1、1第四章 双自由度体系的振动4-1 双自由度体系的一般振动方程如某一体系在任一时刻的位形可用二个独立坐标来确定，则该体系就叫做双自由度体系。如图 4-1 所示，设体系的两个独立坐标分别为 和 ，它们分别表示质量 和1x2 1m离开各自静平衡位置的绝对位移。选择独立坐标的方法不是唯一的，例如也可以选择质2m量 的绝对位移和质量 相对于质量 的相对位移作为二个独立坐标。1 2m1图 4-1 双自由度体系模型由图 4-1（b）所示的动平衡隔离体，立即可写出对于 和 的运动方程为：1m2（4-1 ）0)()() )(232121221 xkxckxctP整理后，可得（4-2 ）)()()( 23212
2、3212 11 tPxkxcxm引入矩阵记号（4-3 ） )()(,)(,0 212121321 213212121 tPttxtkkk ccc式中 叫做质量矩阵，为一对称阵；m叫做阻尼矩阵，为一对称阵；c叫做刚度矩阵，为一对称正定或半正定对称矩阵；k和 分别叫做位移和外力列向量。)(tx)(tP式（4-2）现可写成（4-4 ）)()()( tPtxktctxm由于 、c 及 k不是对角的就是对称的，故有、 、 （4-5 ）TTTk2矩阵中的非对角元素起了耦合的作用。如果 、c及 k均为对角阵时，则方程（4-m4）解耦，此时其求解方法与单自由度体系相同。这个结论对一般多自由度体系也同样适用。4
3、-2 双自由度体系的无阻尼振动4-2-1 无阻尼时的运动方程把式（4-4）中的阻尼项去掉，即令 c=0，即可得无阻尼时的运动方程（4-6 ）)()(tPxktm在一般情况下，求解式（4-4）或上式也并不是很容易的，其原因是二个方程不是相互独立。下面我们仅讨论自由振动以及外力为简谐力的特殊情况。4-2-2 自由振动令式（4-6）的右侧 ，即得自由振动方程式0)(tP（4-7a ）0)()(txktm上式也可写成 211211x（4-7b ）2 xk因为上式为齐次的，所以，如果 及 为一组解答，则 及 也是一)(1t2t )(1tx)(2t组解答，这里 为一任意常数。因此，自由振动方程的解只能确定
4、到一个未定的常数乘子。（1）模态（振型）及频率下面我们要找出一组特殊的解 及 ，要求 及 为相互同步，即要求)(1tx2t)(1tx2t与时间无关。)(/12tx现设 并代入式（4-7b） ，有,),(221tfAtf（4-8 ）0)()212212 tfAktfm或 （4-9 ）212121)( mAktf从上式可得（4-10 ）0)(tftf（4-11 ）)( 221221 1AkAmk式（4-10）中的常数 不仅为实数而且为正数。证明如下：设 ，并代入式（ 4-10） ，则有stAetf)(（a ）ss 023故 （b）tteCtf21)(如果 ，并代入式（4-10） ，得 ，所以 为实
5、数。如果 为负数，则i0为正实数，此时式（b）中的第一项当 时，将趋于无穷大而第二项则趋于零。 t由于系统是保守的，运动既不能消失也不能趋于无穷，所以 为负值在物理上无意义，因此 必须为正实数。其次再来证明时间函数 f（ t）为简谐函数：因 为正实数，故可令 ，式（a）中的 s 可写成 ，于是式（b）可写成2i（c ）tCtCeCtftiti sin)(co)()( 21211 令（d）co,sin2121 iBA则（4-12 ） AtgCtttf /, )sin(sicosi)(2 所以 为简谐函数， 为任意常数， 为圆频率， 为相位角。这三个量对于 及)(tf )(1tx都是相同的，即2x
6、 )sin()(2211tCAtx因为自由振动方程的解只能确定到一个未定的常数乘子，故上式中的 可以不加考虑，C可直接令（4-13 ）)sin()(2211tAtx最后再来证明 并不是任意的，而仅能取特定的值。2将 代入式（4-11） ，则有2（4-14a ）0)()( 221221 1AmkAk由于 ，故上式可简化成121,0mm（4-14b ）)(22121k式（4-14）叫做模态方程。如欲得非零解，则必须（4-15 ）0)( 222112 mk式（4-15）叫做频率方程。将上式展开，并注意到 ，则有)()( 211211214212 kkm或（4-16 ）21212121 4mk因此只有
7、二个模态（或叫振型） ，在这二个模态下体系的运动才是同步简谐的。与这二4个模态相应的频率分别为 及 。12现设与 相应的模态用 及 来表示，与 相应的模态用 及 来表示。双脚21A1212A标中的第一个脚标与质量 及 相对应，第二个脚标表示模态号码。由于模态方程（4-1m214）是齐次的，所以 及 只有相对关系。/从模态方程可得（4-17 a，b）2211212 212121 mkkA于是体系的模态矢量可表示成（4-18 ）2122121A双自由度体系的自由振动可表示成（4-19 a）)sin()sin()( 2212121 tttx或（4-19 b）)si()()( 212121 tAtxt
