1、习 题 十 一11-1 如图所示，在点电荷+Q 的电场中放置一导体球。由点电荷 +Q 到球心的径矢为 r，在静电平衡时，求导体球上的感应电荷在球心 O 点处产生的场强 E。解 静电平衡时，导体内任一点的场强为零，O 点的场强是点电荷 +Q 及球面上感应电荷共同贡献的，由场强叠加原理有 00EQr20411-2 一带电量为 q、半径为 r 的金属球 A，放在内外半径分别为 和 的不带电金属球1R2壳 B 内任意位置，如图所示。A 与 B 之间及 B 外均为真空，若用导线把 A，B 连接，求球A 的电势。解 以导线把球和球壳连接在一起后，电荷全部分布在球壳的外表面上(或者说导体球的电荷与球壳内表面
2、电荷中和 )，整个系统是一个等势体，因此 204RqUBA11-3 如图所示，把一块原来不带电的金属板 B 移近一块已带有正电荷 Q 的金属板 A，平行放置。设两板面积都是 S，板间距为 d，忽略边缘效应，求：(1)板 B 不接地时，两板间的电势差；(2)板 B 接地时，两板间的电势差。11-4 如图所示，有三块互相平行的导体板，上导体板到中间导体板的距离为 5.0cm，上导体板到下导体板的距离为 8.0cm，外面的两块用导线连接，原来不带电。中间一块两面上带电，其面电荷密度之和为 。求每块板的两个表面的面25103mC.电荷密度各是多少(忽略边缘效应 )? 解 在上板和中板之间电场方向垂直于
3、板面。作底面为单位面积的闭合圆柱面，二底面分别位于二导体板内，圆柱面轴线与板面垂直，则此闭合圆柱面电通量为零。根据高斯定律可得(1)32(2)45忽略边缘效应，则导体板可看成无限大的，具有屏蔽性，在相邻导体板之间的电场只由相对于二表面上电荷决定。因此上板和中板之间的场强为d21213456031E在中板和下板之间的场强为 042上板和下板相连接，因此相邻两板的电势差相等，即 ，由此可得21dE(3)2413d设中板总面电荷密度为 ，则(4)43由(3)、(4)两式可得 dd12132625109403850 mC.mC 262634 81 代入(1)、(2)两式中得到 26209.518mC.
4、在上板内任意点场强均为零，它是 6 个无限大均匀带电平面在该点产生的场强叠加的结果。故有 021654320 考虑到(1)、(2)两式，则得到(5)61上下两块导体板原来是不带电的，根据电荷守恒定律，二导体板表面出现感应电荷后，总量仍为零。因此有(6)04321由(5)、(6)两式得到 526126266 10510894 mC.mC 1l-5 如图所示，三个无限长的同轴导体圆柱面 A、B 和 C，半径分别为 、 、 。圆aRbc柱面 B 上带电荷，A 和 C 都接地。求 B 的内表面上线电荷密度 和外表面上线电荷密度1之比值 。22111-6 在一半径为 =6.0cm 的金属球 A 外面套有
5、一个同心的金属球壳 B。已知球壳 B 的内、1R外半径分别为 =8.0cm， =10.0cm。设球 A 带有总电量 ，球壳 B 带有总23 CQA8103电量 。求：(1)球壳 B 内、外表面上各带有的电量以及球 A 和球壳 B 的电势；CQB810(2)将球壳 B 接地然后断开，再把金属球 A 接地，求金属球 A 和球壳 B 内、外表面上各带有的电量以及球 A 和球壳 B 的电势。解 在球壳 B 内作一包围内腔的高斯面，由于球壳内场强处处为零，此高斯面的电通量为零。根据高斯定律，球壳 B 的内表面上所带电量与球 A 所带电量等值异号，所以CQqAB8103内球壳 B 总电量为 ，因此其外表面
