1、逻辑联结词【基础知识精讲】1.命题：初中给命题下的定义是：判断一件事情的句子，叫做命题.而高中教科书中的定义是：可以判断真假的语句叫做命题，说法不同，实质是一样的.语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是判断其是否成立，不能判断真假的语句，就不能叫命题.例如：“这是一棵大树”；“x2”都不能叫命题，由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假.由于 x 是未知数，也不能判断“x2”是否成立.“0 是自然数 ”，“ 52”，“ 31 2”，都是简单命题.其中前两个命题为真命题，后一个命题是假命题.2.逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题，
2、叫做简单命题.由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫做复合命题.例如“菱形的对角线互相垂直或平分”，“菱形的对角线互相垂直且平分”，“菱形的对角线互相不垂直”，分别是“p 或 q”、“p 且 q”、“非 p”形式的复合命题.逻辑中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义是不尽相同的，要结合真值表加以理解.另外，结合集合的并集、交集、补集来理解联结词，它们的定义分别用“或”、“且”、“非”联结词.对于复合命题的理解要注意“由简单命题与”，其中我们只注意“联结词”，而不注意“命题”.如 x 2 或 x-2 就不是复合命题，因为它不是命题，因此，不要认为凡是含有联结词的语句就
3、是复合命题.对于三个真值表可做如下理解)“非 p”形式复合命题的真假与 p 的真假相反；)“p 且 q”形式复合命题当 p 与 q 同时为真时为真，其他情况时为假；)“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同时为假时为假，其他情况时为真.真值表是我们判断真假命题的直接依据.表示命题真假的表叫真值表p q 非 p q 或 p p 且 q真 真 假 真 真真 假 假 真 假假 真 真 真 假假 假 真 假 假下面把常用的正面叙述的词语及它的否定列举如下：正面词语 等于 大于()小于 ( )是 都是否定 不等于 不大于() 不小于() 不是 不都是正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的
4、至多有 n 个 任意两个否定 至少有两个 一个也没有 某个 某些 至少有 n+1 个 某两个应该强调的是：如“x=0 或 x=1”的否定是“x0 且 x1”，并非“x0 或 x1”【重点难点解析】本节重点是判断命题的真假，掌握真值表的方法，难点是理解逻辑联结词“或”的含义.1.复合命题的含义及与集合运算的联系复合命题形式 表示含义 与集合运算的联系q 或 p q 与 p 中至少有一个发生 AB=xxA，或 xBp 且 q q 与 p 同时发生 AB=xxA，且 xB非 p 否定 p CP=xx P，xU2.真值表要点复合命题形式 真、假 对 p、q 要求真 p 假非 p假 p 真真 p、q 同
5、时为真p 且 q假 p、q 至少有一个为假真 p、q 至少有一个为真p 或 q假 q、p 同时为假例 1 分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：1 既不是质数，也不是合数；0 不是奇数；斜三角形的内角是锐角或是钝角.解：这个命题是 p 且 q 的形式，其中P：1 不是质数；q：1 不是合数这个命题是非 p 的形式，其中p：0 是奇数这个命题是 p 或 q 的形式，其中P：斜三角形的内角是锐角，q:斜三角形的内角是钝角.说明 在中，p 和 q 两个命题还是非 p 形式的.例 2 命题 p：正方形 ABCD 是矩形；命题 q:正方形 ABCD 是菱形.试分别写出下列各种形式的复合命题： (
6、1)p 或 q；(2)p 且 q；(3)非 p；(4)非 q解：(1)p 或 q 形式：正方形 ABCD 是矩形或菱形；(2)p 且 q 形式：正方形 ABCD 既是短形，也是菱形；(3)非 p 形式：正方形 ABCD 不是矩形；(4)非 q 形式：正方形 ABCD 不是菱形.说明 上述(1)(2)两种形式的命题都是真命题；而(3)(4)两种形式的命题都是假命题例 3 指出下列复合命题的形式及其构成，并判断这些复合命题的真假.(1)3 既是正数也是奇数.(2)-5 没有平方根.(3)1.3 或 3是无理数.(4)集合x11等于集合xx1 ，而且集合x x10等于集合xx0.解：(1)这一命题是