8、或（4-19c ）)()( )()( 21121 tqttxt 式中 即 主 坐 标为 时 间 函 数叫 做 广 义 位 移 列 向 量 ，矩 阵叫 做 模 态 矩 阵 或 叫 振 型 ,)sin()()( ;)( 2121212ttqt A（4-20 ）因 故式（4-19a）中仅有四个待定常数，即 、 、 及,122121AA 1A21，它们由初始条件)0(),( 02211xxt 确定。例 4-1 试求图 4-2 所示双自由度体系的频率和模态。在此， 将以上数据代入式, 212132121 kkkkm（4-16）及式（4-17） ，得5mkkmkmk /3,/,2421 213,221 A
9、kA从上式可以看出，第一模态（振型）为两个质量一起振动，无相对位移，中间一个弹簧不起作用，只有第一个第三个弹簧起作用，其结果等于质量为 2m，弹簧系数为 2k 的单自度体系的振动；而第二模态为两个质量作相反振动，中间一个弹簧的中点始终不动。这两个模态的力学模型如图 4-3 所示。图 4-2 双自由度振动体系示意第一模态第二模态图 4-3 双自由度振动模态示意（2）模态（振型）的正交性及其意义从上面的例子中，我们发现有 这样的关0)(21212112 AmA系。这个关系不是个别的，而是一般的，叫做模态（振型）的正交关系或简称正交性。现证明如下：因为由式（4-14a）及（4-20）可得（a）121
10、k（b）m将式（a）转置得（c ）TTk121将式（b）左乘 ，得T16（d）2121 mkTT将式（c）右乘 ，得2（e ）2121TT因为 再比较式（ d）和（e） ，得,TTmk0)(2121T因为 ，故有21（4-21a ）21mT将上式展开， 0,0,2112 21211121 AA由式（d）或式（e）均可得（4-22a ）21kT式（4-21）及式（4-22）分别表示二个不同振型以质量（或刚度）为权的正交性（带权正交性） 。同时，有（ ） （4-21b ）*iiTi m2,1i（ ） （4-22b ）iiik式中 为正常数，为相应于主坐标 的广义质量；*im)(tqi为相应的广义刚
11、度矩阵。ik振动方程式（4-7a）可以变换成如下形式（ ）0)(*tktmii 2,1i上式表明，整个系统的无阻尼自由振动可以用 2 个独立的无阻尼二阶微分方程组来描述，每一个方程对应一个振型，每个振型的固有频率由下式给出（ ）*2iik2,1i振型正交性有二个方面的意义，即几何的及物理的。设 ，则由式（4-21）可得m21 02121A上式表示二个向量 的内积为零，即二个振型向量正交，这是几),(),(21A何方面的意义。现在再来看看物理方面的意义:设 )sin()(,sin()( 22212121 1tAtxttx将振型正交式分别乘以 及 ，得)i )si(21t0)si()si( 212
12、121211 ttmA7亦即 02211xmx（a）（b021212xmx）式（a）表示以第一振型在作自由振动时的惯性力不在第二振型上作功，式（b）表示以第二振型在作自由振动时的惯性力不在第一振型上作功，换言之，第一振型的能量不会转移到第二振型上，反之亦然，即一振型的的振动不会激起别的振型的振动。上面所说的关于振型的正交性及其意义对于一般多自由度体系也同样如此。（3）模态（振型）的规格化对于第一或第二振型，有 )2,1( 212jCmAjj由于一个振型的各幅值之间可相差一个常数比例因子，也就是说 和jjCA1仍然是第 振型的幅值，这时有jjCA2 ),(j 1212Cjjjj上述过程叫做振型规
13、格化， 和 叫做规格化了的振型。jjA1jj2为了简便起见，一般假设振型都是经过规格化了的，并仍用 、 记之。于是有jA1j2（4-23 ）12212 ),( kkjjj mAm对于一般多自由度体系，也具有同样的形式：（4-24 a）nkkj nj12 ),( 如用矩阵形式表达，则有 （4-24 b）ijmjTi ， 当所以，对于规格化了的振型来说，有（4-25 ）ijjTiij ,01（4）四个待定常数的确定直接代入法当双自由度体系在自由振动时，二个振型同时出现，其运动方程已示于式（4-19a） 。由于 与 ， 与 之间有一定的比例关系，故实际上仅有四个未定常数要由四个初1A212A始条件确
