1、1向量的概念：既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。向量的表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。向量也可用字母a、b 、c等表示，或用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。向量的大小，也就是向量的长度（或称模） ，记作|a|长度为 0的向量叫做零向量，记作0长度等于1 个单位长度的向量，叫做单位向量。平行向量与相等向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量a、b 、c平行，记作abc。0 向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，数学上规定0与任一向量平行长度
2、相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量a与b 相等，记作a=b。零向量与零向量相等。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。（一）向量的概念及表示1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。2、向量的表示方法：用有向线段表示；用字母 、 等表示；用有向线段的起点与终点字母表示： ；向量 的大小长度称为向量的模，记作| |。3、零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作 的方向是任意的。长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。4、平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定 与任一向
3、量平行。向量 、 、 平行，记作 。5、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。（1）向量 与 相等，记作 ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系。7、相反向量把与向量 长度相等方向相反的向量叫做 的相反向量，记作规定： 的相反向量仍是零向量，对任意向量有（ ）（二）向量的加法1、向量的加法：求两个
4、向量和的运算，叫做向量的加法。几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。2、作两向量的加法：如图，已知向量 、 。在平面内任取一点 ，作 ， ，则向量叫做 与 的和，记作 ，即 2特殊情况：对于零向量与任一向量 ，有 探究：（1）两向量的和仍是一个向量；（2）当向量 与 不共线时， 的方向不同向，且| | |，则 的方向与 相同，且| | | |；若| |0时 与 方向相同；0时 与 方向相反；0时 2、运算定律 结合律：( )() 3分配律：() ( ) 3、向量共线定理 如果有一个实数，使
5、( 0)，那么 与 是共线向量；反之，如果与 ( 0) 是共线向量，那么有且只有一个实数，使得 4、平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 1， 2使 1 2说明：(1)我们把不共线向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量 在给出基底 、 的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一。 1， 2是被 ， ， 唯一确定的数量。典型例题】例1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。向量 与 是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一
6、向量与它的相反向量不相等；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。解：不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 、 在同一直线上.不正确。单位向量模均相等且为1，但方向并不确定。不正确。零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的。不正确。如图 与 共线，虽起点不同，但其终点却相同。评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好。例2. 如图，一艘船从 A点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示)。解：设 表示船垂直于对岸行驶的速度， 表
7、示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则 就是船的实际航行的速度。在 中， ，所以因为答：船的实际航行的速度的大小为 ，方向与水流速间的夹角为例3. 平行四边形 中， ， ，用 ， 表示向量 、 。解：由平行四边形法则得：4 ， 变式一：当 ， 满足什么条件时， 与 垂直？（| | | |）变式二：当 ， 满足什么条件时，| | | |？（ ， 互相垂直）变式三： 与 可能是相当向量吗？（不可能，平行四边形对角线方向不同）例4. 如图平行四边形ABCD的两条对角线交于点 M，且 ， ，用 ， 表示 ， 和 。解：在平行四边形ABCD中 ， ， ( ) ， ( ) 例5. 设 ，
8、 是两个不共线向量，已知 2 k ， 3 ， 2 ， 若三点A， B， D共线，求k的值。解： (2 )( 3 ) 4A， B， D共线 ， 共线 存在使 即2 k ( 4 ) k8模拟试题】1. 下列各量中不是向量的是（ ）A. 浮力 B. 风速 C. 位移 D. 密度2. 下列说法中错误的是（ ）A. 零向量是没有方向的 B. 零向量的长度为0 C. 零向量与任一向量平行 D. 零向量的方向是任意的 3. 把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）A. 一条线段 B. 一段圆弧 C. 圆上一群孤立点 D. 一个单位圆4. 下列等式: ( ) ( )0 (
9、) 正确的个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 55. 下列等式中一定能成立的是( )A. B. C. D. 6. 化简 的结果等于( )A. B. C. D. 57. 已知两向量 、 不共线， 2 ， 3 2 ，若 与 共线，则实数 。8. 已知 、 是两非零向量，且 与 不共线，若非零向量 与 共线，则 与 必定 。9. 已知 ， ，若| |12，| |5，且AOB90，则| | 。10. 在正六边形ABCDEF中， ， ，则 。11. 已知 、 是非零向量，则| | | |时，应满足条件 。12. 在平行四边形ABCD中，设对角线 ， ，试用 ， 表示 ，13. 如图， ， 不共线， t (tR)，用 ， 表示【试题答案】1. C 2. D 3. B 4. D 5. A 6. D 7. 8. 不共线9. 13 10. 11. 与 反向12. 解： 13. 解： t t t( ) t t (1t) t14. 6