7、“p 且 q”的形式，其中：p3 是正数，q3 是奇数.因为，p 为真，q 为真，所以“p 且 q”为真，即命题(1)为真.(2)这一命题是非 p 的形式，其中：p:-5 有平方根，因为 p 为假，所以非 p 为真，即命(2)为真(3)这个命题是 p 或 q 的形式，其中 p：1.3 是无理数 q: 3是无理数.因为，q 为真，所以“q 或 p”为真，即命题(3)为真.(4)这个命题是 p 且 q 的形式，其中：p：集合x11等于集合xx1 ，q：集合x 0等于集合xx0.因为，x11=x0=xx(1-x)0=x0x1xx1，故 p为假，所以“p 且 q”为假.评析 要说明“q 且 p”为假，
8、只要指出其中一个命题为假即可，如命题(4)中 p 为假，立即可得“p且 q”为假.例 4 指出下列各题中的“p 或 q”，“p 且 q”，“非 p”，“非 q”形式的复合命题的真假(1)p:梯形有一组对边平行，q:梯形有一组对边相等(2)p:5 是 17 的约数，q:5 是 15 的约数(3)p:-1 是方程 x2+4x+3=0 的解，q：-3 是方程 x2+4x+3=0 的解(4)p:不等式 x2+2x+21 的解集为 R，q：不等式 x2+2x+21 的解集为 (5)p:a a,b,c，q:a a,b,c分析 要确定复合命题的真假，首先要确定组成复合命题的每一个支命题的真假，然后再针对复合
9、命题的形式，对照各自的真值表，作出正确的判断.解：(1)p 真、q 假，“p 或 q”为真，“p 且 q”为假，“非 p”为假，“非 q”为真.(2)p 假、q 真，“p 或 q”为真，“p 且 q”为假，“非 p”为真，“非 q”为假.(3)p 真、q 真，“p 或 q”为真，“p 且 q”为真，“非 p”为假，“非 q”为假.(4)p 假、q 假，“p 或 q”为假，“p 且 q”为假，“非 p”为真，“非 q”为真.(5)p 真、q 真，“p 或 q”为真，“p 且 q”为真，“非 p”为假，“非 q”为假.说明 通过上述解题实践，我们应该更进一步掌握判定复合命题真假的方法：“p 或 q
10、”形式的复合命题，只要其支命题中有一个支命题为真，则该复合命题就为真；当且仅当各支命题都为假时，用“或”字联结的复合命题才为假；“p 且 q”形式的复合命题，当且仅当各支命题都为真时才为真，也就是说：“只要有一个支命题为假时，它就为假；“非 p”形式的复合命题的真假情况恰好与 p 相反.【难解巧解点拨】例 1 以下判断是否正确：(1)q 和 p 都是简单命题，那么命题 p 真，则命题“p 且 q”一定真；命题 p 假，则命题“q 且 p”不一定假；命题“p 且 q”真，则命题 p 一定真；命题“p 且 q”假，则命题 p 一定假.(2)命题“p 或 q”与命题“p 且 q”都是真命题，那么命题
11、 q 一定是真命题；命题 q 不一定是真命题；命题 p 不一定是真命题；命题 p 与 q 的真值相同.(3)命题“p 且 q”与命题“p 或 q”都是假命题，那么命题“非 p”与命题“非 q”真值不同；命题“非 p”与命题“非 q”至少有一个是假命题；命题“非 p 且非 q”是真命题；命题 q 与命题“非 p”真值相同.分析 由真值表知，(1)“非 p”形式复合命题的真假与 p 的真假相反；(2)“p 或 q”形式的复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其它情况均为真；(3)“q 且 p”形式的复合命题当 p 与 q 同时真时为真，其它情况均为假.解：(1)错；错；对；错.(2)对；错；错；对
12、.(3)错；错；对；错.例 2 分别指出由下列各组命题构成的“p 或 q”，“p 且 q”，“非 p”形式的复合命题的真假.p:33，q:3=3p: 0，q:0 p: A，q：AA=Ap:函数 y=x2+3x+4 的图像与 x 轴有公共点，q:方程 x2+3x-4=0 没有实根.解：p 假 q 真，“q 或 p”为真，“p 且 q”为假，“非 p”为真p 真 q 假“p 或 q”为真，“p 且 q”为假，“非 p”为假p 真 q 真“p 或 q”为真，“p 且 q”为真，“非 p”为假p 假 q 假“p 或 q”为假，“p 且 q”为假，“非 p”为真说明 解这类题关键是第一步确定命题 p,q
13、 的真假，如果这一步弄错了，第二步根据真值表确定的“p 或 q”，“p 且 q”，“非 p”的真假就没有了保障，因此，这两步都必须搞准确.例 3 指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题，判断复合命题的真假，并说明真假的理由：(1)53(2)正方形不是菱形；(3) 是 的元素，也是 的真子集.分析 本题考查复合命题的构成及其真假的判断.解决此类问题的关键在于理解逻辑联结词“或”、“且”、 “非”的含义，掌握判断复合命题真假的真值表.解：(1)此命题为 q 或 p 的形式，其中，p:53，q:5=3.此命题为真命题，因为 p 为真，q 为假.(2)此命题为非 p 形式，其中，p:正方形是菱形
