1、函数的基本性质,Basic Properties of Functions,教学过程：,教学目标： 1、理解偶函数与奇函数的概念和图像特征，会证明简单函数的奇偶性 2、函数为偶函数或奇函数的必要条件与充要条件 3、从“数”和“形”两个角度来检验函数的奇偶性,教学重点与难点： 教学重点：偶函数与奇函数的概念和图像特征，会证明简单函数的奇偶性 教学难点：函数为偶函数或奇函数充要条件的证明,教学方法：启发式教学,教学手段：多媒体辅助教学,函数的奇偶性,y,f(1)=_,f(-1)=_,f(2)=_,f(-2)=_,y=x2,1,1,4,4,f(x0)=_,f(-x0)=_,f(-x)=f(x),一、
2、引入,若对于函数y=f(x)的定义域D内的任意实数x, 都有f(-x)=f(x),则称函数y=f(x)为偶函数(even function),1、偶函数的定义：,二、偶函数的定义与性质,2、函数是偶函数的必要条件：,函数的定义域D关于原点对称,3、偶函数的几何性质：,偶函数的图像关于y轴成轴对称图形,函数的图像关于y轴成轴对称图形是这个函数 是偶函数的充要条件,4、函数是偶函数的充要条件：,由偶函数定义知：,则,若,从定义我们可以看出在定义域内任取x，必有(-x)与其对应，且(-x)也必须在定义域内这样就保证了f(x)、f(-x)都有意义，才能判断f(x)是否与f(-x)相等,偶函数的定义域D
3、关于原点对称!,优先考虑定义域！,偶函数的图象特征及验证,从图像可以看出 的图像是关于y轴对称的,问题：是不是对于所有的偶函数，其图像都是关于y轴对称的呢？,证明：在定义域D内，任取实数a，则：A(a,f(a)B(-a,f(-a)都是函数f(x)的图像上的点,因为f(x)是偶函数，所以有f(-a)=f(a),所以，点B坐标可表示为(-a,f(a),与A (a,f(a)关于y轴对称,所以，f(x)的图像上的点A与点B关于y轴成轴对称,因此，f(x)的图像关于y轴成轴对称图形,若函数y=f(x)是偶函数，则其图像关于y轴成轴对称图形.,若一个函数的图像关于y轴成轴对称图形,则这个函数必是偶函数.,
4、函数的图像关于y轴成轴对称图形是 这个函数为偶函数的充要条件,偶函数的几何性质,研究下面函数的图像,你能得到什么结论呢?,f(-x)=-f(x),3、奇函数的几何性质：,函数的图像关于原点成中心对称图形是这个 函数是奇函数的充要条件,4、函数是奇函数的充要条件：,若对于函数y=f(x)的定义域D内的任意实数x, 都有f(-x)=-f(x),则称函数y=f(x)为奇函数(odd function),1、奇函数的定义：,三、奇函数的定义与性质,2、函数是奇函数的必要条件：,函数的定义域D关于原点对称,奇函数的图像关于原点成中心对称图形,1、偶函数的性质小结：,代数性质：,几何性质：,对于定义域D内
5、任一实数x，都有f(-x)=f(x),偶函数的图像关于y轴成轴对称图形,必要条件：,定义域关于原点对称,2、奇函数的性质小结：,代数性质：,几何性质：,对于定义域D内任一实数x，都有f(-x)=-f(x),奇函数的图像关于原点成中心对称图形,必要条件：,定义域关于原点对称,四、例题举隅,判断函数奇偶性的方法,定义域是否关于原点对称,f(x)是非奇非偶函数,f(x)是偶函数,f(x)是奇函数,f(x)既是奇函数又是偶函数,函数y=0, 定义域： -a,a,f(x)是非奇非偶函数,通过举反例,1、图像法,2、定义法,1、当_时一次函数f(x)=ax+b (a0)是奇函数,2、当_ 时二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)是偶函数,例2,既不是奇函数又不是偶函数,既不是奇函数又不是偶函数,b=0,b=0,不可能是偶函数,不可能是奇函数,3、正比例函数、反比例函数的奇偶性怎样呢?,都是奇函数,思考,例4,结论：,奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇*奇=偶,偶*偶=偶,奇+偶=不确定,奇*偶=奇,例5,知识内容：,思想与方法：,五、课堂小结,1、偶函数与奇函数的定义和图像特征 2、函数为偶函数或奇函数的必要条件与充要条件 3、从“数”和“形”两个角度检验函数的奇偶性,类比、数形结合,
