1、天线原理与设计习题集第一章 天线的方向图(1-1) 如图1为一元天线，电流矩为Idz，其矢量磁位表示为 rj0 r4Idz ezA ，试导出元天线的远区辐射电磁场 HE , 。(电磁场与电磁波P163)图1-1 (a) 元天线及坐标系 (b) 元天线及场分量取向解：利用球坐标中矢量各分量与直角坐标系中矢量各分量的关系矩阵sin cos sin sin coscos cos cos sin sinsin cos 0r xyzA AA AA A 因 0x yA A ，可得cossin0r zzA AA AA 由远场公式01 jr E AH E可得 j0j sin2 rIdzE er (V/m)jj
2、 sin2rIdzH er (A/m)0r rE E H H (1-2) 已知球面波函数 re rj / ，试证其满足波动方程： 022 证明：22 2 22 21 1( ) (1 ) j r j rr j r e er r r r r r 则 022 (1-3) 如图2所示为两副长度为 2 的对称线天线，其上的电流分别为均匀分布和三角形分布，试采用元天线辐射场的叠加原理，导出两天线的远区辐射场 HE , ，方向图函数 ),( f 和归一化方向图函数 ),( F ，并分别画出它们在yoz平面和xoy平面内的方向图的示意图。解：(1) 天线上电流为均匀分布时0( ) ,I z I l z l 将
3、对称振子分为长度为dz的许多小段，每个小段可看作是一个元天线，如下图所示。距坐标原点z处的元天线的辐射电场为j j0( )j sin j sin2 2R RI z dz I dzdE e eR R 作远场近似，对相位 cosR r z ，对幅度 1/ 1/R r ，且 j j j cosR r ze e e ，得j cos0j sin2j rzedE I e dzr 则远区总场为这些元天线的辐射场在空间某点的叠加，用积分表示为j j cos cosj cos 00j sin j sin2 2 cosr r j l j ll lzl le I e e eE dE I e dzr r j j j0
4、 060 sin( cos ) 60j sin j ( )cosr rI l Ie e fr r 式中方向图函数为： /2sin( cos ) sin( cos )( ) sin | sincos cosllf 均匀电流分布的对称振子，其最大辐射方向在侧向。方向图函数的最大值为max /2/2lim ( ) |lf f l 则归一化方向图函数为/2max( ) sin( cos ) sin( cos )( ) sin | sincos coslf lFf l 其 E 面方向图函数由上式表示，方向图为 字形；H 面方向图函数为/2( )| 1HF F ，方向图为一个圆。均匀电流分布的对称振子归一
5、化方向图， /2l (2) 天线上电流为三角形分布时0| |( ) (1 ),zI z I l z ll 距坐标原点z处的元天线的辐射电场为j( )j sin2RI z dzdE eR 同样作远场近似后并带入三角形电流分布得j cos j cos0| |j sin ( ) j sin (1 )2 2j r j rz ze e zdE I z e dz I e dzr r l 则远区总场为jj cos0| |j sin (1 )2rl lzl le zE dE I e dzr l j 0j cos j cos00j sin (1 ) (1 ) 2r lz zlI e z ze dz e dzr
6、l l j060j ( )rI e fr 式中， /22 21 cos( cos ) 1 cos( cos )( ) sin | sincos cosllf l 方向图函数的最大值为max /2lim ( ) 2f f 则归一化方向图函数为2max( ) 1 cos( cos )( ) 2sincosfFf 其 E 面方向图函数由上式表示，方向图为 字形；H 面方向图函数为/2( )| 1HF F ，方向图为一个圆。(1-4) 有一对称振子长度为2l，其上电流分布为： ( ) sin ( | |)mI z I l z 试导出：(1) 远区辐射场 HE , ;(2) 方向图函数 ),( f ；(
