1、15.3 反证法和放缩法对 应 学 生 用 书 P21读教材填要点1反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件( 或已证明过的定理，或明显成立的事实) 矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确的，这种方法称为反证法2放缩法在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小) 使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法小问题大思维1用反证法证明不等式应注意哪些问题？提示：用反证法证明不等式要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的(2
2、)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的2运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小) 要适当如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们
3、在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式对 应 学 生 用 书 P21用反证法证明否定性结论例 1 设 a，b，c ，d 都是小于 1 的正数，求证：4a(1b)，4b(1 c)，4c(1d) ，4d(1a )这四个数不可能都大于 1.思路点拨 本题考查反证法的应用解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决精解详析 假设 4a(1b)1,4b(1c)1,4c(1d) 1， 4d(1a)1，则有a(1b) ，b(1 c) ，14 14c(1d) ，d(1a) .14 14 ， ，a(1 b)12 b(1 c) 12 ， .c(1 d)12 d(1 a) 12又
4、 ， ，a(1 b)a (1 b)2 b(1 c) b (1 c)2 ， ，c(1 d)c (1 d)2 d(1 a) d (1 a)2 ， ，a 1 b2 12 b 1 c2 12 ， .c 1 d2 12 d 1 a2 12将上面各式相加得 22，矛盾4a(1b) ，4b(1 c)，4c(1d) ，4d(1a) 这四个数不可能都大于 1.(1)当证明的结论中含有“不是” ， “不都” ， “不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式 与已知相矛盾，与假设矛盾，与显然成立的事实相矛盾1已知数列a n的前 n 项和为 Sn，
5、且满足 anS n2.(1)求数列a n的通项公式；(2)求证数列a n中不存在三项按原来顺序成等差数列解：(1)当 n1 时，a 1S 12a 12，则 a11.又 anS n2，所以 an1 S n1 2，两式相减得 an1 an，12所以a n是首项为 1，公比为 的等比数列，12所以 an .12n 1(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为 ap1 ，a q1 ，a r1 (p0，且(x 1) 2(y1) 2(z1)0abc0 这与 abc 0 矛盾因此，a，b，c 中至少有一个大于 0.(1)在证明中含有“至少” 、 “至多” 、 “最多”等字眼时，或证明否定性命题、惟
6、一性命题时，可使用反证法证明在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾2实数 a，b，c，d 满足 abcd1，ac bd1.求证： a，b，c，d 中至少有一个是负数证明：假设 a，b，c，d 都是非负数，即 a0，b0，c0，d0，则 1(ab)(cd)( acbd)( adbc )acbd.这与已知中 acbd1 矛盾，原假设错误，故 a，b，c，d 中至少有一个是负数.用放缩法证明不等式例 3 求证： 1 2
7、 (nN *且 n2)32 1n 1 122 1n2 1n思路点拨 本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式精解详析 k (k1)k 2k(k1)， .1k(k 1) 1k2 1k(k 1)即 (kN 且 k2)1k 1k 1 1k2 1k 1 1k分别令 k2,3，n 得 1 ， ，12 13 122 12 13 14 132 12 13 ，将这些不等式相加得1n 1n 1 1n2 1n 1 1n 1 ，12 13 13 14 1n 1n 1
8、122 132 1n2 12 12 13 1n 1 1n即 1 .12 1n 1 122 132 1n2 1n1 1 11 .12 1n 1 122 132 1n2 1n即 1 2 (nN 且 n2)成立32 1n 1 122 132 1n2 1n(1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证 ab，可换成证 ac且 cb，欲证 a1 DM 与 1 大小关系不定解析：2 1012 10,21022 10，2 1112 10，M 1210 1210 1 1210 2 1211 12)，则( )1a 2Ap q Bp0 ，1a 2p 224，而 q(a2) 24，由 a2，可得 qq
9、.答案：A二、填空题5给出下列两种说法：已知 p3q 32，求证 pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知 a，bR， |a|b|2，所以错误；对于，其假设正确答案：6用反证法证明“已知平面上有 n(n3) 个点，其中任意两点的距离最大为 d，距离为 d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为 n 条”时，假设的内容为_解析：对“至多”的否定应当是“至少” ，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为 n1 条” 答案：直径的数目至少为 n1 条7A1 与 (nN )的大小关系是_12 13 1n n解析：A 1+n项 .11 12 13 1n nn n答
10、案：A n8设 a0，b0，M ，N ，则 M 与 N 的大小关系是_a ba b 2 aa 2 bb 2解析：a0，b0，N aa 2 bb 2 aa b 2 ba b 2 M.a ba b 2M1 且 y(2z)1 且 z(2x)1 均成立，则三式相乘有：xyz(2x )(2y )(2z)1. 由于 0x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2(xy z)32证明： x2 xy y2 (x y2)2 34y2 (x y2)2|x |x .y2 y2同理可得： y ，y2 yz z2z2z .z2 zx x2x2由于 x、y、z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式
11、累加得： (xyz)x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2(x y2) (y z2) (z x2) 3211设数列a n的前 n 项和为 Sn，a 11，S nna n2n(n1)(1)求数列a n的通项公式 an；(2)设数列 的前 n 项和为 Tn，1anan 1求证： T n .15 14解：(1)由 Snna n2n(n1)得an1 S n1 S n(n1)a n1 na n4n，即 an1 a n4.数列 an是以 1 为首项，4 为公差的等差数列，an 4n3.(2)证明：T n 1a1a2 1a2a3 1anan 1 115 159 1913 1(4n 3)(4n 1)14(1 15 15 19 19 113 14n 3 14n 1) .14(1 14n 1) 14又易知 Tn单调递增，故 TnT 1 ，15得 T n .15 14