6、上电量为BCq8881053102内外球 A 的电势为 3210302010 44 RqQRqRQU BABB 外内外内 V 2828289 1065563 3004RqrQUBAB外内因为 ，所以内BA VRqB 328930 10541054外(2)将球壳 B 接地时，其电势变为零。因为 与 等量异号，它们在球壳 B 产生的电AQ内Bq势之和为零，所以球壳外表面不再有电荷。球壳 B 与地断开后，再将球 A 接地时，电荷将重新分布。设球 A、球壳 B 内表面、球壳 B 外表面上电量分别为 、 、Q内Bq外因为 ，于是有0U04432010 RqRQBBA外内注意这时仍有 ，而且内BA外内内
7、Bq于是得到041320 RQRQABA内 CqBA 88213132 102806183 内 C.QAB80内 C.qB 98101023内内外金属球 A 接地，电势 ，球壳 B 电势为AU303000 44RqrqQUBBB 外外内 V 2299 18111-7 一厚度为 d 的无限大均匀带电导体板，单位面积上两表面带电量之和为 。试求离左表面的距离为 a 的点与离右表面的距离为 b 的点之间的电势差。11-8 半径分别为 和 ( )的两个同心导体薄球壳，分别带电量 和 ，今将内1R21 1Q2球壳用细导线与远处的半径为 r 的导体球相连，导体球原来不带电。求相连后导体球的带电量 q。解
8、整个系统仍是孤立球形电容 与内球到无限3C远(地)之间的电容之并联。而后者是内球形电容 与外1球孤立球形电容 串联所构成的2C12014R02rC34设小球 上电量为 q，则 上电量 -q， 上电量为 设三个电容上的1C1Q2CqQ12电压各为 、 、1U2333Cq11q212qU 21 2113 qQq因而移到小球上的电量为 rRrq12211-9 一种单芯同轴电缆的中心为一半径 =0.5cm 的金属导线，其外层包一层 5 的固1Rr体电介质，最外面的是金属包皮。当在此电缆上加一电压后，介质中紧靠其内表面处的场强 为紧靠其外表面处的场强 的 2.5 倍，若介质最大安全场强 ，求此电1E2E
9、cmkVE*40缆能承受的最大电压是多少?11-10 一平行板电容器面积为 S，两板间距离为 d，中间充满均匀电介质，已知当一板带自由电荷 Q 时，整块电介质的总偶极矩为 P，求电容器中的电场强度。11-11 两个同心的薄金属球壳，内、外壳半径分别为 =0.02m 和 =0.06m。球壳间充满1R2两层均匀电介质，它们的相对电容率 6 和 3。两层电介质的分界面半径1r2rC12C3R=0.04m。设内球壳带电量 Q= ，求：C8106(1)D 和 E 的分布，并画出 D-r、E- r 曲线；(2)两球壳之间的电势差；(3)贴近内金属壳的电介质表面上的束缚面电荷密度。解 以与球壳同心的球面为高
10、斯面 niSqd1ED(1)rR)。试求该导体组单位长度的电容。解 可用叠加原理及高斯定理计算两导线间垂直连线上任意点 P 的场强。如图所示，过 P 分别做两个长为 L，与两条直导线共轴的闭合圆柱面作为高斯面。根据高斯定理分别计算每条线上电荷产生的场强。 ldlrLEd0011 12S r01同理 rdE02根据叠加原理，P 点总场强为 rd1201两条线间电压为RrPdRRdlnrdrdURR 0012lE故单位长度电容 RdlnC01l-19 一空气平行板电容器，极板 A、B 的面积都是 S，极板间距离为 d。接上电源后，两板间的电压为 U，现将一带电量为 q、面积也是 S 而厚度可忽略不
11、计的导体片 C 平行地插入两极板的中间位置，试求导体片 C 的电势。11-20 一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为 =2cm， =5cm，其间充满相对电容率为 的各向同性1R2 r均匀电介质，电容器接在 U=32V 的电源上(如图所示)。试求距离轴线 R=3.5cm 的点 A 处的电场强度和点 A 与外筒间的电势差。11-21 莱顿瓶是早期的一种电容器，它是一个内外贴有金属箔的圆柱形玻璃瓶。设玻璃瓶的内径为 =8cm，厚度为 2mm，金属箔1R高 40cm。玻璃的相对电容率 =5.0，击穿场强为 1.5 。若不考虑边缘效应，试计rV710算：(1)莱顿瓶的电容值；(2)它