7、3) 半波天线(2 /2l )的归一化方向图函数 ),( F ，并分别画出其E面和H面内的方向图。(4) 若对称振子沿y轴放置，导出其远区场 HE, 表达式和E面、H面方向图函数。解：(1) 由 ( ) sin ( | |) ,mI z I l z l z l 及 j0 ( )j sin2 RI z dzdE eR 作远场近似 对相位 cosR r z 对幅度 R r且 j j j cosR r ze e e jj cos0j sin ( )2rl lzl leE dE I z e dzr j 0 j cos j cos0 0j sin sin ( ) sin ( )2 r lz zm le
8、I l z e dz l z e dzr j0 0j sin 2 sin ( )cos( cos )2r lme I l z z dzr j60 cos( cos ) cos( )jsinrmI l ler j60j ( )rmI e fr (2) 方向图函数： cos( cos ) cos( )( ) sinl lf (3) 对半波天线：2 /2l ，cos( cos )2( ) sinf ， max 1f ，cos( cos )2( ) sinF E面方向图 H面方向图沿z轴放置的对称振子天线方向图(4) 对称振子沿y轴放置，其远区场表达式不变cos( cos ) cos( )( , )s
9、inyyl lf 式中， y 为天线轴与射线r的夹角，且 cos sin siny r y E面方向图 H面方向图沿y轴放置的对称振子天线方向图(1-5) 有一长度为 2/ 的直导线，其上电流分布为 zjeIzI 0)( ，试求该天线的方向图函数 ),( F ，并画出其极坐标图。解：距坐标原点z处的元天线的辐射电场为图1-12 单行波天线j( )j sin2RI z dzdE eR 作远场近似后并带入行波电流分布得j cos j (cos 1)0j sin ( ) j sin2 2j r j rz ze edE I z e dz I e dzr r 远区总场为jj (cos 1)0 0j si
10、n2r lzeE I e dzr j j (cos 1)01j sin2 j (cos 1)r le eIr j j (cos 1)20sin (cos 1)/2j sin(cos 1)lre lI er 取模值 0 0 sin (cos 1)/2| | |sin |cos 1I lE r 060 sin (1 cos )/2sin1 cosI lr 060 ( )I fr 得方向图函数为sin( ) sin (1 cos )/2 tan( )sin (1 cos )1 cos 2 2lf l 其E面方向图函数由上式表示。长度为 /2, ,2 时的方向图如下所示。(1-6) 利用方向性系数的计
11、算公式: 20 02 sin),(4ddFD计算：(1) 元天线的方向性系数；(2) 归一化方向图函数为 其它,00,2/,csc),( 00 F 的天线方向性系数。(3) 归一化方向图函数为： 其它,020,2/0,cos),( nFn=1和2时的天线方向性系数。解：(1) 元天线 ,sin)( F 则D=1.5， D=10lgD=1.76dB(2) 220 04( , )sinDF d d 0 0/2 204csc sin d d 0004sinln1 cos或00041 cosln1 cosD ， 或00041 coslnsinD (3) /222 2200 04 42 cos cosc
12、os sin nnDdd d 2 1 202 2(2 1)1 cos2 1nnn 所以，n=1，D=6n=2，D=10(1-7) 如图3所示为二元半波振子阵，两单元的馈电电流关系为 /21 2 jI I e ，要求导出二元阵的方向图函数 ),( Tf ，并画出E面(yz平面)和H面(xy平面)方向图。解：此时图3所示二元阵的阵因子方向图为心脏形， 2I 相位滞后于 1I ，最大值方向为正y轴方向。二元阵的总场方向图函数为 0( , ) ( ) ( , )T af f f 图3 半波振子二元阵， /4d 式中，单元方向图函数为 0cos( cos )2( ) sinf 二元阵的阵因子为 ( ,
13、) 2cos( cos )2 2a ydf ， cos sin siny r y ， /2 (1)E面(yz面， /2 )方向图单元方向图函数为 0cos( cos )2( ) sinf 阵因子为 ( ) 2cos (sin 1)4af 由方向图相乘原理可绘出其E面方向图如下图所示。/4, /2d 时的等幅激励半波振子二元阵E面方向图(2)H面(xy面， /2 )方向图单元方向图函数为 0( ) 1f 阵因子为 ( ) 2cos (sin 1)4af 由方向图相乘原理可绘出其H面方向图如下图所示。/4, /2d 时的等幅激励半波振子二元阵H面方向图(1-8) 有三付对称半波振子平行排列在一直线
