1、第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第十章,其中函数 、 在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,1.X型积分区域可表示为：,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,2.如果积分区域为：,Y型,c,d,D,z=f (x,y),x=(y),x=(y),y,D: (y) x (y)c y d,二重积分的计算（D是曲线梯形区域）,c,d,D,z=f (x,y),x=(y),x=(y),.,y,D: (y) x (y)c y d,.,Q( y ) =,I =,二重积分的计算（D是曲线梯形区域）,.,x=(y),y,c,d,D,.,
2、D: (y) x (y)c y d,.,Q( y ) =,I =,z=f (x,y),x=(y),二重积分的计算（D是曲线梯形区域）,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,D: x1(y) x x2(y)c y d,I =,x2(y),x1 (y),c,d,y,二重积分计算的两种积分顺序,D,c,d,y,D,x2(y),x1 (y),I =,二重积分计算的两种积分顺序,.,D: x1(y) x x2(y)c y d,c
3、,d,y,D,D: y1(x) y y2(x)a x b,I =,a,b,y1(x),y2(x),D,x2(y),x1 (y),x,I =,二重积分计算的两种积分顺序,.,D: x1(y) x x2(y)c y d,c,d,y,D,I =,a,b,y1(x),y2(x),D,x2(y),x1 (y),x,二重积分计算的两种积分顺序,.,I =,D: x1(y) x x2(y)c y d,D: y1(x) y y2(x)a x b,c,d,y,D,I =,a,b,y1(x),y2(x),D,x2(y),x1 (y),x,二重积分计算的两种积分顺序,.,I =,D: x1(y) x x2(y)c
4、y d,D: y1(x) y y2(x)a x b,化二重积分为二次积分的步骤：,1. 确定积分区域是X-型，还是Y-型若都不是则分块；,2. 确定积分限；,3. 分别进行积分。,解,1,1,y = x2,D,2 先对 y 积分（从下到上）,1 画出区域 D 图形,3 先对 x 积分（从左到右）,.,.,.,y = x,.,.,.,例2：计算,解,积分区域如图,解,积分区域如图,2a,2a,例5 改变积分换序,a,D:,解,0 x 2a,D1,D2,D3,.,.,.,.,.,.,还有别的方法吗？,解,解,例8. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,1,1,3,y = x,
5、x = y 2,D,.,.,.,练习：,练习. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,练习：,（1）计算,A）其中D是由直线y=1，x=2及y=x所围成的区域。,B）其中D是由抛物线,及直线y=x-2所围城的区域。,（2）计算,其中D是由y=x及抛物线,所围成的区域。,（3）计算,其中D：,（4）改变积分顺序,例9,解,先去掉绝对值符号，如图,a,b,1,D1,（定积分三角代换）,.,.,=,例10,练习5. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,解: 设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,二、利用极坐标系计算
6、二重积分,在平面上取定一点O，由O出发引一条射线Ox，并取定一个长度单位和计算角度的正方向（逆时针方向），合称为一个极坐标系。这样，平面上任一点M的位置就可以用OM的长度 r 和从Ox到OM的角度 来刻划， 称为M在这个极坐标系中的极坐标，O点称为极坐标系的极点，Ox称为极轴。,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,2a,.,.,解,例1,.,用直角系计算麻烦， 故使用极坐标系！,2,1,D,D:,变换到极坐标系,.,.,例2,计算,2R,区域边界：,x = 0,.,即 r =2Rsin,r =2Rsin,例3,.,1,2,y =x,D,.,.,.,例4,解,例5,x,解,例9 计算,解,练习,解,例12,练习,解,解,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,三、小结,Y型,X型,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,作业,P154 1 (2), (4); 2 (3), (4); 6 (2), (4); 11(2), (4); 13 (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4),思考题,思考题解答,思考题,思考题解答,