12、最多能储存多少能量。11-22 置于球心的点电荷+Q 被两同心球壳所包围，大球壳为导体，小球壳为电介质，相对电容率为 ，球壳的尺寸如图所示。试求以下各量与场点径矢 r 的关系：(1)电位移rD；(2)电场强度 E；(3)极化强度 P； (4)束缚电荷激发的电场强度 ；(5) 面电荷密度 ；E(6)电能密度 。11-23 一电容为 C 的空气平行板电容器，接端电压为 U 的电源充电后随即断开。试求把两个极板间距增大至 n 倍时外力所作的功。解 断开电源后 Q 不变，电容由原来的 ，变为dSC0ndS0外力所做的功即相当于系统静电能的改变量 21CUW由于 Q 不变， ，所以nnU因此 2112
13、CW即外力做功 12nCUA解 2 外力做功也即电场力做功Qn1解 3 外力 F 对极板做的功为ndndlCUA2l11-24 一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为 a，外筒半径为 b，长都是 L，中间充满相对电容率为 的各向同性均匀电介质。内、外筒分别带有等量异号电荷 +Q 和-Q ，设rb-a b，忽略边缘效应，求： (1)圆柱形电容器的电容；(2)电容器储存的能量。解 (1)用高斯定理可求得两圆柱导体间的电场分布是rQD2rLQE02两极板间电位差为 ablndrdrUrbaba 0022 lnLQCr(2)2021rLDEw ablnLQrdQdWrbar 0220 411-25 两
14、个相同的平行板电容器，它们的极板都是半径为 l0cm 的圆形板，板间距都是1.0mm，其中一个电容器两板间是空气，另一个两板间是 =26 的酒精。把它们并联后充r电到 120V，求它们所储存的总电能。断开电源，把它们带异号电荷的两板分别连在一起。求这时两者所储总电能。11-26 一同轴圆筒状电容器的内、外筒半径分别为 a、 b。试证该电容器所储电能的一半是在半径为 的圆柱内部。abr解 设圆柱电容器中充以电容率为 的各向同性均匀电介质，内外筒分别带电荷r+Q、 -Q，长为 L。用高斯定理可求得两圆柱导体间的电场分布是rE2rLQD21w设总电能的一半在半径为 r 的圆柱体内，则 arlnLQd
15、LWra 42212而 blnQ8 alarl21即 br因此 证毕。ar11-27 有一根单芯电缆，电缆芯的半径为 =15mm，铅包皮的内半径为 =50mm，其间充1r 2r以相对电容率 =2.3 的各向同性均匀电介质。求当电缆芯与铅包皮间的电压为 =600V 时，r 1U长为 l=1km 的电缆中储存的静电能是多少?11-28 充满均匀电介质的平行板电容器，充电到板间电压为 U=1000V 时断开电源。若把电介质从两板间抽出，测得板间电压 =3000V，求：(1)电介质的相对电容率 ；(2) 若有0Ur电介质时的电容 ，抽出电介质后的电容 为多大；(3)抽出电介质时外力FC31200C所作
16、的功。11-29 如图所示，圆柱形电容器由半径 的导线和与它同轴的导体圆筒构成，圆筒半aR1径 ，圆筒长为 L，且 L 。在导线与圆筒间aR33的区域为真空。设沿轴线单位长度上导线的带电量为2，圆筒的带电量为 ，忽略边缘效应，求：(1)何处电00场强度最大?其值为多少?(2)电容器两极间的电势差；(3) 电介质区域的电场总能量。11-30 球形电容器由半径为 的导体球和与它同心的导体球壳构成，壳的内半径为 ，1R 2R其间充有两层均匀电介质，分界面的半径为 r，内外层电介质的相对电容率分别为 和1r。已知内球带电量为-Q，试求：(1)各介质表面上的束缚面荷密度 ；(2) 电容器的静电2r 能和电场总能量。