14、上,相邻振子间距为d，如图4所示。(1) 若各振子上的电流幅度相等，相位分别为 ,0, 时，求xz面、yz面和H面方向图函数。(2) 若 4/d ，各振子电流幅度关系为1:2:1，相位关系为 2/,0,2/ 时，试画出三元阵的E面和H面方向图。解：(1). 三个对称半波振子天线电流相等，相位分别为 ,0, ，构成均匀直线阵。此时， 1 2 jI I e ， 3 2 jI I e j060j ( )nrnnnIE e fr ， n=1,2,30cos( cos )2( ) sinf 总场为 31 j ( )j ( )j j j21 2 3 060j ( , ) 1 r rr rrTIE E E
15、E e f e e e er 式中波程差为： 1 1 sin sinr r r d 3 3 sin sinr r r d j2060j ( , ) ( , )rT aIE e f fr j ( sin sin 1) j ( sin sin 1)( , ) 1 1 2cos ( sin sin 1)d daf e e d xz面内( 0 )的方向图函数为0 0cos( cos /2)( ) ( , ) ( , )| 1 2cos sinaF f f yz面内( /2 )的方向图函数为图4 半波振子三元阵0 /2cos( cos /2)( ) ( , ) ( , )| 1 2cos ( sin 1
16、)sinaF f f d H面(xy面， /2 )方向图函数为0 /2( ) ( , ) ( , )| 1 2cos ( sin 1)H aF f f d (2) 已知 /21 0 jI I e ， 1 02I I ， /23 0 jI I e ， /4d 。可得总场为31 j ( )j ( )j j /2 -j /201 2 3 060j ( , ) 2 r rr rrTIE E E E e f e e e er j0060j ( , ) ( , )raI e f fr 式中， j( sin sin /2) j( sin sin /2)( , ) 2d daf e e 1 1j ( sin
17、sin /2) j ( sin sin /2)22 2 d de e 24cos (sin sin 1)4 E面(yz平面， /2 )方向图函数为 2cos( cos )2( ) 4cos (sin 1)sin 4Ef H面(xy平面， /2 )方向图函数为 2( ) 4cos (sin 1)4Hf (1-9) 由四个元天线组成的方阵，其排列如图5所示。每个单元到阵中心的距离为 8/3 ，各单元的馈电幅度相等，单元1和2同相，单元3和4同相但与1和2反相。试导出该四元阵的方向图函数及阵因子，并草绘该阵列xy平面内的方向图。解：已知单元到阵中心的距离为 3 /8d ， 1 2 3 4 0I I
18、I I I 。这个四元阵可看作是x轴上的二元阵和y轴上的二元阵构成。x轴上的二元阵阵因子为( , ) 2cos( cos )x xf d ， cos sin cosx y轴上的二元阵阵因子为( , ) 2cos( cos )y yf d ， cos sin siny 元天线的方向图函数为 0( ) sinf 则四元阵总场方向图函数为0( , ) ( ) ( , ) ( , )T x yf f f f 2sin cos( sin cos ) cos( sin sin )d d 在xz平面内(H面， /2 )的方向图函数为( ) 2cos( cos ) cos( sin )Hf d d 取 3 /
19、8,3 /4d 绘出的方向图如下图所示。(1-10) 设地面为无限大理想导电平面。图6所示为由等幅同相馈电的半波振子组成的水平和垂直二元阵，要求(1)对图(a)求其xz面和yz面方向图函数，并画出xz面方向图；(2)对图(b)求其xz面和yz面和xy面方向图函数，并画出这三个平面内的方向图。解：采用镜像法，则近地水平和垂直二元阵的镜像如下图所示(c) 近地水平二元阵及其镜像 (d) 近地垂直二元阵及其镜像图中， /2H ，d 。(a) 近地水平二元阵采用扩展的方向图相乘原理可得总场方向图函数为0 12 (12)(12)( , ) ( , ) ( , ) ( , )Tf f f f 式中，半波振
