1、1排列与组合姓名：温淼鑫 学号：20085031221数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导老师：黄明湛 职称：讲师摘要：本文以四个基本的计数原理为切入点，引出排列和组合的定义以及一系列有关排列组合的定理及证明关键词：集合；加法原理；减法原理；乘法原理；除法原理；排列；组合Permutation and CombinationAbstract: This paper based on four basic counting principle as the breakthrough point, prompting the definitions of permutation and co
2、mbination and a series of theorem and proof relevant to Permutation and CombinationKeywords: Set; The addition principle; Subtraction principle; Multiplication principle; Divide principle; Permutation; combination 引言排列与组合是组合数学的重要章节之一，在数学学科中占有重要地位，在自然科学和社会科学以及当前市场经济中也有重要的用途灵活运用该知识点可以还解决现实生活中很多数学问题1.四
3、个基本的计数原理1.1 加法原理：设集合 划分为部分 （其中 ，S12,mS 12mSS）则 的元素个数可以通过找出它的每一个部分的元素的个ijS()ij数来确定，我们把这些数相加，得到 12m说明：应用加法原理的技巧就在于把要被计数的集合 划分成“容易处理S的部分” ，即划分成能够容易计数的部分类似于中学学的分类计数的方法用选择的术语叙述加法原理的形式是：如果有 种方法能够从一堆中选择p一个物体，而有 种方法从另一堆中选择一个物体，那么从这两堆中选择一个q2物体的方法共有 种pq注：这种形式的加法原理可以容易地推广到多于两堆的情况1.2 乘法原理：令 是元素的序偶 的集合，其中第一个元素 来
4、自大小为S(,)aba的一个集合，而对于 的每个选择，元素 存在着 种选择于是， 的大小p qS为 ： qp说明：乘法原理是加法原理的一个推论类似于中学学的分步计数的方法乘法原理的另一种形式是：如果第一项任务有 个结果，而不论第一项任p务的结果如何，第二项任务都有 个结果，那么，这两项任务连续执行就有q个结果pq注：这种形式的乘法原理可以推广到任意有限多个集合的情形1.3 减法原理：令 是一个集合，而 是包含 的更大的集合设AUA:x是 在 中的补那么 中的元素个数 由下列法则给出：AUAU说明：使用减法原理只有当对 中元素计数和对 中元素计数比对 中元AA素计数容易时才有意义1.4 除法原理
5、：令 是一个有限集，它以下述方式被划分成 部分，每一部分包S k含相同数目的元素此时，划分中的部分数目由下述公式给出 Sk在 一 个 部 分 中 的 元 素 个 数说明：如果我们知道 中元素个数以及各部分所含元素的相同的个数，就S可以确定部分的数目类似于中学学的捆绑现象2.集合的排列令 为正整数我们把 个元素的集合 的一个 - 排列理解为 个元素中rnSrn的 个元素的有序摆放如果 ，则 的 3 个 1-排列是,Sabc3abc的 6 个 2- 排列是S的 6 个 3- 排列是abcbca集合 没有 4- 排列，因为 的元素个数少于 4SS我们用 表示 个元素集合的 r- 排列的数目如果 ，则
6、(,)Pnr rn显然，对每一个正整数 ， 一个 -元素集合 的一个(,)0rn(,1)PnS-排列将被更简单地称为 的一个排列或 个元素的一个排列于是，集 的nS一个排列就是以某种顺序列出 的所有元素已有 和(3,),(2)6P(3,)6P定理 1：对于正整数 和 ， ，有nr(,)(1)Pnr 证明：在构建 - 元素集的一个 - 排列时，我们可以用 种方法选择第一n项，不论第一项如何选出，都可以用 种方法选择第二项， ，以及不论前项如何选出，都可以用 种方法选择第 项根据乘法原理，这 项1r(1)nrrr可以用 种方法选出()n 例 使用字母 每个最多一次而形成的 4-字母“词”的数目等于
7、,abcde由它们形成的 5-字母词 的个数也是 120(5,4)!/()120P(5,)P定理 2： 个元素的集合的循环 - 排列的个数由nr(,)!()Pn给出特别地， 个元素的循环排列的个数是 n1!n证明：上述段落基本上包含了本定理的证明可以把线性 - 排列的集合划r分成一些部分，使得两个线性 - 排列对应同一个循环 - 排列当且仅当它们在r同一个部分中于是，循环 - 排列的个数等于部分的个数既然每一个部分都4含有 个线性 - 排列，因此，部分的个数就是r (,)!(1)Pnr例 用 个不同颜色的念珠串成一条项链，能够做成多少种不同的项链？20个念珠共有 种不同的排列由于每条项链都可以
8、旋转而不必改变念!珠的排列，项链的数目最多为 又由于项链还可以翻转过来而念珠的排20!/19!放未改动，因此项链的总数是 193.集合的组合令 为非负整数我们把 个元素的集合 的 - 组合理解为从 的 个元rnSrSn素中对 个元素的无序选择如果 ，,abcd那么 ,abc,是 的 4 个 3- 组合我们用 表示 -元素集的 - 组合的个数显然Snrr若0n又有若0r0r特别地， 01定理 3：对于 ， rn(,)!nPr因此 !()nrr证明：令 是一个 元素集 的每个 - 排列都恰由下面的两个任务执行SS结果而产生（1）从 中选出 个元素r（2）将所选出的 个元素以某种顺序排列5执行第一个
9、任务的方法数根据定义可知为组合数 执行第二个任务的方法nr数则是 根据乘法原理我们有 现在我们使用公式(,)!Pr(,)!P得到(,)!nr(,)!()nPrnr例 有 15 人注册了数学课，但任意一天都恰有 12 名学生听课选出 12 名学生的不同的方法数是 15!23如果教室内有 25 个座位，那么这 12 名学生可有 种方法选择(25,1)!/3P座位因此，一位教师可以有 种方式见到在教室里的 1215!(2,)3名学生定理 4：对于 ,rnr定理 5：我们有2012n 这个值等于 元素集的所有组合的总个数n证明：通过证明上式两边是以不同的方式对 - 元素集 的组合数计数来证nS明这个定
10、理首先我们观察 的每一个组合是 对于 0，1，2， 的一SSrn个 - 组合由于 等于 的 - 组合素，由加法原理rnrr012n 等于 的所有组合的总个数S6也可以如下计算 的所有组合的总个数，把一个组合的选取分成 个任务S n来完成令 的元素为 在选取 的一个组合时，对 个元素的每一12,nx S个都有两个选择： 要么在这个组合里，要么不在组合里， 要么在这个组合2x里，要么不在组合里， 要么在这个组合里，要么不在组合里因此，由nx乘法原理，存在 种方法使得我们可以形成 的一个组合使两种方法相等就2n S完成了定理的证明例 前 个正整数的集 的 2-组合数为 再按照所包含的最大1,2n 2n整数划分这些 2-组合对每个 2-组合的个数为 （另一个整数可,i 1i以是 中的任一个） 这两种计数结果应该相等，因此得到恒等式 1,2i ()0122n 参考文献：1 冯舜玺，罗平，裴伟东， 组合数学M ，机械工业出版社， 2005.2 李秉德，李定仁，教学论M，人民教育出版社， 1991.3 朱智贤、林崇德，思维发展心理学M，北京：北京师范大学出版社， 1986.4 湖南教育学院学报J， 2001.
