度与阻尼因子有关。利用阻尼振动的振幅关系即可求解。解：阻尼振动的振幅为teA0将 t=0， =0.03 m 及 s，A= m 代入上式，得0A10t1.3ln0l1t振幅减为
39、 0.003 m 所需的时间，由 得2 22tes1ln202At11-19 当两个同方向的简谐振动合成为一个振动时，其振动表示式为，式中 t 以 s 为单位。求各分振动的角频率和合振动的拍ttAx0.5cos1.2的周期。分析：两个同方向、频率稍有差异的简谐振动合成时，产生“拍” 现象其基本特点是：合振动以两分振动的“平均频率” 振动；合振幅以缓慢的 “拍频”变化。解：由合振动的表示式知，1.220.512第十一章 振动20由此解得 rads-1， rads-1。所以，拍的周期为9.4711.52（s）5.1947.312T11-20 将频率为 348 Hz 的标准音叉振动和一待测频率的音叉
40、振动合成，测得拍频为 3.0 Hz。若在待测频率音叉的一端加上一小块物体，则拍频数将减少，求待测音叉的固有频率。分析：这是利用拍现象来测定振动频率的一种方法。在频率 和拍频数1已知的情况下，待测频率 可取两个值，即 。式中 前正、1222负号的选取应根据待测音叉系统质量改变时，拍频数变化的情况来确定。解：根据分析可知，待测频率的可能值为=(3483)Hz12因振动系统的固有频率 ，即质量 m 增加时，频率 减小。由题意知，k当待测音叉质量增加时拍频减少，即 变小。因此，在满足 与 均122变小的情况下，式中只能取正号，故待测频率=351（Hz）3481211-21 质量为 m=0.4 kg 的
41、质点同时参与互相垂直的两个振动，其振动方程分别为m， m3cos6.0tx 63cos.0ty试求：(1)质点的运动轨迹方程；(2) 质点在任一位置时所受的作用力。解：(1)由题意知 3cos6.0tx 3sin.02cs.63cos.0 ttty将两式平方后相加，得质点的轨迹方程为 13.06.22yx由此可见，质点的轨迹是一个椭圆。(2)因为 t 时刻质点的位矢为第十一章 振动21jijir 630.cos30.6costtyx由此求得 rjira 2222 cs.3cs6.0d ttt则质点在任一位置时所受的作用力为（N ）rraF4.034.0d22tm11-22 设一个质点的位移可用两个简谐振动的叠加来表示：tBtAx2sini(1)写出这质点的速度和加速度表示式；(2) 此质点的运动是不是简谐振动?分析：本题中，质点作复杂周期运动。由谐振分析，其位移表示为两谐振动之和。解：(1)质点的速度为tBtAtx2coscosd质点的加速度为tttasin4sin222)i3(tBx(2)由加速度表示式可见，不满足 。所以，质点的运动不是简谐振动。a2