20、子单元方向图函数为0cos( cos )2( , ) sin yyf ，cos sin siny ， 2 2sin 1 sin siny 由单元1和2(或1和2)组成的二元阵的阵因子为12( , ) 2cos( cos ) 2cos( sin sin )2 ydf 由(1,2)与(1,2 )为负像时的组间阵因子为(12)(12)( , ) 2sin( cos ) 2sin( cos )f H yz平面( /2 )内的总场方向图函数为cos( sin )2( ) 2cos( sin ) 2sin( sin )cosyzf xz平面( 0 )内的总场方向图函数为0( ) ( , )|xz Tf f
21、 4sin( cos ) 其方向图为(a) 近地垂直二元阵总场方向图函数为0 12 (12)(12)( , ) ( , ) ( , ) ( , )Tf f f f 式中，半波振子单元方向图函数为0cos( cos )2( , ) sinf 由单元1和2组成的二元阵的阵因子为12( , ) 2cos( cos ) 2cos( sin sin )2 ydf 由(1,2)与(1,2 )为正像时的阵因子为(12)(12)( , ) 2cos( cos ) 2cos( cos )f H xz平面( 0 )内的总场方向图函数为0( ) ( , )|xz Tf f cos( cos )24cos( cos
22、)sin 其方向图为yz平面( /2 )内的总场方向图函数为cos( sin )2( ) 4cos( sin )cos( cos )cosyzf 其方向图为xy平面( /2 )内的总场方向图函数为( ) 4cos( sin )xyf 其方向图为(1-11) 一半波对称振子水平架设在理想导电平面上，架设高度为 /2H 。试确定最大指向，并画出H面方向图。解：采用镜像法分析近地水平对称振子的远区辐射场问题的方法是：考虑镜像之后，去掉地面，问题就化为平行排列的等幅反相二元阵问题。总场方向图函数为0( ) ( ) ( )T af f f ，0 式中，单元方向图函数为 0cos( cos )2( ) s
23、inf 二元阵阵因子为 ( , ) 2sin( cos )a xf H (1.134)x 为阵轴与射线间的夹角，cos sin cosx 。H面方向图( /2 )在H面内， 0( /2) 1f ( ) 2sin( cos )af H 因 /2 ， ( ) 2sin( sin )af H 则H面总场方向图函数为： ( ) 2sin( sin )Tf H 令：|sin( sin )| 1H ，则 sin /2 sin 1/2H 得最大指向为： o o30 , 150由此可画出不同高度时的近地水平半波振子的H面(xy平面)方向图如下图所示。(a) 近地水平对称振子 (b) 不同高度的近地水平对称振子
24、H面方向图近地垂直对称振子及H面方向图(1-12) 由长为 /4l 的单极天线组成的八元天线阵如图7所示，各单元垂直于地面，排成2行4列的阵列，列间距为 2/ ，行间距为 4/ 。每个单元天线为等幅馈电，而相位配置由图中标出。试利用方向图相乘原理，绘出H面方向图。解：采用镜像法之后，去掉地面，八元阵可看作是由对称振子组成的。其总场方向图函数为0 1 2( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )T ay ay axf f f f f 式中，半波振子单元方向图函数为0cos( cos /2)( )sinf 间距为 /2d 的二元阵阵因子为1( , ) 2cos( cos ) 2cos(
25、 sin sin )2 2ay ydf 间距为d 的二元阵阵因子为2( , ) 2cos( cos ) 2cos( sin sin )2ay ydf 间距为 /4d ，相位为 /2 的二元阵阵因子为( , ) 2cos( cos ) 2cos (sin cos 1)2 2 4ax xdf 在H面(xy平面， /2 )内的方向图函数为/2( ) ( , )| 2cos( sin ) 2cos( sin ) 2cos (cos 1)2 4H Tf f 单元方向图为一个圆， 1( )af 的图形为“8”字形， 2( )af 的图形为两个正交的“8”字形成的花瓣图形。根据方向图相乘原理可画出总场的H面方向图。