14、.此命题为假命题，因为 p 为真.(3)此命题为 q 且 p 的形式，其中，p: 是 的元素，q: 是 的真子集.此命题为真命题，因为 p 为真，q 也为真【同步达纲练习】一、选择题1.已知下列语句：平行四边形不是矩形； 3是无理数；方程 9x2-1=0 的解是 x=1； 3aa.其中简单命题的个数是( ).A.0 B.1 C.2 D.32.下列命题中，是真命题的是( )A. 是空集 B.xNx-13 是无限集C.空集是任何集合的真子集 D.x2-5x=0 的根是自然数3.命题“1997 年 7 月 1 日是中国共产党的生日，也是香港回归祖国的日子”是( )A.简单命题 B.非 p 形式的命题
15、C.p 或 q 形式的命题 D.q 且 p 形式的命题4.下列语句不是命题的是( )A.地球是太阳系的行星 B.等腰三角形的两底角相等C.今天会下雪吗? D.正方形的四内角均为直角5.命题“关于 x 的方程 x2-a2=0，(a0)的解是 x=a”中，使用的逻辑联结词的情况是( )A.没有使用逻辑联结词 B.使用了逻辑联结词“且”C.使用了逻辑联结词“或” D.使用了逻辑联结词“非”6.给出以下四个命题：55，1，2 2；平行四边形的四边都相等；长方形的对角线互相垂直，其中为真命题的是( )A.、 B.、 C.、 D.、7.“xy=0”等价于( )A.x=0 且 y=0 B.x=0 或 y=0
16、C.x0 且 y0 D.x0 或 y0二、判断题判断下列各题的真假，真的在相应括号内填“真”、否则填“假”矩形的对角线互相平分( )；对边平行的四边形是平行四边形( )；0 是最小的自然数( )；0 不是负数( )；0 既不是奇数，也不是偶数( )；12 是 48 和 24 的最大公约数( )； A( )； =0( )；三角形内角和等于 180( )；9 的算术平方根是-3( )；三、填空题1.命题“x=1 都能使 372x有意义”是 形式的复合命题，用真值表判断，它是 命题.2.命题“方程 342x+3x 2-2 xy+y2=0 的解是 32yx”是_命题(填真或假).3.命题“方程 23x
17、=1 没有实数根”是 形式的复合命题，用真值表判断，它是 命题.四、解答题1.指出下列复合命题的形式及其构成有一个角为锐角的三角形不是钝角三角形；有两个角为 45的三角形是等腰直角三角形；6 或 9 是 3 的倍数；12 是 48 与 24 的公约数2.分别指出下列各组命题构成的“p 或 q”，“p 且 q”，“非 p”形式的复合命题的真假p 是有理数，q 是实数；p5+1015，q32p53，q32px 2+10，qx 2-x 2【素质优化训练】1.分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题.(1)小李是老师，小赵也是老师.(2)1 是合数或是质数.(3)他是运动员兼教练员.(4)不仅这些
18、文学作品艺术上有缺点，而且政治上有错误.【生活实际运用】1.分别指出由下列命题构成的“q 或 p”、“p 且 q”、“非 p”形式复合命题的真假：p：由澳门回归的日期(年、月、日)组成的数 19991220 是 3 的倍数；q：由澳门回归的日期组成的数 19991220 是 4 的倍数.2.若 p：N xRx-1，q： =0.写出由其构成的“p 或 q”、“p 且 q”、“非 p”形式的复合命题，并指出其真假.3.根据自己学习的体会，对课本上的三个真值表分别用一句自己的话加以说明.4.分别举一个 “p 或 q”、 “p 且 q”、 “非 p”命题的例子，并判断其真假.参考答案：【同步达纲练习】
19、一、1.B 2.D 3.D 4.C 5.C 6.A 7.B二、 真 真 真 真 假 假 假 假 真 假三、1.p 且 q，假 2.假，提示：它是简单命题 3.非 p，假四、1.这个命题是非 p 形式；这个命题是 p 且 q 的形式；这个命题是 p 或 q 的形式；这个命题是 p 且 q 的形式.2.p 假，q 真，“p 或 q”为真，“p 且 q”为假，“非 p”为真；p 假，q 真，“p 或 q”为真，“p 且 q”为假，“非 p”为真；p 真，q 真，“p 或 q”为真，“p 且 q”为真，“非 p”为假；p 假，q 假，“p 或 q”为假，“p 且 q”为假，“非 p”为真【素质优化训练】1.讲解 (1)这个命题是“p 且 q”的形式；(2)这个命题是“p 或 q”的形式；(3)这个命题是“p 且 q”的形式；(4)这个命题是“p 且 q”的形式.【生活实际运用】(1)p 或 q 真，p 且 q 真，非 p 假.提示：p 真 q 真. (2)p 或 q：N x Rx-1或 =0;p 且 q：N x Rx1且 =0；非p:Nx Rx-1.因 p 假 q 假，故 p 或 q 假，p 且 q 假，非 p 真. (3)略. (4)略.
