1、第 3 讲：等差数列求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 12 3 499100？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于 5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1 100 299398 49 525051。 1100 正好可以分成这样的 50 对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）10025050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“ 等差数列 ”的求和问题。若干个数排成一列称为数列，数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项
2、）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。 计算等差数列的和，可以用以下关系式： 等差数列的和（首项末项）项数2 末项首项公差（项数1） 项数（末项首项）公差1 例 1：计算下列数列的和（1 ） 1， 2，3， 4，5，100； （2 ） 8， 15，22，29，36 ，71。 其中（1）是首项为 1，末项为 100，公差为 1 的等差数列；（2 ） 是首项为 8，末项为 71，公差为 7 的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）项数2随堂小练：计算等差数列 1，3，5 ，7
3、，9，99 的和例 2：计算下面数列的和1 231999分析：这串加数 1，2，3 ，1999 是等差数列，首项是 1，末项是 1999，共有 1999个数。由等差数列求和公式可得 解：原式=（1 1999）199921999000注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例 3： 计算下面数列的和11 12 1331分析：这串加数 11，12 ，13，31 是等差数列，首项是 11，末项是 31，共有 31-11 121（项） 。 解：原式=（11+31）212=441在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、
4、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）公差+1， 末项= 首项+公差（项数-1） 。例 4：计算下面数列的和3 711 99分析：3，7 ，11，99 是公差为 4 的等差数列， 项数=（993）41 25解：原式=（3 99）2521275例 5 ：求首项是 25，公差是 3 的等差数列的前 40 项的和。 解：末项=253（40-1）142， 和= （25 142）4023340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，也可以解决各种与等差数列求和有关的问题。随堂小练：（1 ）求等差数列：1、3 、5、7、9它的第 21 项是多少? （2 ） 求等差数列：2、6 、10、14、18
5、它的第 60 项是多少?例 6：已知数列 2、5 、8、11、1435，这个数列共有多少项？ 分析：第 2 项比首项多 1 个公差，第 3 项比首项多 2 个公差，第 4 项比首项多 3 个公差，那第 n 项比首项多（n-1)个公差。可根据，项数=（末项首项）公差 + 1 进行计算， （35-2）3+1=12。所以，这个数列共有 12 项。 由此可知：项数= （末项首项）公差 + 1 随堂小练：（1 ） 有一个等差数列：1、3、5 、7、999，这个等差数列共有多少项？（2 ） 有一个等差数列：2、5、8 、11 101，这个等差数列共有多少项？例 7：在下图中，每个最小的等边三角形的面积是
6、12 厘米 2，边长是 1 根火柴棍。问：（1 ）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？ 分析：最大三角形共有 8 层，从上往下摆时，每层的小三角形数目为 1、3、5、7、9等，由此可知，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。解：（1）最大三角形面积为 （1 35 15）12 （115）82 12 768（平方厘米） 2）火柴棍的数目为 369+ +24 （3 24 ）8 2=108（根） 。 答：最大三角形的面积是 768 厘米 2，整个图形由 108 根火柴摆成。例 8：盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成 3只球后
7、放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成 3 只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成 3 只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？ 分析：一只球变成 3 只球，实际上多了 2 只球。第一次多了 2 只球，第二次多了 22只球第十次多了 210 只球。因此拿了十次后，多了 2122 2 10 2（1210） 2 55110 （只） 。 加上原有的 3 只球，盒子里共有球1103 113（只） 。 解：综合列式为： （3-1）（1210 ）3 2 （1 10）1023113（只）课后练习：1、求下列等差数列的和。（1 ） 6 78 97475 （2 ） 2
8、61014122126 （3 ） 1 23 420072008 2、 有一个数列，4、10 、16、2252，这个数列有多少项？3、 一个等差数列，首项是 3，公差是 2，项数是 10。它的末项是多少？4、 求等差数列 1、4 、7、10，这个等差数列的第 30 项是多少？5、 有一个数列：6、10 、14、18、22，这个数列前 100 项的和是多少？6、 在等差数列 1、5 、9、13、17401 中，401 是第几项？第 50 项是多少？7、 求 199 个连续自然数的所有数字的和。 8 已知等差数列 5,8,11，求出它的第 15 项和第 20 项。9、 按照 1、4、7、10、13 ，排列的一列数中，第 51 个数是多少？10、一个剧场设置了 22 排座位，第一排有 36 个座位，往后每排都比前一排多 2 个座位，这个剧场共有多少个座位？