14、定。由 （4-17 a， b）122121 /,/AA代入式（4-19b、c） ，则有8（4-26 ） )cos()cos()( inin)s()s()( 2121122 21 211 tAtAtx ttt把 ， 代入上式，有0t 0) ,0( ,0) ,1 xxxt （a）211sini(（b）22 i（c ）212111 coco) Ax（d）22 ss0(b)（a） （e ）2121)0()(in x(a) （f）2121221s)(A(d)(c) （g）)(0)co21212 x(c) -(d) （h）21 (s21212（i）)0()(/( 1221xtge（4-27 ） 21221
15、2212122 211112 )0()0()( )(0/ )0()( xxAhfxtgf xe 如将式（4-26）展开，则有（4-28 ） tfthtetgtx f222121211 cos)(sin)(cos)(sin)() ci式中 、 、 及 表示相应式中的右边项。(efh方法二：振型正交叠加法由式（4-19）的矩阵形式，并引入式（ 4-17a， b） ，即 )(1)()(21221 tqAtxt （4-)(211tq19）式中 , , ， ， 。212 )sin()11tt )sin(22ttq9把 ， 、0t )0()(21xtx，并)()(21tx代入式（4-26） ，有（i）)0
16、()0(212121 qAx（j）212121 根据振型加权正交性，式（ai ） 、 （bj）两边同左乘 ，则有21mT（k） )0(0)(21*212121 qAmxmT（l） )()( 21*212121xT 整理得（m）)0(1sin)0( 212*11 xmAqT（n）)(si)( 2121*2121 xT（o）)0(cos)0( 2121*111 xmAqT（p）)(cs)( 2121*21221 xT4-2-3 在简谐力作用下的强迫振动先假设在 上作用一个谐振力 ，而在 上没有外力，则运动方程为1mtPt sin)(12m（4-29a ） 0 sin012121121 txkx或
17、（4-)(tm29b）现在先来求设体系稳态解，即特解。为令 （4-tXxtXxpp sin ,sin21 1030）将式（4-30）代入式（4-29a） ，得 0122211Pxmkk解上式，有， （4-32 ）221110kPDX211kDX其中 （4-33a）2211m将上式与频率方程式（4-15）相比，可得（4-33b ）)(212所以，有， （4-34 ）)(22121 mkPX )(22122 mPkX在上式中先不考虑 因子，并令/（a ）242132211 221221)( Ck上式中的 、 、 及 可用如下办法求得：1C234由式（a）的第一式可得 21212 )(Cmk令 ，则
18、有21（b）2121k用同样的办法，可得（c ）212mkC（d）213（e ）214k由式（4-17）并考虑到 ，得12k（4-35 ）214213 212121 ,kCCk将上式代入式（a）并考虑式（4-34） ，最后可得11（4-36 ）2212212 2212121)( )(1)(mkPX从 ，又因振型中的幅值仅有相对意义，故可令 ，121,AA 1,2*1A则有 。于是，2*/（4-37a ）tAmkPtXx ttpp sin)( sin i i 221*2212 2121*2211 或（4-37b ）tkxp si)( 2121*212212 从上式可以看出，纯强迫振动可用体系的振
19、型、频率以及共振因子 来表达。)2,(i有了特解以后，再加上齐次解，即得全解 )sin(1)sin(12212212121 tAtAxxpc（4-38 ）tmkPi)( 2221121 再从初始条件，当 0t， ，)0(21x)0(21x确定四个常数 。2121及、 A在这里应该指出，顺便提一句，振型中有一个振幅取值为 1 时，叫做振型规一化。一般取绝对值最大的幅值为 1，其余幅值都是小于 1 的数。应注意与规格化是两个不同的概念。上面所说讨论的是，仅在 上作用着外力 ，而在 上没有外力作用的情况，1mtP sin12m并记特解为 （即式 4-37b） 。对仅在 上作用着外力 ，而在 没有121ppx2 tP sin1m外力作用的情况，也可用同样的方法求得特解。 ，设这个特解记为 ，并记第212ppx一种情况的特解为 （即式 4-37b） 。由于运动方程是线性的，故当在 上作121ppx 1用有 ，同时又在 上作用有 时，则其特解为 ，再加tP sin1mtP sin221ppxx上齐次解 ，即可得问题的全解为 。在 中仍含有四个待定常x 21ppcx12数 。 ，再根据初始条件来确定这四个常数， 。于是无阻尼双自由度体系在2121及、 A简谐外力 及 作用下的强迫振动问题也就解决了。tP sint si
